已知函数展开成幂级数公式f(x)=ae次幂-4x(1)若f(x又且仅有一个零点求a的取值范围)

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-12 06:45 标签： 函数展开成幂级数公式
原题原题：已知函数f(x)=2e^(2x)－2ax+a－2e－1，其中a∈R，e为自然对数的底数。若函数f(x)在(0,1)内有两个零点，则a的取值范围是多少？图一这样的题实际就是考察大家对函数的单调性和函数的零点的问题，所以这道题的普遍的思路就是对函数f(x)进行求导，根据函数的单调性来判断该函数与x轴的交点个数是否满足给出的已知条件——该函数在(0,1)内有两个零点。对函数f(x)求导判断其单调性所以我们要做的第一步就是对函数f(x)进行求导。对函数f(x)求导得到f＇(x)=4e^(2x)－2a，x∈(0,1)。对函数f(x)求导后所得到的一次导数f＇(x)=4e^(2x)－2a存在未知数a，即当我们无法判断其单调性的时候，要对a进行分布讨论。因为x∈(0,1)，所以4e^(2x)∈(4,4e^2)。当a≥2e^2时，一次导数f＇(x)=4e^(2x)－2a<0，此时函数f(x)在(0,1)上是单调递减函数。对于一个在(0,1)上是单调递减函数，最多与x轴有一个交点，这与题中给出“函数f(x)在(0,1)内有两个零点”不相符，所以a≥2e^2时不符合题意。当a≤2时，一次导数f＇(x)=4e^(2x)－2a>0，此时函数f(x)在(0,1)上是单调递增函数。对于一个在(0,1)上是单调递增的函数，最多与x轴有一个交点，这与题中给出的“函数f(x)在(0,1)内有两个零点”也不相符，所以a≤2时也不符合题意。当2<a<2e^2时，令 一次导数f＇(x)=4e^(2x)－2a>0，解得到x>1/2lna/2；令 一次导数f＇(x)=4e^(2x)－2a>0时，解得到x<1/2lna/2。所以函数f(x)在(0,1/2lna/2)上单调递减，在(1/2lna/2,1)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(1/2lna/2)。图二判断函数f(x)的单调性后，建立满足函数f(x)在(0,1)内有两个零点的条件。建立满足已知的条件上面已经求出了函数f(x)的最小值，如果该最小值大于零，则函数f(x)在(0,1)内有两个零点是不可能的。如果函数f(x)的最小值小于零，只要保证函数f(x)在(0,1)上的两个端点大于零，则函数f(x)在(0,1)内就会有两个零点。所以将f(x)的最小值为f(1/2lna/2)求出来，判断其与0的大小关系。函数f(x)的最小值为f(1/2lna/2)=2a－alna/2－2e－1，要想判断该最小值与0的大小，要以a为未知数，再进行求导。设g(a)=2a－alna/2－2e－1，一次导数g＇(x)=－lna+1+ln2，令g＇(x)=－lna+1+ln2>0，又因为2<a<2e^2，解得到2<a<2e，所以此时函数g(a)是增函数；令一次导数g＇(x)=－lna+1+ln2<0，又因为2<a<2e^2，解得到2e<a<2e^2，所以此时函数g(a)是减函数。所以函数g(a)是在定义域2<a<2e^2内先增后减，所以存在最大值，即当a=2e时，g(a)取最大值，g(a)max=g(2e)=4e－2eln(2e/2)－2e－1=－1<0，所以对于任何的2<a<2e^2，g(a)<0恒成立。所以函数f(x)的最小值为f(1/2lna/2)小于0.图三所以要想使函数f(x)在(0,1)内有两个零点，要满足的条件有：f(0)>0且f(1)>0以及满足2<a<2e^2。解不等式组得出结果由f(0)>0且f(1)>0得到不等式组为2+a－2e－1>0和2e^2－2a+a－2e－1>0，解得到2e－1<a<2e^2－2e－1。然后再与2<a<2e^2取交集，因为2<2e－1，2e^2－2e－1<2e^2。所以a的取值范围为2e－1<a<2e^2－2e－1。图四总结对于给出带有字母的函数，并且满足在一定范围该函数有几个零点的问题，一般都是先对函数进行求导，对字母a进行分布讨论，看当字母a在不同的范围内是否能满足题意，从而求出a的取值范围。若复合函数有四个零点求a的取值范围？分布讨论时找临界点是关键函数g(x)=｜f(x)-t｜-2有三个零点求t，怎么入手？首先要知它的意义详细讲解方程零点在综合题中的运用直线与三次函数有三个不同交点，联立方程吗？太麻烦，这有方法！高中：x1，x2分别是两个函数的零点求x1+4x2取值范围？关键在图像

已知函数f（x）=ax2+ax-4（a∈R）．（1）若函数f（x）恰有一个零点，求a的值；（2）若对任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，求x的取值范围；（3）设函数g...
已知函数f（x）=ax2+ax-4（a∈R）．（1）若函数f（x）恰有一个零点，求a的值；（2）若对任意a∈[1，2]，f（x）≤0恒成立，求x的取值范围；（3）设函数g（x）=（a+1）x2+2ax+2a-5，是否存在实数a，使得当x∈（-2，-1）时，函数g（x）的图象始终在f（x）图象的上方，若存在，试求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．
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