中国石油大学（北京）远程教育学院《结构力学》在线作业《结构力学》在线作业(主观题)平台提交说明一．答题方法在工作室“在线作业（主观题）”模块下载《结构力学》在线作业（主观题），第2章―第7章分别有在线作业和作业提示，每章选作4道题目，手写完成在线作业，并对已经完成的在线作业拍照或者扫描，将照片或者扫描件以图片格式插入word文档中，将在线作业（主观题）上传到工作室“在线作业（主观题）”模块。作业量相当于全日制大学生作业题量的1/3-1/2，希望同学们认真完成。二．注意事项1.在线作业必须手写完成，每张作业纸上都要求有年级、姓名和学号三个信息。如果没有上述三个信息，不确定是否本人完成，作业成绩均为零分。2.将手写完成的在线作业题目按照题目顺序拍照或者扫描，将照片或者扫描件以图片格式插入word文档中。3.不能分多次上传多张jpg格式文件，以免造成文件的丢失，不能上传压缩包文件，需要上传doc、docx格式文件。4.照片、扫描件必须保持清晰可见。第一章重点要求掌握第一章介绍结构力学基本概念、结构力学研究对象、结构力学的任务、解题方法、结构计算简图及其简化要点、结构与基础间连接的简化、计算简图、杆件结构的分类、载荷的分类。要求掌握明确结构力学求解方法、会画计算简图，明确铰结点、刚结点、滚轴支座、铰支座、定向支座、固定支座的力学特点作业题：无第二章重点要求掌握第二章介绍几何不变体系和几何可变体系的构造规律和判断方法，以及平面杆系体要求掌握几何不变体系的构造规律,会进行几何分析，判定静定结构和超静定结构作业题：2-1对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示从基础开始分析：将地基看成刚片，刚片AB与地基有三个链杆连接，三链杆不交同一点，组成几何不变体；刚片CD与扩大的地基有三个链杆连接三链杆不交同一点，组成几何不变体；刚片EF与扩大的地基有三个链杆连接三链杆不交同一点，组成几何不变体。2-2对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示从基础开始分析：A点由两个链杆固定在地基上，成为地基一部分；BC杆由三根不交同一点的链杆固定在基础上；D点由两根链杆固定在基础上，组成没有多于约束的几何不变体。2-3对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示把地基看成刚片，杆AB和杆BC是两外两个刚片，三个刚片由铰A、B、C链接，三铰共线，所示体系为几何瞬变体（几何可变体的一种）2-4对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示将ABC看成一个刚片，将CDE看成另一个刚片，地基是第三个刚片，三个刚片由铰A、C、E链接，三铰不共线，组成没有多于约束的几何不变体2-5对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示用一根链杆将BB’连接起来，所示体系按照二元体规则，A、A’、E、E’点拆掉，然后，将体系按照H、D、D’、C、C’、G顺序逐步拆完，剩下一个三角形BFB’（几何不变体），原来体系缺少一个必要约束（图中的BB’杆），所以原来体系是几何可变体。2-6对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示按照二元体规则，ADC可以看成刚片，与地基通过瞬铰F相连，同样，BEC可以看成刚片，与地基通过瞬铰G相连，刚片ADC和刚片BEC通过铰C相连，F、C、G三铰不共线，图示结构为没有多于约束的几何不变体。2-7对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示杆ADE和杆BE通过铰E相连，在通过铰A、B与地基相连，A、B、E三铰不共线，组成几何不变体成为扩大的地基，刚片CE通过两根杆与地基连接，所以图示体系缺少一个必要约束，是几何可变体。2-8对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示将曲杆AC和曲杆BD看成刚片，两刚片通过瞬铰G相连，地基为第三个刚片，三个刚片通过A、B、G三铰相连，三铰不共线，所示体系是没有多于约束的几何不变体。2-9对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示从左侧开始分析，AE是固定在地基上，是基础的一部分，刚片BG通过链杆EF和铰B固定在地基上；刚片CH通过链杆GH和铰C固定在地基上；刚片DI通过链杆HI和铰D固定在地基上；所示体系为没有多于约束的几何不变体。2-10对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示杆AE和杆DI固定在地基上，成为地基的一部分，刚片CH通过铰C和链杆HI固定在基础上，成为不变体，刚片BG通过三根杆约束到地基上，整个体系是没有多于约束的几何不变体。2-11对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示节点D通过两根链杆固定在地基上，同样节点C、E分别通过两根链杆固定在地基上，构成几何不变体，扩大了基础，在从左向右分析，刚片FG通过不交一点的三根链杆连接到基础上，节点H、I、J分别用两根链杆约束，整个体系是没有多于约束的几何不变体。