是否可以类无穷比无穷可以用等价无穷小吗小的结论来定义无穷大?

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-17 04:25 标签： 无穷比无穷可以用等价无穷小吗
一、无穷小定义I如果函数f（x）当x→x。（或x→o）时的极限为零，那么称函数f（x）为当x→x。（或x→o）时的无穷小.特别地，以零为极限的数列{x。称为n→0时的无穷小.例1因为lim(x-1)=0，所以函数x-1为当x-→1时的无穷小.因为lim—=0，所以函数1为当x→o时的无穷小.注意不要把无穷小与很小的数（例如百万分之一）混为一谈，因为无穷小是这样的函数，在x→x。（或x→o）的过程中，这函数的绝对值能小于任意给定的正数e，而很小的数如百万分之一，就不能小于任意给定的正数e，例如取g等于千万分之一，则百万分之一就不能小于这个给定的g.但零是可以作为无穷小的唯一的常数，因为如果（x）=0，那么对于任意给定的g>0总有f（x）下面的定理说明无穷小与函数极限的关系.定理l在自变量的同一变化过程x→x。（或x-+0）中，函数（x)具有规明（的充分必要条件是（x)=A+a，其中a是无穷小。证 先证必要性.设im（x）=A，则Vg>0，36>0，使当0<lx-x。l<5时，有f(x)-AI<e.令a=f（x)-A，则a是当x→x。时的无穷小，且f(x)=A+a.这就证明了（x）等于它的极限A与一个无穷小a之和。再证充分性.设（x）=A+a，其中A是常数，a是当x→x。时的无穷小，于是f(x)-AI=lal.因a是当x→x。时的无穷小，所以Vg>0，38>0，使当0<lx-x。l<8时，有lal<g,即1f(x)-A1<g.这就证明了A是f（x)当x→x。时的极限.类似地可证明当x-→oc时的情形.二、无穷大如果当x→x。（或x→m)时，对应的函数值的绝对值f（x)l可以大于预先指定的任何很大的正数M，那么就称函数f（x)是当x→x。（或x→+a)时的无穷大.精确地说，就是定义2设函数f（x)在x。的某一去心邻域内有定义（或1x|大于某一正数时有定义），如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数8（或正数X），只要x适合不等式0<lx-x。l<8（或lxl>X），对应的函数值（x）总满足不等式If(x)I>M,那么称函数f（x）是当x→x。（或x→oo）时的无穷大.按函数极限的定义来说，当x→xg（或x→m)时的无穷大的函数f（x)的极限是不存在的.但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说“函数的极限是无穷大”，并记作limf(x)=oo(或limf(x)=0).如果在无穷大的定义中，把（（a）（>A#换成户x）>A#（或（a）c-H），就记作limmf(a)n +ao （成limf（x)=-3e).必须注意，无穷大（m）不是数，不可与很大的数（如1千万，1亿等）为一谈。例2 证明lim-=se（图1-29）.证设VH>0.要使-w,只要Ix-11ST所以，取8=-，则只要x适合不等式0<1x-11<8=，就有->.这就证明了lim =m.-1直线x=l是函数y=1的图形的铅直渐近线、一般地说，如果limf（x）=owo，那么直线x=x是函数y=f（x）的图形的铅直渐近线。无穷大与无穷小之间有一种简单的关系，即定理2在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，那么 为无穷小；反之，如果（（x）为无穷小，且f（x）-0，那么1为无穷大证 设limf（x)= go.Ve>0.根据无穷大的定义，对于M=1，38>0，当0<lx-x。l<8时，
白頭如新，倾盖如故。还需要解释么再举个例子，先留作画谜：参考下图，欢迎评论解谜。其实本题首先应该明确数学的无穷与现实的无穷定义，这种自然会涉及类似「实无穷」和「潜无穷」的问题。题主和很多答主似乎已预设了实无穷的观念，现实却更多是「潜无穷」的体验，这两种理解比较已经不仅限于数学性质的问题，历史上相关争议很多，不妨再稍作介绍：《尚书》“公其惟时成周，建无穷之基，亦有无穷之闻”惠施：至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一。（实无穷）《庄子》：一尺之捶，日取其半，万世不竭。（潜无穷）刘徽割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。（潜无穷到实无穷）高斯：“我反对把无穷量当作一种完成了实体来使用，这在数学中是绝对不允许的。无穷不过是谈及极限时的一种说话方式而已”（潜无穷）希尔伯特：“在现实世界中是找不到无穷的，无论借助于什么样的经验、观察抑或知识。