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展开全部特征矩阵如上，求其行列式，即特征多项式。按第1列展开，得到2阶行列式，然后按对角线法则展开，得到：(λ-1)[(λ+1)λ-1]=(λ-1)(λ^2+λ-1)=(λ-1)[(λ^2+λ+1)-2]=(λ^3-1)-2(λ-1)=λ^3-2λ+1对于求解线性递推数列，我们还经常使用生成函数法，而对于常系数线性递推数列，其生成函数是一个有理分式，其分母即特征多项式。为n*n的矩阵A的特征多项式为|A-λE|，其中E为n*n的单位矩阵。扩展资料：特征多项式解法：1、把|λE-A|的各行（或各列）加起来，若相等，则把相等的部分提出来（一次因式）后，剩下的部分是二次多项式，肯定可以分解因式。2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的两个元素之一化为零，往往会出现公因子，提出来，剩下的又是一二次多项式。3、试根法分解因式。对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。要理解特征多项式，首先需要了解一下特征值与特征向量，这些都是联系在一起的：设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使得关系式Ax=λx成立，那么，这样的数λ就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值λ的特征向量。参考资料来源：百度百科——特征多项式已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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你这个应该是可以应用到更高阶的，无需假定是3阶，可以假定到n阶因为对称多项式一定有n个根（重根按重数算）故可将特征多项式设为。|λE-A|==(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)这个里面，较易求出的有λ^n,λ^(n-1),以及常数项这三个的系数，至于其他的并不具备代表性一般不做研究，只有特殊场合才会偶尔考虑。λ^n左边右边的系数显然都为1，（主要看左边，右边实际上是应为左边去了1，才取1的），注意到左边的行列式中只有(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)这个加项中才有λ^n，故系数为1λ^(n-1)的系数，注意左边(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)这个加项中才有λ^(n-1)，因为行列式定义式中每个加项都是不同行不同列元素的乘积，少了一个(λ-aii)就必须还要少一个，那么其他的加项最多只有n-2次，注意到他λ^(n-1)的系数为a11+a22+...+ann（这个称为矩阵的迹，附带说下，只要相似矩阵迹相同，无论是否可对角化），接下来，看右边，右边比较好看显然λ^(n-1)的系数为所有特征值的和。这就有个很重要的结论，矩阵的迹等于所有特征值的和（这个依赖他有n个特征值）还有就是常数项了，这个也比较简单，两边令λ=0结果就是常数项了。易得另一个重要结论，矩阵的行列式等于所欲特征值的乘积（这个也依赖他有n个特征值）
展开全部特征多项式：n级矩阵A的特征多项式就是λE-A的行列式，即|λE-A|，这里E指n级单位矩阵特征值：令|λE-A|=0，解出λ的值即为特征值。求解的时候一般通过行列变换，让一行或一列里有只有一个不为0，再按不为0的那个展开，可以避免得到高次多项式，不容易因式分解。特征向量：将特征值λ的取值代回λE-A，求解使(λE-A)T=0的T(T是n×1的矩阵)，就是求解非齐次线性方程组。方法一般是将λ代入后，对矩阵(λE-A)初等行变化，化为简单的阶梯型矩阵，n-(λE-A)的秩就是自由变量的个数，再将自由变量令为线性无关的向量代入即可。n级矩阵有n个特征向量。
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本文介绍求解特征多项式的 Hessenberg 法，并给出加速一类动态规划问题的例子。特征多项式通用递推求法任意 n 级矩阵的特征多项式都能在 \text O\!\left(n^3\right) 的时间复杂度内求出；大致思路是： 利用相似矩阵特征多项式相同的性质将给定矩阵消成上海森堡矩阵。 使用行列式展开定理递推计算它的特征多项式。利用相似不变量消元\bf Lemma.\quad 相似矩阵的行列式相等。Proof.\quad 假设 {\bf A\sim B} ，那么：
{\bf B}|=\left|{\bf P}^{-1}\right
{\bf AP}|=\left|{\bf P}^{-1}\right
{\bf P|}|{\bf A}|=|{\bf A}
\\\bf Theorem.\quad 相似矩阵的特征多项式相等。Proof.\quad 假设 {\bf A\sim B} ，那么：
\lambda{\bf I}-{\bf A}|=\left|{\bf P}^{-1}(\lambda{\bf I}-{\bf A}){\bf P}\right|=\left|{\bf P}^{-1}\right
\lambda{\bf I}-{\bf A}
{\bf P}|=|\lambda{\bf I}-{\bf A}
\\ 令 {\bf P}(j,i(k)) 表示将 \bf I 的第 i 行的 k 倍加到第 j 行所得的矩阵，也即： {\bf P}(j,i(k))=\begin{pmatrix} 1&&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\ &&1&&&&\\ &&\vdots&\ddots&&&\\ &&k&\cdots&1&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&1 \end{pmatrix} \\将该初等矩阵左乘一个 n 级矩阵，相当于进行一次初等行变换；右乘则进行一次初等列变换。且它的逆矩阵即为：