2-12对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示刚片AB由三根不交一点的小链杆固定在基础上，节点D有三根链杆固定，所以体系为有一个多于约束的几何不变体，即一次超静定结构。2-13对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示杆AC和BD固定在基础上，成为基础的一部分，CD杆为多于约束，整个结构是有一个多于约束的几何不变体，即一次超静定结构2-14对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示先分析内部，杆AC、AF、FD组成的三角形为一个刚片，杆BC、BG、GE组成的三角形为另一个刚片，EF为第三个刚片，三个刚片通过不再同一条直线上的三铰C、F、G相连，构成一个大刚片，大刚片再由三个小链杆与基础相连，整个体系是没有多于约束的几何不变体。2-15对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示先分析内部，杆AC、AD、DC组成的三角形为一个刚片，中间多余一个链杆DF，杆BC、BE、EC组成的三角形为另一个刚片，中间多余一个链杆EG，DE为第三个刚片，三个刚片通过不再同一条直线上的三铰D、E、C相连，构成一个大刚片，大刚片再由三个小链杆与基础相连，整个体系是有两个多于约束的几何不变体，即两次超静定结构2-16对图示体系作几何组成分析，如果是具有多于约束的几何不变体系，指出多于约束的数目提示约束对象(刚片或结点)的选择至关重要,若选择不当将给构造分析带来很大困难,特别是在分析较复杂的三刚片体系时。这时,应考虑改变约束对象的选择方案。例如上图所示体系，一般容易将地基和ABD、BCF分别看作刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ(约束对象)。此时刚片Ⅰ、Ⅲ之间既无实饺也无瞬铰连接,无法进行分析。若改变约束对象,将刚片Ⅱ换成杆DE(见上图),而链杆AB、BD、DA变成约束。于是,刚片I、Ⅱ由瞬铰E连接,刚片Ⅱ、Ⅲ由∞点瞬铰O相连,刚片Ⅰ、Ⅲ由瞬铰C相连。再判定三瞬铰是否共线即可得到正确结论。可以看出,新方案中每两个刚片间均以两链杆形成的瞬铰相连;原方案中刚片I、Ⅱ间和刚片Ⅱ、Ⅲ间均以实佼紧密相连,造成刚片Ⅰ、Ⅲ间无法实现有效连接。第三章重点要求掌握本章结合几种常用的典型结构型式讨论静定结构的受力分析问题，涉梁、刚架、桁架、组合结构、拱等。内容包括支座反力和内力的计算、内力图、受力特性分析等，讲解内容是在材料力学等课程的基础上进行的，但在讨论问题的深度和广度上有显著的提高，要求掌握静定多跨梁和静定平面刚架的受力分析，静定平面桁架的受力分析，组合结构和三铰拱的受力分析，隔离体方法、构造和受力的对偶关系。作业题：3-1试作图示静定多跨梁的弯矩图和剪力图提示（1）求支座反力，此题为静定组合梁，ABE为基本部分，EC为附加部分，先分析附加部分（2）求剪力，逐步取隔离体（3）求弯矩，采用取隔离体方法，求出关键点弯矩，其中匀布载荷作用的DB部分，叠加上匀布载荷作用在简支梁的效果3-2试作图示静定多跨梁的弯矩图和剪力图提示（1）求支座反力，此题为静定组合梁，ABF为基本部分，GD为附加部分，先分析附加部分（2）求剪力，逐步取隔离体（3）求弯矩，采用取隔离体方法，求出关键点弯矩，其中匀布载荷作用的FB部分，叠加上匀布载荷作用在简支梁的效果3-3试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图，并校核所得结果提示(1)支座反力(2)杆端剪力(3)轴力(4)弯矩图3-4试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图，并校核所得结果提示（1）支座反力（2）求杆端剪力（3）求杆端轴力（4）求杆端弯矩，画弯矩图3-7试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图，并校核所得结果提示（1）先求支座反力（2）求杆端弯矩（3）求杆端剪力(4）求杆端轴力3-8试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图，并校核所得结果提示（1）求支座反力（2）求杆端弯矩3-9试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图，并校核所得结果提示（1）求支座反力（2）求杆端剪力（3）求杆端轴力（3）求杆端弯矩3-14试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图，并校核所得结果解:(1)求支座反力(2)剪力图(3)弯矩图3-16试求图示三铰拱的支座反力，并求界面K的内力提示（1）支座反力（2）K点几何参数（3）K截面弯矩（4）K点剪力（5）K点轴力3-17试求图示抛物线三铰拱的支座反力，并求界面D和E的内力提示（1）根据几何条件，在图示坐标下，求抛物线方程。（2）求D点几何参数（3）求E点几何参数（4）支座反力（5）求D点内力（6）求E点内力第四章重点要求掌握1.
掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理的内容及其应用条件:掌握广义位移与广义荷载的概念。2.
掌握结构位移计算一般公式,并能正确应用于各类静定结构受荷载作用、支座移动等引起的位移计算。3.
熟练掌握梁和刚架位移计算的图乘法。4.
了解曲杆和拱的位移计算及温度变化时的位移计算。5.