……在分析中，我们只是把无限大和无限小当作极限概念，当作某种正在到来、正在发生的东西来研究，即我们研究的是潜无限。但这不是真的无限。当我们把数1，2，3，4，……的总体本身看作一个完整的统一体，或者当我们把一个区间的点看作同时存在的许多事物的总体时，我们遇到了真的无限。这种无限性称为实无限性。”美国数学家丹奇克(T Dantzig)：“无穷的概念既不是实验的天然物，也不是逻辑的必然物；而是数学的必然物。头脑知道它能想像出一种可能的动作的无限次重复，我们对头脑的能力的这种肯定也许是一种纯粹的幻想，然而它却是一种方便的、从而就是必要的幻想了。”这里再提一下刘徽已经熟练运用的无穷方法来解决现实问题。问题：求下图阳马与鳖臑体积之比刘徽解：邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑 ．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.（注：鳖臑是水中爬行动物的肩胛骨 阳马是房屋四角承担的长桁条 阳马和鳖臑 ( bi ē n á o ) 是一些特殊锥体的称谓 长方体斜割一分为二得两个一模一样的三角柱体 称为堑堵 ( qi à n d ǔ ) 其体积 是长方体体积的一半 再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开得四角锥和三角锥各一个 以矩形为底另有一棱与底面垂直的四角锥称为阳马 余下的三角锥是由四个直角三角形组成的四面体称为鳖臑）刘徽的解法就涉及了分析的思想：若为数而穷之，置余广袤高之数各半之，则四分之三又可知也. 半之弥少，其余弥细.至细曰微，微则无形.由是言之，安取余哉.简单说就是如上图取各边中点连线剖分堑堵，长方体在阳马部分为其体积四分之三，加上余下各四分之一的小堑堵，则阳马与鳖臑体积分为两部分，一部分为可知比例2:1，一部分为相似的两个小阳马与鳖臑，对后部分无限重复剖分操作，则后部分则至细曰微，微则无形，即取0体积为剖分极限值，整体比例自然是2:1代数解的话 只需设比例为a, 即 阳马体积Y, 鳖臑体积X，则 Y=aX 剖分后Y=2Y1+2Z1， X=2X1+Z1其中Z1为阳马中线相连的小长方体，体积为原长方体体积的八分之一，原堑堵的四分之一。上述关系用到了几何的出入相补，也是古算常用的构造或证明方法。代入比例式并利用相似性 Y1=aX1 直接可得a=2。此例展示了一种初等的几何与代数对应关系，其中也涉及了无穷的概念，或许启发我们一个关于「无穷」的有效训诂，即所谓的「实无穷」与「潜无穷」其实是某种现象的两种角度理解，偏几何直觉方面多与「潜无穷」相关，偏代数推导方面多与「实无穷」联系，两者并行不悖，都是思维或相关问题所需的概念与方法。至于现实方面包括物理，主要偏几何直觉方面即与潜无穷相关，当然在有效训诂學中还有更深入系统及拓展的方式来理解此类问题，以后有机会再讨论。数学领域的细分，或者说人的感觉的细分——组合的、几何的和分析的——只是我们作为一种生物及其感觉器官数百万年变迁的结果。如果我们是一种不同的生物，拥有不同的感觉器官和不同的环境，我们也许会发展出完全不同的数学领域。如果数学领域的界限的产生如此偶然，那么数学中一些最深奥的问题跨越这些界限也就不足为奇了。从这个意义上说，我们开发的数学是我们人性的一面镜子。它展示着，我们是谁，我们如何思考。-June Huh有效训诂學将发展这样一个理念，不仅仅如June说的“数学领域的界限的产生如此偶然”，其实认知领域的界限也只是方便法门，数学中一些深刻的概念，比如此题涉及的无穷大无穷小的理解，也必将跨越这些形式的界限，这种跨越在有效训诂學中是最基本的研究范式，我们将会展示，数理科学的理论并非只有 cold beauty。
无穷大和无穷小之间确实有某种关系，但它们并不是相同的概念。无穷大是一个数学概念，代表着一个数量或值趋向于无穷的情况。在数学中，我们通常用符号∞来表示无穷大。无穷大可以是正无穷大（例如正无穷大是大于任何实数的数值），也可以是负无穷大（例如负无穷大是小于任何实数的数值）。无穷小也是一个数学概念，它表示着一个数量或值趋向于零的情况。无穷小通常用符号ε（读作epsilon）来表示。无穷小是无穷大的倒数，即当一个数趋向于无穷大时，它的倒数趋向于零。对于你提到的观点，"无穷大即无穷小，宇宙是一个循环"，这是一个哲学或宇宙观的观点，涉及到更深层次的讨论。在数学上，无穷大和无穷小是不同的概念，它们表示了不同的数值趋势。而关于宇宙是否是一个循环，科学界目前还没有一致的定论，仍然是一个活跃的研究领域。不同的学者和理论家对这个问题有不同的看法和假设。

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