求助！二重积分积分区域关于原点对称的题如图，请问画线式子不关于x轴对称嘛，为什么算出来答案不对呢？急！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-12-12 12:35 标签： 二重积分积分区域关于原点对称

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你说的那几种情况都不是轮换对称性，首先所谓轮换对称性就是，如果把f(x,y)中的x换成y，y换成x后，f(x,y)的形式没有变化，就说f(x,y)具有轮换对称性。例如x^2+y^2有轮换对称性，而2x+3y没有轮换对称性（因为换完后是2y+3x，和原来的不一样）。下面说明轮换对称性在二重积分中的应用，我们知道二重积分的积分区域的边界可以用方程f(x,y)=0表示，如果这里的f(x,y)具有轮换对称性，那么被积函数中的x和y互换后积分结果不变。例如∫∫x^2dxdy，积分区域为圆周x^2+y^2=1，由于轮换对称性可知∫∫x^2dxdy=∫∫y^2dxdy（这就是把被积函数中的x换成了y），因此积分=(1/2)∫∫2x^2dxdy=(1/2)∫∫(x^2+y^2)dxdy，再用极坐标计算就简单多了。有不明白的地方欢迎追问。今天我和楼主遇到了同样的问题，不过我解决了。可能这么多年楼主已经解决问题了，不过我还是在这里说一下。首先，楼主举出的例子在第一段“得到”紧跟的那个等式是错误的，原因在于用-x代替x时，只是把积分变量和被积函数换掉了，而没有换掉积分上下限。比如x从0到1，用-x替代时，上下限对应为从0到-1，而不是-1到0，所以替换掉的结果和原式互为相反数了

轴对称面积为0...
轴对称面积为0
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本题关键在于作辅助线y=-x^3，把积分区域分割成分别关于x，y轴对称的两个部分，再根据奇偶性求解，过程如下图，望采纳
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