了解互等定理作业题：4-1a求图示结构B点的水平位移提示分别作已知载荷作用下结构的弯矩图和虚拟载荷作用下结构的弯矩图,然后积分4-1b求图示结构B点的水平位移提示分别作已知载荷作用下结构的弯矩图和虚拟载荷作用下结构的弯矩图，然后积分。4-1c求图示结构B点的水平位移提示：分别作已知载荷作用下结构的弯矩图和虚拟载荷作用下结构的弯矩图，然后积分。4-3a试用图乘法求图示结构中B处的转角和C处的竖向位移提示：本题适合用图乘法求解4-3b试用图乘法求图示结构中B处的转角和C处的竖向位移提示本题适合用图乘法求解4-3c试用图乘法求图示结构中B处的转角和C处的竖向位移提示本题适合用图乘法求解4-4a求图示结构C点竖向位移提示:4-4b求图示结构C点和A点竖向位移提示本题适合分段积分或者图乘法4-6求图示结构A点的竖向位移，已知提示
(1)求支座在已知载荷作用下的反力
(2)求CD杆在已知载荷作用下的轴力(3)求已知载荷作用下得弯矩和CD的轴力(4)求支座在单位虚拟载荷作用下的反力
(5)求CD杆在单位虚拟载载荷作用下的轴力
(6)求单位虚拟载载荷作用下得弯矩和CD的轴力
(7)求A点的竖向位移4-7图示结构支座B发生水平位移a、竖向位移b，求由此产生的铰C左右两截面的相对转角以及C甸的竖向位移提示为求C点左右两截面的相对转角，在C点虚拟加单位弯矩，为求C点竖向位移，在C点虚拟加单位竖向载荷第五章重点要求掌握1.
掌握力法的基本原理及解题思路，重点在正确地选择力法基本体系，明确力法方程的物理意义。2.
熟练掌握在荷载作用下超静定梁、刚架、排架内力的求解方法。3.
掌握用力法求解在支座发生位移时梁和刚架内力的方法。4.
能利用对称性进行力法的简化计算。5.
能计算超静定结构的位移及进行变形条件的校核作业题5-1a确定超静定结构的次数提示:去掉三个链杆，变成静定的悬臂梁，所以本结构是3次超静定结构5-1b确定超静定结构的次数提示:去掉A点链杆，结构变成静定组合梁，所以本结构是1次超静定结构5-1c确定超静定结构的次数提示:去掉A点两个链杆约束，结构变成静定刚架，所以本结构是2次超静定结构5-1d确定超静定结构的次数提示:去掉CF、CG、FG共3个链杆，A、B为固定支座改为铰支座，结构成为静定结构，所以本结构是5次超静定结构5-1e确定超静定结构的次数提示将圆环截断，结构成为静定结构，所以本结构是3次超静定结构5-1f确定超静定结构的次数提示:将两个方框截断，去掉其中3个固定支座，结构成为静定结构，所以本结构是15次超静定结构5-1g确定超静定结构的次数提示:将两个方框截断，结构成为静定结构，所以本结构是6次超静定结构5-1h确定超静定结构的次数提示:将两个方框截断，去掉一个固定支座，结构成为静定结构，所以本结构是9次超静定结构5-1i确定超静定结构的次数提示:AB是连接4个点的复链杆，相当于2n-3=5个单链杆，同理，BC相当于2n-3=5个单链杆,总计22各单链杆，地基外9个点，18个自由度，所以本结构是4次超静定结构5-1j确定超静定结构的次数提示:将A、B、C改为铰支座，结构成为静定结构，所以本结构是3次超静定结构5-2a用力法计算下面结构，并绘出弯矩图提示这是一次超静定问题，由于B点实际位移等于0，得到力法基本方程根据公式得弯矩图5-2b用力法计算下面结构，并绘出弯矩图提示:这是一次超静定问题，由于B点实际位移等于0，得到力法基本方程根据公式 得弯矩图5-2c用力法计算下面结构，并绘出弯矩图提示这是一次超静定问题，由于A点实际位移等于0，得到力法基本方程根据公式 得弯矩图5-2d用力法计算下面结构，并绘出弯矩图，EI为常数提示本题为2次超静定问题，基本体系和基本结构见图力法基本方程5-2e用力法计算下面结构，并绘出弯矩图解:这是一次超静定问题，由于C点实际位移等于0，得到力法基本方程5-5试用力法计算图示铰接排架，绘出其弯矩图，并计算C点的水平位移。已知：提示这是一次超静定问题，截断CC,得到基本体系，去掉载荷得到基本结构,由于截面相对位移等于0，得到力法基本方程5-7试求题5-2图a中C点的竖向位移提示前面已经做出超静定问题弯矩图为求C点水平位移，在C点加单位虚拟载荷，并作 图再求C点竖向位移5-8试求题5-2图d中C截面的转角提示前面已经做出超静定问题弯矩图为求C点转角，在C点加单位虚拟载荷（顺时针单位弯矩），并作 图再求C点竖向位移第六章重点要求掌握本课要点1.
位移法的基本原理2.
位移法的基本未知量3.
等值截面杆的杆端弯矩公式4.
位移法的基本方程5.