{\bf P}^{-1}(j,i(k))=\begin{pmatrix} 1&&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\ &&1&&&&\\ &&\vdots&\ddots&&&\\ &&-k&\cdots&1&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&1 \end{pmatrix}={\bf P}(j,i(-k)) \\至此我们可以利用左右乘初等矩阵及其逆来对矩阵进行消元，而保持特征多项式不变。因此对于 {\bf A} 和初等矩阵 {\bf P} ，构造相似矩阵 {\bf P}{\bf AP}^{-1} 对 \bf A 进行消元，以成上海森堡矩阵。注意到对于每一个 i ，我们操作的行列是 i+1 ，先前完成的消元不会被污染。递推计算特征多项式若我们已经消元得到矩阵 \bf H 为： {\bf H}_n=\begin{pmatrix} \alpha_1&h_{12}&h_{13}&\cdots&h_{1n}\\ \beta_2&\alpha_2&h_{23}&\cdots&h_{2n}\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ &&\ddots&\ddots&h_{n-1,n}\\ &&&\beta_n&\alpha_n \end{pmatrix} \\那么就有： f_n(\lambda)=|\lambda{\bf I}_{n\times n}-{\bf H}_n|=\begin{vmatrix} x-\alpha_1&-h_{12}&-h_{13}&\cdots&-h_{1n}\\ -\beta_2&x-\alpha_2&-h_{23}&\cdots&-h_{2n}\\ &\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ &&\ddots&\ddots&-h_{n-1,n}\\ &&&-\beta_n&x-\alpha_n \end{vmatrix} \\ 若将其按最后一行展开，便得到： f_n(\lambda)=(x-\alpha_n)f_{n-1}(\lambda)+\beta_n\begin{vmatrix} x-\alpha_1&-h_{12}&\cdots&-h_{1,n-2}&-h_{1n}\\ -\beta_2&x-\alpha_2&\cdots&-h_{2,n-2}&-h_{2n}\\ &\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ &&\ddots&x-\alpha_{n-2}&-h_{n-2,n}\\ &&&-\beta_{n-1}&-h_{n-1,n} \end{vmatrix} \\ 把右边这个行列式按最后一列展开。我们发现对于一个 -h_{n-i,n} 项，其余子式皆形如： \begin{vmatrix} \\\\ &&\big[\lambda{\bf I}_{(n-i-1)\times(n-i-1)}-{\bf H}_{n-i-1}\big]\\ \\ \\ &&&\beta_{n-i+1}&\cdots\\ &&&&\ddots&\vdots&\vdots\\ &&&&&-\beta_{n-2}&\vdots\\ &&&&&&-\beta_{n-1} \end{vmatrix}\\ 也即左上角是已经出现过的 n-i-1 级 f_{n-i-1}(\lambda) 代表的子矩阵，它的右下的主对角线上元素为 \beta_{n-i},\cdots,\beta_{n-1} ，该主对角线以下部分的元素皆零。那么根据分块矩阵的行列式的性质，它等于： f_{n-i-1}(\lambda)\prod_{j=n-i+1}^{n-1}\beta_j\\从而最终结果为： f_n(\lambda)=(x-\alpha_n)f_{n-1}(\lambda)-\sum_{i=1}^{n-1}f_{n-i-1}(\lambda)\left(\prod_{j=n-i+1}^{n}\beta_{j}\right)h_{n-i,n}\\void work(){
for(ll i=1,x;i<n;i++){
x=i+1;
for(ll j=i+1;j<=n;j++)if(a[j][i])x=j;
if(x^i+1){
swap(a[i+1],a[x]);
for(ll j=1;j<=n;j++)swap(a[j][i+1],a[j][x]);
}
if(!a[i+1][i])continue;
for(ll j=i+2;j<=n;j++){
ll div=a[j][i]*Qpow(a[i+1][i],mod-2)%mod;
for(ll k=1;k<=n;k++)
a[j][k]=(a[j][k]-div*a[i+1][k]%mod+mod)%mod;
for(ll k=1;k<=n;k++)
a[k][i+1]=(a[k][i+1]+div*a[k][j]%mod)%mod;
}
}
}
void get(){
f[0][0]=1,work();
for(ll x=1;x<=n;x++){
for(ll i=1;i<=n;i++)f[x][i]=f[x-1][i-1];
for(ll i=0;i<=n;i++)
f[x][i]=(f[x][i]-f[x-1][i]*a[x][x]%mod+mod)%mod;
for(ll i=1,betah;i<x;i++){
betah=a[x-i][x];
for(ll j=x-i+1;j<=x;j++)betah=betah*a[j][j-1]%mod;
for(ll j=0;j<=n;j++)
f[x][j]=(f[x][j]-betah*f[x-i-1][j]%mod+mod)%mod;
}
}
for(ll i=0;i<=n;i++)printf("%lld ",f[n][i]);
