a＞0，那么a的高阶无穷小比低阶无穷小等于什么也＞0吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-09-28 12:10 标签： 高阶无穷小比低阶无穷小等于什么
一、无穷小的概念如果函数 f(x) 在某一变化过程中时的极限为零，那么称函数 f(x) 为这一变化过程中的无穷小。特别地，若 f(x)\equiv0 ，则0可以作为无穷小的唯一常数。特别说明，本文中 lim 符号全部代表着同一变化过程。二、无穷小的阶的定义设 lim \alpha=0,lim\beta=0 1、若 lim\frac{\beta}{\alpha}=0 则称 \beta 是比 \alpha 高阶的无穷小，记为 \beta=o(\alpha) 这说明在这个给变化过程中， \beta 比 \alpha 趋于零的速度更快，可以得到等式 lim\frac{\beta}{\alpha}=lim\frac{o(\alpha)}{\alpha}=0 2、若 lim\frac{\beta}{\alpha}=\infty 则称 \beta 是比 \alpha 低阶的无穷小3、若 lim\frac{\beta}{\alpha}=c\ne0(c为常数） 称 \beta 是 \alpha 的同阶无穷小，说明 \beta 与 \alpha 在这个变化过程中趋于零的速度在一个量级上，特别地，如果 c=1 则称 \beta 是 \alpha 的等价无穷小，说明收敛速度最后时刻是一致的，记作\beta \sim\alpha (这个变化过程) （下面内容省略变化过程叙述）一般地， lim\frac{\beta}{\alpha}=c\ne0(c为常数） 记作 \beta\sim c\alpha 。4、若 lim\frac{\beta}{\alpha^{k}}=c\ne0(c为常数,k＞0） 称 \beta 是关于 \alpha 的 k 阶无穷小，记为\beta\sim c\alpha^{k} 规定 k＞0 的原因 是若 k\leq0 则 \alpha^{k} 不是无穷小。 因为lim\frac{\beta}{\alpha^{k-1}}=lim\frac{\beta\alpha}{\alpha^{k}}=lim\frac{\beta}{\alpha^{k}}\cdot lim\alpha=c\cdot0=0 所以 \beta=o(\alpha^{k-1}) 三、无穷小的阶运算1加减法运算，设 m＞n＞0 且 lim\alpha=0 则有 o(\alpha^m)+o(\alpha^n)=o(\alpha^k),0＜k\leq n 证明：结论等价于 lim\frac{o(\alpha^m)+o(\alpha^n)}{\alpha^k}=0 因为 lim \frac{o(\alpha^m)\pm o(\alpha^n)}{\alpha^k}=lim\frac{o(\alpha^m)}{\alpha^m}\cdot\alpha^{m-k}\pm lim\frac{o(\alpha^n)}{\alpha^n}\cdot\alpha^{n-k}=0 所以结论成立2乘法运算 ，设 m＞0，n＞0，lim\alpha=0 (1) o(\alpha^m）\cdot o(\alpha^n) =o(\alpha^k)，0＜k\leq m+n 证明： 因为lim\frac{o(\alpha^m)\cdot o(\alpha^n)}{\alpha^k}=lim\frac{o(\alpha^m)}{\alpha^m}\cdot lim\frac{o(\alpha^n)}{\alpha^n}\cdot lim\alpha^{m+n-k}=0\times0\times0=0 所以结论成立(2) \alpha^m\cdot o(\alpha^n)=o(\alpha^k),0＜k\leq m+n 证明：因为 lim\frac{\alpha^m\cdot o(\alpha^n)}{\alpha^k}=lim\frac{\alpha^m}{\alpha^m}\cdot lim\frac{o(\alpha^n)}{\alpha^n}\cdot lim\alpha^{m+n-k}=1\times0\times0=0 所以结论成立3 设 \forall x\in I （包含变化过程），\left
f(x) \right|\leq M ，M＞0，lim\alpha^n=0,n＞0则有f(x)\cdot o(\alpha^n)=o(\alpha^k)，0＜k\leq n 证明：结论等价于 lim\frac{f(x)\cdot o(\alpha^n)}{\alpha^k}=0 以 x\rightarrow x_{0} 为例，因为 \lim_{x \rightarrow x_{0}}{\frac{o(\alpha^n)}{\alpha^k}}=0 ,所以 \forall\epsilon＞0，\exists\delta_{1}＞0，当x\in\bigcup^{0}(x_{0},\delta_{1})时，都有\left
\frac{o(\alpha^n)}{\alpha^k} \right|＜\frac{\epsilon}{M} \exists M＞0，使\left|f(x) \right|\leq M 对\forall x\in \bigcup^{0}(x_{0},\delta_{2})
成立取 \delta=min[\delta_{1},\delta_{2}] ,所以当 \forall x\in \bigcup^{0}(x_{0},\delta) 时， \left|f(x) \right|\leq M，\left
\frac{o(\alpha^n)}{\alpha^k} \right|＜\frac{\epsilon}{M} 同时成立，所以 \left
\frac{f(x)\cdot o(\alpha^n)}{\alpha^k} \right|＜\frac{\epsilon}{M}\cdot M=\epsilon 所以 lim\frac{f(x)\cdot o(\alpha^n)}{\alpha^k}=0 ，所以结论成立。四、等价无穷小的性质与等价无穷小替换法则设 lim\alpha=0,lim\beta=0,lim\gamma=0,lim\tilde{\alpha}=0,lim\tilde{\beta}=0，\alpha\sim\tilde{\alpha}，\beta\sim\tilde{\beta} 1自反性： \alpha\sim\alpha 2对称性：若 \alpha\sim\beta 则 \beta\sim\alpha 3传递性：若 \alpha\sim\beta ， \beta\sim\gamma 则 \alpha\sim\gamma 4无穷小替换法则 lim\frac{\alpha}{\beta}=lim\frac{\tilde{\alpha}}{\tilde{\beta}} 重要说明，1，2，3，4可以搭配使用，你如果明白我说的意思，你就真的明白了无穷小替换以上四条非常容易证明下面给出用于泰勒展开求极限的重要无穷小替换5 若 \alpha \sim \beta 则有o(\alpha)=o(\beta)