对称性利用基本要求

1、位位 移移 法法 学习内容学习内容 1.位移法的基本概念位移法的基本概念 2.等截面杆件的刚度方程等截面杆件的刚度方程 3.无侧移刚架的内力计算无侧移刚架的内力计算 4.有侧移刚架的内力计算有侧移刚架的内力计算 5.位移法的基本体系位移法的基本体系 6.对称结构的计算对称结构的计算 要求要求：熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确：熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确 定、位移法典型方程的建立及其物理意义、位移法定、位移法典型方程的建立及其物理意义、位移法 方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终方程中的系数和自由项的物理意义及其计算、最终 弯矩图的绘制。弯矩图的绘制。 熟记一些常用的形2、常数和载常数。熟记一些常用的形常数和载常数。 掌握利用对称性简化计算。掌握利用对称性简化计算。 掌握荷载作用下超静定结构的计算，掌握荷载作用下超静定结构的计算， 位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和直位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和直 接平衡方程法。接平衡方程法。 超静定结构计算的总原则：超静定结构计算的总原则：欲求超静定结构先取一欲求超静定结构先取一 个基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方个基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方 面与原结构完全一样。面与原结构完全一样。 超静定结构计算超静定结构计算 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。位移法是计算超静定结构的另一种3、基本方法。 分析超静定结构时，有两种基本方法：分析超静定结构时，有两种基本方法： 第一种：第一种： 以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然 后计算位移后计算位移力法。力法。 第二种：第二种： 以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再 计算内力计算内力位移法。位移法。 结构结构 在外因作用下在外因作用下 产生产生 内力 变形 内力与变形间存在关系内力与变形间存在关系 第一节第一节 位移法的基本概念位移法的基本概念 位移法是以结点的位移作为的未知量的位移法是以结点的位移作为的未知量的。 位移法4、是以力法作为基础的。位移法是以力法作为基础的。 下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。 结点位移与杆端位移分析结点位移与杆端位移分析 BD伸长： DA伸长： 2 2 DC伸长： 2 2 杆端位移分析杆端位移分析 由材料力学可知： NDB EA F L 2 22 NDANDC EA FF L 杆端力与杆端杆端力与杆端 位移的关系位移的关系 D D结点有结点有 一向下的一向下的 位移位移 FP ABC D 45o45o 0 22 22 (22) 2 NDBNDCNDAP P Y FFFF EA F L 建立力的建立力的 平衡方程平衡方程 由方程解得： 5、2 (22) PL EA 位移法方程位移法方程 把回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ： 2 2222 P NDBNDANDC FP FFF 由结点平衡： 由结点平衡或截面平衡，建立方程；由结点平衡或截面平衡，建立方程； 结点位移回代，得到杆端力。结点位移回代，得到杆端力。 总结一下位移法解题的步骤：总结一下位移法解题的步骤： 确定结点位移的数量；确定结点位移的数量； 写出杆端力与杆端位移的关系式；写出杆端力与杆端位移的关系式； 解方程，得到结点位移；解方程，得到结点位移； 位移法未知量的确定位移法未知量的确定 位移法是以结点的位移作为的未知量的位移法是以结点的位移作为的未知量的。 结点6、：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=。 只有一个刚结点B，由于忽 略轴向变形，B结点只有 B B结点有一个转角和水平 位移 B BH A B C A B C例1： 例2： 例3： 有四个刚结点有四个刚结点E E、F F、D D、C C，由于忽，由于忽 略轴向变形，此四点的竖向位移均零，略轴向变形，此四点的竖向位移均零， 因此该结构的未知量为：因此该结构的未知量为： EFCDEFCD 例7、4： 有两个刚结点有两个刚结点B B、C C，由于忽略轴向，由于忽略轴向 变形，变形，B B、C C点的竖向位移为零，点的竖向位移为零，B B、C C 点的水平位移相等，因此该结构的未点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为知量为： BCBC 结论： 刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。 有两个刚结点有两个刚结点B B、C C，由于，由于 忽略轴向变形及忽略轴向变形及B B、C C点的约点的约 束，束，B B、C C点的竖向、水平位点的竖向、水平位 移均为零，因此该结构的未移均为零，因此该结构的未 知量为知量为： BC 桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个桁架杆件要考虑轴向变形。因此8、每个 结点有两个线位移。该结构的未知量为：结点有两个线位移。该结构的未知量为： .AHAVBHBVDH A BCD 例5： AB C D 例6： 排架结构，有两个铰结点A、B， 由于忽略轴向变形，A、B两点的竖 向位移为零，A、B两点的水平位移 相等，因此该结构的未知量为： AB EA= AB CD ABDCc 例7： EA= AB CD EFG 例8： CDECHDV 该题的未知量为 对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角 位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位 移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其 变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几9、 个线位移。 