}加速动态规划矩阵幂一例我们知道如果矩阵 {\bf A} 相似于一个对角矩阵 \mathbf D ，那么它的幂 \mathbf A^m 就很容易求出。基于此，现在我们考虑一个问题（CF923E）。设 f_{nk} 表 n 轮后为 k 的概率，那么转移矩阵为： \mathbf A=\begin{pmatrix} 1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}&&\cdots&&\dfrac{1}{n+1}\\ 0&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}&&\cdots&&\dfrac{1}{n+1}\\ 0&0&\dfrac{1}{3}&&\cdots&&\dfrac{1}{n+1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\ddots&&\vdots\\ 0&0&0&&\cdots&&\dfrac{1}{n+1} \end{pmatrix} \\ 这个上三角矩阵的特征多项式是明显的，为： F(\lambda)=\prod_{k=0}^n\left(\frac{1}{k+1}-\lambda\right) \\ 所以它的特征值即为 1,\frac{1}{2},\cdots,\frac{1}{n+1} 。也就是说： \mathbf A=\mathbf P^{-1}\mathbf D\mathbf P,\qquad\mathbf D=\begin{pmatrix} 1&0&\cdots&0\\ 0&\frac{1}{2}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\frac{1}{n+1}\\ \end{pmatrix} \\ 我们只需解出 \mathbf P 。考虑每一个特征向量，给出以下方程组： \begin{cases} (\lambda-1)x_1-\dfrac{1}{2}x_2-\cdots-\dfrac{1}{n+1}x_{n+1}=0\\ \quad\;\;\;\left(\lambda-\dfrac{1}{2}\right)x_2-\cdots-\dfrac{1}{n+1}x_{n+1}=0\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\vdots\qquad\,\vdots\\ \qquad\qquad\qquad\;\;\ \,\,\left(\lambda-\dfrac{1}{n+1}\right)x_{n+1}=0\\ \end{cases} \\ 逐行相减得： \begin{aligned} (\lambda-1)x_1-\lambda x_2&=0\\ \left(\lambda-\frac12\right)x_2-\lambda x_3&=0\\ \qquad\quad\;\;\,\vdots\qquad\;\;\vdots\quad\;\;\,\vdots \end{aligned} \\ 将 \lambda 各根代入。令自由元为 1 ，可得： \mathbf P=\begin{pmatrix} 1&-1&1&-1&\cdots&(-1)^n\\ 0&(-1)^0\cdot1&(-1)^1\cdot2&(-1)^2\cdot3&\cdots&(-1)^{n-1}\dbinom{n}{1}\\ 0&0&(-1)^{0}\dbinom{2}{2}&(-1)^1\dbinom{3}{2}&\cdots&(-1)^{n-2}\dbinom{n}{2}\\ 0&0&0&(-1)^0\dbinom{3}{3}&\cdots&(-1)^{n-3}\dbinom{n}{3}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&0&\cdots&(-1)^0\dbinom{n}{n}\\ \end{pmatrix} \\ 根据二项式反演其逆矩阵为： \mathbf P^{-1}=\begin{pmatrix} \binom{0}{0}&\binom{1}{0}&\cdots&\binom{n}{0}\\ 0&\binom{1}{1}&\cdots&\binom{n}{1}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&\binom{n}{n} \end{pmatrix} \\ 从而我们将原问题转化为求： \mathbf P^{-1}\mathbf D^n\mathbf P\mathbf f \\ 考虑求 \mathbf P\mathbf f ，设为 (a_k)_0^n ，就有： a_i=\sum_{j=i}^n(-1)^{j-i}\binom{j}{i}f_{0j}=\frac{(-1)^i}{i}\sum_{j=i}^nj!(-1)^jf_{0j}\frac{1}{(j-i)!} \\ 这是一个差卷积的形式，可以 NTT 优化至 \Theta(n\log n) 。至于左乘 \mathbf P^{-1} 则更简单。

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使用matlab的符号计算功能即可。使用到的函数：eye 生成单位矩阵det 求矩阵行列式simplify 符号量化简示例代码：syms xA=[1 2 0;2 2 -2;0 -2 3]%定义一个矩阵simplify(det(A-eye(3)*x))%求出并展示其特征多项式运行结果为：A =1
2
02
2
-20
-2
3ans =- x^3 + 6*x^2 - 3*x - 10
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举个例子：>> A=[3 7 -3;-2 -5 2; -4 -10 3];>> AA=sym(A);>> poly(AA)ans =x^3 - x^2 + x - 1
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