虽然有点难以理解，但是很强大证明：因为 lim\frac{o(\alpha)}{\beta}=lim\frac{o(\alpha)}{\alpha}\times\frac{\alpha}{\beta}=0\times1=0
所以 o(\alpha)=o(\beta) 怎么用于泰勒求极限呢，举个例子，可能会遇见 o(\alpha)+o(\beta) 的情况那么用第五条就有 o(\alpha)+o(\beta)=o(\alpha)+o(\alpha)=o(\alpha) ，这里的 \alpha 越简单越好
直接给我的结论已知在 \lim\limits_{x \to x_0}f(x) =0,\lim\limits_{x \to x_0}g(x) =0,g(x) \ne 0 下，有 \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 ，那么\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \lim\limits_{x \to x_0}g(x)=0 * 0=0 。 即 f(x) 是无穷小乘以无穷小，因此它无穷小的级别是比g(x)更加高阶的无穷小。如果看懂这个了，就没必要往下看了。速度并非指导数最近正在准备考研，也被高阶无穷小的概念困扰了。原因来源于同济大学的教材:但事实上，同济版教材在快慢这些词上都加了引号。如果你将这些快慢理解成导数的大小，我觉得就有可能犯错。比如举一个简单的反例:当x从 0.5
\to 0 时，函数 g(x)=x^2 的导数是小于1的，而f(x)=x 的导数恒为1，那么不是f(x)趋于0的速度更快？？？，但事实上我们知道g(x)是f(x)的高阶无穷小。所以仅从导数大小来理解高阶无穷小的话，是不对的。那它到底是啥？首先这个快，我觉得压根就不要有这个概念。然后再继续进行分析高阶无穷小的概念。根据同济教材关于高阶无穷小的定义:这里需要注意3点：1. \alpha 不能为0，也即是说在x趋于x0的时候，分母不能出现0的无定义点，典型的错误就是 \frac{\sin (x\sin(\frac{1}{ x}))}{x\sin(\frac{1}{ x})} ,虽然当x趋于0的时候，上下都趋于0，但是分母在趋于0的过程中却不可避免地出现零点。也即是说该比值极限不存在。当然，这个不是高阶无穷小探讨范围了，可以自行忽略。2.我对高阶无穷小的理解，见下面的例子:我们知道当x趋于0的时候，函数 ax,bx^2(a \ne 0,b \ne 0)
都是关于x的无穷小量。操作:我们取x=0.1，对应的函数分别取 0.1a,(0.1)^2b ，取x=0.01，对应的函数分别取 (0.1)^2a,(0.1)^4b ,取x=0.001，对应的函数分别取 (0.1)^3a,(0.1)^6b ......观察1:从整体上看，当x趋于0的时候，二者都趋向于0，这符合无穷小量的定义。观察2:x从0.1到0.01到0.001到...，函数 bx^2,ax 的比值为 0.1\frac{b}{a} 和 (0.1)^2\frac{b}{a} 和 (0.1)^3\frac{b}{a} .....,你知道这意味着什么吗？这意味着，由观察1可以得到大家都在趋向0，但是x越趋近于0，由于 bx^2 与 ax 的比值越来越小，而且(为了简单，仅考虑x正半轴趋向0)必然存在某个x0>0，使得 x_0\frac{b}{a}=1 ,那么当0<x<x0的时候,相比于 ax 而言， bx^2 还要更加小，并且小的相对程度随x趋向0是会变得越来越明显。而最终当x几乎接近0的时候， x\frac{b}{a} =0 ,而 ax 是个无穷小，那么 bx^2 不就是无穷小乘以无穷小，比无穷小还小？！！！专业点说， bx^2 就是关于 ax 的高阶无穷小，并记做 bx^2 = o(ax) 。补充:如果单独出现 o(ax） ，那么它代表的含义就是 \lim\limits_{x \to 0}\frac{o(ax)}{ax}=0 。当然，宽泛来讲，已知在 \lim\limits_{x \to x_0}f(x) =0,\lim\limits_{x \to x_0}g(x) =0,g(x) \ne 0 下，有 \lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0 。我觉得可以简单通过极限运算法则理解:根据极限运算法则: \lim\limits_{x \to x_0}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \lim\limits_{x \to x_0}g(x)=0 * 0=0 。即f(x)是无穷小乘以无穷小，那么f(x)是不是比无穷小还小，那么是不是可以说相对于是g(x)的高阶无穷小。3.关于 \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\beta}{a^k}=c \ne 0,k >0 ,这个其实就是标度问题，假设 \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\beta_1}{a}=0 , \lim\limits_{x \to x_0} \frac{\beta_2}{a}=0 ，我们知道 \beta_1,\beta_2 都是a的高阶无穷小，但是谁的无穷小级别更小呢?这就引入阶的概念。k越大，谁就越小。比如 \beta_1=x^2 ,\beta_2=x^3,a=x ,那么k1=2，k2=3。所以是 \beta2 比 \beta1 更小。总结: \lim\limits_{x \to x_0}f(x)=\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \lim\limits_{x \to x_0}g(x)=0 * 0=0

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