AB C D E AB C D E 例9： 刚架在均布荷载作用下，产 生如图曲线所示的变形。 第二节第二节 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程 B 刚结点B处：两杆杆端都发生了 角位移 ； 杆长为：杆长为：L L 未知量为未知量为： B q A B C EI EI q B C EI B B 对于BC杆：其变形及受力情况 与：一根一端固定一端铰结的 单跨超静定梁，在均布荷载 q 以及在固定端B处有一角位移 作用下的情况相同，其杆端力 可以用力法求解。 BC杆 B 对于BA杆：其变形与受力情况相当 于：一根两端固定的单跨超静定梁 ，在B端发生了角位移 的结果,其 杆端力10、也可以用力法求解。 结论： 在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作 一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。 B B A BA杆 为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的 杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。 剪力与轴力的规定没变剪力与轴力的规定没变。 正弯矩：对杆端是顺 时针转的，对结点是 逆时针转的。 下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用 下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。 弯矩的正负规定弯矩的正负规定：绕杆端顺时针旋转为正，逆时：绕杆端顺时针旋转为11、正，逆时 针旋转为负，但对结点与支座，逆时针旋转为正。针旋转为负，但对结点与支座，逆时针旋转为正。 转角和侧移都是以顺时针为正转角和侧移都是以顺时针为正。 如下图所示，两端固定的杆如下图所示，两端固定的杆AB,发生如图所示的支座发生如图所示的支座 位移，求杆位移，求杆AB的杆端弯矩的杆端弯矩。 MBA MAB B A 杆端力和杆端位移的正杆端力和杆端位移的正 负规定负规定： 杆端转角杆端转角A A 、B B位移位移 ，都以顺时针为正。，都以顺时针为正。 杆端弯矩都以顺时针杆端弯矩都以顺时针 为正。为正。 三次超静定结构，只能用力法求解，需解除三个约束三次超静定结构，只能用力法求解，需解除三个约12、束。 1、确定基本体系、确定基本体系 2、确定基本方程、确定基本方程 AC XX 1212111 BC XX 2222121 3、确定系数与自由项、确定系数与自由项 i l EI ll EI333 2 2 1 11 i l EI ll EI333 2 2 1 22 2112 663 1 2 1 i l EI ll EI i l EI 令 l C 1 l C 2 4、解方程，求杆端弯矩、解方程，求杆端弯矩 A l X i X i 21 6 1 3 1 B l X i X i 21 3 1 6 1 l iiiXM BAAB 624 1 l iiiXM BABA 642 2 2 1266 l i l13、 i l i l MM FF BA BAAB BASABS B A SAB BA AB l i l i l i l i ii l i ii F M M 2 1266 6 42 6 24 几种不同远端支座的刚度方程几种不同远端支座的刚度方程 （1）远端为固定支座）远端为固定支座 由于由于B=0带入方程带入方程(a)中中 得得 l i iM AAB 6 4 l i iM ABA 6 2 l iiiXM BAAB 624 1 l iiiXM BABA 642 2 2 1266 l i l i l i F BAABS (a) （2）远端为活动支座）远端为活动支座 l iiiXM BAAB 624 1 14、l iiiXM BABA 642 2 2 1266 l i l i l i F BAABS (a) 由于由于MBA=0带入方程带入方程(a) 中得中得 l i iM AAB 3 3 （3）远端为滑动支座）远端为滑动支座 l iiiXM BAAB 624 1 l iiiXM BABA 642 2 2 1266 l i l i l i F BAABS (a) A l 2 1 由于由于 , 带入方程带入方程(b)中得中得 0 SBAABS FF 0 B (b) AAB iM ABA iM 由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。 单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MA15、BMBAQAB= QBA 4i2i =1 A B A B12 12 l i l i 6 l i 6 l i 6 A B 1 0 l i 3 A B =1 3i 0 2 3 l i A B =1 i i0 l i 3 由荷载求固端反力由荷载求固端反力 固端弯矩与固端剪力：不同杆件在荷载作用下的杆固端弯矩与固端剪力：不同杆件在荷载作用下的杆 端弯矩和杆端剪力。因为它们是只与荷载形式有关端弯矩和杆端剪力。因为它们是只与荷载形式有关 的常数，故又称为载常数的常数，故又称为载常数 注：注：1）可在载常数表中查到，（此表由力法计算得到）可在载常数表中查到，（此表由力法计算得到） 2）三类杆件：两端固定的梁16、）三类杆件：两端固定的梁 一端固定、另一端简支的梁一端固定、另一端简支的梁 一端固定、另一端滑动支撑的梁一端固定、另一端滑动支撑的梁 3）固端弯矩与固端剪力均以顺时针为正。）固端弯矩与固端剪力均以顺时针为正。 单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图 A B12 2 ql 12 2 ql 2 ql 2 ql 2 2 l Pab 2 2 l bPa )( l a l Pb2 1 2 2 )( l b l Pa2 1 2 2 A B 8 2 ql 0 8 5ql 8 3ql 2 22 2l blPb)( 3 22 2 3 l blPb)( A B 3 2 ql 6 2 ql 0 ql 3 2 2 3 l 17、alPa)( 0 A B )(al l Pa 2 2l Pa 2 2 P 0 F AB M F BA M F AB Q F BA Q A B 由外荷载单独作用引起的杆端力称为载常数由外荷载单独作用引起的杆端力称为载常数。 F ABBAAB Q l i l i l i Q 2 1266 F BABABA F ABBAAB M l i iiM M l i iiM 6 42 6 24 F BABABA Q l i l i l i Q 2 1266 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式： F BABABA F ABBAAB M l i iiM18、 M l i iiM 6 42 6 24 两端固定单元杆端弯矩表达式：两端固定单元杆端弯矩表达式： 此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有 已知支座转角的固定端。已知支座转角的固定端。 一端固定一端铰结单元杆端弯矩表达式：一端固定一端铰结单元杆端弯矩表达式： 0 3 3 BA F ABAAB M M l i iM 此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有 已知支座转角的固定端。已知支座转角的固定端。 此铰接一般指结构内部杆与杆之间的铰结和与基此铰接一般指结构内部杆与杆之间的铰结和与基 础连接的铰支端。础连19、接的铰支端。 一端固定一端滑动单元杆端弯矩表达式：一端固定一端滑动单元杆端弯矩表达式： F BAABA F ABAAB MiM MiM - 此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有此固定端一般指结构内部杆与杆之间的刚结和有 已知支座转角的固定端。已知支座转角的固定端。 此滑动端一般指结构内部杆与杆之间的滑动连接此滑动端一般指结构内部杆与杆之间的滑动连接 和与基础连接的滑动端。和与基础连接的滑动端。 杆长为：杆长为：L L B 4 2 BAB AB EI M L EI M L BABA杆杆 2 3 8 BcB EIqL M L BCBC杆杆 1. 确定未知量确定未知量 B 未知量为未知量为: 20、: 2. 写出杆端力的表达式写出杆端力的表达式 3. 建立位移法方程建立位移法方程 取取B B结点，由结点，由 , ,得得: :0 B M 2 70 8 B qL i A EI B C EI q 4. 解方程，得解方程，得: 2 56 B qL i 5. 把结点位移回代，得杆端弯矩把结点位移回代，得杆端弯矩6. 画弯矩图画弯矩图 222 22 2 3 56814 4 5614 28 BC BA AB iqLqLqL M i iqLqL M i qL M qL2 8 qL2 14 qL2 28 A B C M图图 通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每个通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每21、个 杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确立杆杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确立杆 端位移和杆端力的关系；端位移和杆端力的关系； 通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位 移协调和部件平衡条件建立关于结点的平衡方程移协调和部件平衡条件建立关于结点的平衡方程; 解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。 l l q EI=常数 A B C A A R1 R1=0 R1P ql2/12 ql2/12 A B C A R11 A i2 A i4 A i4 A i2 12 2 1 ql R P ql2/12 R1P22、 A iR8 11 0 1 R AA 0 1 R AA AA 施加约束锁住结点，将结构变为两根超 静定杆，求荷载作用的弯矩图。 人为施加力偶，使结点产生角位移， 求单杆弯矩图。 q A B C q A B C 位移法计算思路的引入位移法计算思路的引入 R11 A i4 0 12 8 0 2 1111 ql i RRR A P i ql A 96 2 A B C ql2/24 5ql2/48 ql2/48 q A B C R1P ql2/12 ql2/12 12 2 1 ql R P A B C R11 A i2 A i4 A i4 A i2 A iR8 11 因此，位移法分析因此，位移法分析 23、中应解决的问题是中应解决的问题是 : : 确定单跨梁在各确定单跨梁在各 种因素作用下的种因素作用下的 杆端力。杆端力。 确定结构独立的确定结构独立的 结点位移。结点位移。 建立求解结点位建立求解结点位 移的位移法方程移的位移法方程. . 第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移 结构的结点位移结构的结点位移 独立结点线位移独立结点线位移 独立结点角位移独立结点角位移 确定未知量总原则：在原结构的结点上逐渐增加附加约确定未知量总原则：在原结构的结点上逐渐增加附加约 束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨 梁为止。未知量个数要最少。梁24、为止。未知量个数要最少。 独立角位移个数等于位移未知的刚结点个数；独立结点独立角位移个数等于位移未知的刚结点个数；独立结点 线位移个数等于结构铰化后为使铰结体系几何不变所要线位移个数等于结构铰化后为使铰结体系几何不变所要 加的最少链杆数。加的最少链杆数。 在结点上施加附加约束以消除独立位移即得位移法的基在结点上施加附加约束以消除独立位移即得位移法的基 本结构，对应独立角位移处施加限制转动的刚臂；对应本结构，对应独立角位移处施加限制转动的刚臂；对应 独立线位移处施加限制平移的链杆支座。独立线位移处施加限制平移的链杆支座。 第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移 刚架在荷载作用下结构发生了25、变形，结点刚架在荷载作用下结构发生了变形，结点C、D发生了转发生了转 动和移动。为了阻止结点移动，在结点动和移动。为了阻止结点移动，在结点D( (或结点或结点C) )上加上加 一附加链杆一附加链杆( (其作用是阻止结点线位移而不限制结点转其作用是阻止结点线位移而不限制结点转 动动) )。在原结构上，凡属各杆互相刚结的结点。在原结构上，凡属各杆互相刚结的结点( (包括组合包括组合 结点结点) )，都应加入一附加刚臂，而全铰结点不需附加刚臂，都应加入一附加刚臂，而全铰结点不需附加刚臂， 故只需清点刚结点的数目。故只需清点刚结点的数目。 位移法的基本结构是单跨梁系位移法的基本结构是单跨梁系 第三节第26、三节 确定独立结点位移确定独立结点位移 刚架铰化以判断加附加链杆的个数刚架铰化以判断加附加链杆的个数 刚架变成铰结体系，该体系需增加两根链杆才能组成几何刚架变成铰结体系，该体系需增加两根链杆才能组成几何 不变体系。原结构加上这两个链杆后各结点就不能移动了不变体系。原结构加上这两个链杆后各结点就不能移动了. . 第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移 寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数 在结点线位移固定的情况下，刚架各刚结点上附加在结点线位移固定的情况下，刚架各刚结点上附加 刚臂后就形成单跨梁系的基本结构了。刚臂后就形成单跨梁系的基本结构了。 第27、三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移 寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数 为了得到基本结构，有些情况并不需要把所有结点都变成为了得到基本结构，有些情况并不需要把所有结点都变成 不动结点。如不动结点。如图图(a)(a)所示结构中，对联结所示结构中，对联结CDCD与与DEDE杆而言，结杆而言，结 点点D D为刚结点，也有转角位移。又如为刚结点，也有转角位移。又如图图(b)(b)所示结构中，所示结构中，EFEF 附属部分为一静定简支梁。附属部分为一静定简支梁。 第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移 【例题例题】确定所示结构的位移法基本结构。28、确定所示结构的位移法基本结构。 【解解】在结点在结点F加一个附加链杆，这时结点加一个附加链杆，这时结点F不能移动。不能移动。F、B 二结点不移动，结点二结点不移动，结点E也就不移动了。也就不移动了。E、A二结点不移动，结二结点不移动，结 点点D也就不移动了。可见，只要加一个支杆，一排结点就都不也就不移动了。可见，只要加一个支杆，一排结点就都不 移动了，不管梁是水平的，还是斜的。移动了，不管梁是水平的，还是斜的。 在刚结点在刚结点D、E处加入二个附加刚臂。处加入二个附加刚臂。 位移法基本结构如图示。位移法基本结构如图示。 第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移 【例题例题】确定所示结构的29、位移法基本结构。确定所示结构的位移法基本结构。 【解解】化为铰结体系化为铰结体系( (未画出未画出) )不难看出，需加入两根附加支杆不难看出，需加入两根附加支杆 才能使其形成几何不变体系。才能使其形成几何不变体系。 在刚结点在刚结点B B、C C、D D处加入三个附加刚臂。处加入三个附加刚臂。 位移法基本结构如图示。位移法基本结构如图示。 第三节第三节 确定独立结点位移确定独立结点位移 【例题例题】确定所示结构的位移法基本结构。确定所示结构的位移法基本结构。 【解解】该结构为一阶形梁，若用位移法计算，应将变截面处取该结构为一阶形梁，若用位移法计算，应将变截面处取 为一个结点。铰结体系如为一个结30、点。铰结体系如图图(b)(b)所示，容易看出结点所示，容易看出结点C C能上下移能上下移 动，需加入一附加支杆动，需加入一附加支杆( (图图(c)(c)。 此外，还应在结点此外，还应在结点C C处加入一附加刚臂。处加入一附加刚臂。 位移法基本结构如位移法基本结构如图图(d)(d)所示。所示。 第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程 用位移法计算用位移法计算图图(a)(a)所示刚架时，首先要将其变为位移所示刚架时，首先要将其变为位移 法基本结构。法基本结构。 1. 典型方程法典型方程法 由于原结构只有结点由于原结构只有结点B B能转动，故需在结点能转动，故需在结点B B上加一刚臂上加31、一刚臂 1 1，以阻止其转动，以阻止其转动。 第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程 修改的结构变成了两个两端固定梁修改的结构变成了两个两端固定梁BABA和和BCBC组成的位移组成的位移 法基本结构。法基本结构。 1. 典型方程法典型方程法 基本结构与原结构的差别基本结构与原结构的差别 表现为：无转角，给结点表现为：无转角，给结点 施加了一个反力矩。施加了一个反力矩。 欲消除其差别，需将刚臂欲消除其差别，需将刚臂 1 1即结点即结点B B转动一个应有的转动一个应有的 即实际的角度即实际的角度Z Z。 第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程 刚臂转到应有角度时，结构恢复了32、附加刚臂前的自然状态，刚臂转到应有角度时，结构恢复了附加刚臂前的自然状态， 去掉刚臂，也会停留在原处，而不会再转动，即使不去掉刚去掉刚臂，也会停留在原处，而不会再转动，即使不去掉刚 臂，刚臂也不会起作用，即此时刚臂的反力矩臂，刚臂也不会起作用，即此时刚臂的反力矩 R1=0 由原结构变为基本结构，再由基本结构恢复为原结构的由原结构变为基本结构，再由基本结构恢复为原结构的 过程为：先加刚臂，固定结点后，加上荷载，此时刚臂产生过程为：先加刚臂，固定结点后，加上荷载，此时刚臂产生 反力矩。然后，转动刚臂，放松结点。转动一点，刚臂的反反力矩。然后，转动刚臂，放松结点。转动一点，刚臂的反 力矩就减少一点，33、转动到应有位置时，刚臂的反力矩就变为力矩就减少一点，转动到应有位置时，刚臂的反力矩就变为 零了。零了。 1. 典型方程法典型方程法 结构受两种作用，由叠加原理可分解为结点位移和杆结构受两种作用，由叠加原理可分解为结点位移和杆 中荷载两种情况。只有外力作用而无转角中荷载两种情况。只有外力作用而无转角Z1 1的影响的杆和的影响的杆和 只有杆端位移影响的杆。可用形常数和载常数求得。只有杆端位移影响的杆。可用形常数和载常数求得。 1. 典型方程法典型方程法 FP EI=常数常数 l 2 l 2 l A BC 1 Z FP 1 Z 基本体系基本体系 0 1 R 基本方程基本方程 基本未知量基本未知量 基34、本结构与原结构有两点区别基本结构与原结构有两点区别： 消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。 原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构在外因作用下是无结原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构在外因作用下是无结 点位移的；点位移的； 原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。 第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程 1. 典型方程法典型方程法 FP EI=常数常数 l 2 l 2 l A BC 1 Z FP 1 Z 基本体系基本体系 0 1 R 基本方程基本方程 基本未知量基本未知量 R1是基本35、体系在结点位移是基本体系在结点位移Z Z1 1和荷载共同作用下产生的附加约和荷载共同作用下产生的附加约 束中的反力（矩），按叠加原理束中的反力（矩），按叠加原理 R1等于各个因素分别作用等于各个因素分别作用 时产生的附加约束中的反力（矩）之和。于是得到位移法典时产生的附加约束中的反力（矩）之和。于是得到位移法典 型方程：型方程： 0 1111 P RZr 第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程 1. 典型方程法典型方程法 根据线弹性体系的叠加原理可知：约束位移和外因共同根据线弹性体系的叠加原理可知：约束位移和外因共同 作用下基本结构附加约束上产生的总反力等于零。作用下基本结构附加约36、束上产生的总反力等于零。 0 Pi j jiji RZrR),(ni21 以上各量可由形常数和载常数利用隔离体平衡求得。以上各量可由形常数和载常数利用隔离体平衡求得。 rij 是与外因无关的反力影响系数，是基本结构的特性。是与外因无关的反力影响系数，是基本结构的特性。 RiP是与基本结构的广义荷载相对应的反力。是与基本结构的广义荷载相对应的反力。 第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程 1. 典型方程法典型方程法 注意：注意： 位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各 结点位移共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。结点位移37、共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。 实质上是原结构应满足的静力平衡条件。实质上是原结构应满足的静力平衡条件。 位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的 反力（矩）。其中：反力（矩）。其中：RiP表示基本体系在荷载作用下产生的表示基本体系在荷载作用下产生的 第第 i 个附加约束中的反力（矩）个附加约束中的反力（矩）, ,称为自由项。称为自由项。rijZj 表示基表示基 本体系在本体系在Zj作用下产生的第作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）；个附加约束中的反力（矩）； 第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程 1. 38、典型方程法典型方程法 主系数主系数rii表示基本体系在表示基本体系在Zi =1=1作用下产生的第作用下产生的第i个附加个附加 约束中的反力（矩）约束中的反力（矩）, , rii恒大于零；恒大于零； 副系数副系数rij表示基本体系在表示基本体系在Zj =1=1作用下产生的第作用下产生的第i个附加个附加 约束中的反力（矩）；根据反力互等定理有约束中的反力（矩）；根据反力互等定理有rij = = rji ，副系，副系 数可大于零、等于零或小于零。数可大于零、等于零或小于零。 由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而 位移法方程是静力平衡条件，所以位39、移法校核的重点是平衡位移法方程是静力平衡条件，所以位移法校核的重点是平衡 条件（刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡）。条件（刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡）。 第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程：各种因素共同作用下杆各种因素共同作用下杆 端弯矩的表达式称为转角位移方程。端弯矩的表达式称为转角位移方程。 两端固定梁转角位移方程：两端固定梁转角位移方程： 1 3 2 4 F 4321 2 6 4 6 ABAB Mi l i i l i M F 4321 4 6 2 6 BABA Mi l i i l i M AB q 2. 直接平衡40、法直接平衡法 一端固定一端铰支梁转角位移方程：一端固定一端铰支梁转角位移方程： 两端固定梁转角位移方程：两端固定梁转角位移方程： 2. 直接平衡法直接平衡法 第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程 1 3 2 F ABAB M l i i l i M 321 3 3 3 0 BA M AB q 54 / 98 一端固定一端铰支梁转角位移方程：一端固定一端铰支梁转角位移方程： 一端固定一端定向支承梁转角位移方程：一端固定一端定向支承梁转角位移方程： 1 AB q F ABAB MiM 1 F BABA MiM 1 已知杆端弯矩，可由杆件的矩平衡方程求出剪力：已知杆端弯矩，可由杆件的矩41、平衡方程求出剪力： 2. 直接平衡法直接平衡法 两端固定梁转角位移方程：两端固定梁转角位移方程： 第四节第四节 建立位移法基本方程建立位移法基本方程 直接列平衡方程法：直接列平衡方程法：位移法方程实质上是静力平衡方程。位移法方程实质上是静力平衡方程。 对于结点角位移，相应的是结点的力矩平衡方程；对于对于结点角位移，相应的是结点的力矩平衡方程；对于 结点线位移，相应的是截面的投影平衡方程。直接由转结点线位移，相应的是截面的投影平衡方程。直接由转 角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，在有结点角角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，在有结点角 位移处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处，位移42、处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处， 建立截面的投影平衡方程。这些方程就是位移法的基本建立截面的投影平衡方程。这些方程就是位移法的基本 方程。方程。 2. 直接平衡法直接平衡法 以结点以结点B B的转角位移为的转角位移为基本未知量基本未知量Z。写出相应的杆端刚。写出相应的杆端刚 度方程。利用结点平衡列出方程，进而求杆件内力。度方程。利用结点平衡列出方程，进而求杆件内力。 2. 直接平衡法直接平衡法 FP EI=常数常数 l 2 l 2 l A BC lFiZM BAP 8 1 4 1 1 3iZM BC 0 BCBA MM lF i Z P 56 1 1 1. 典型方程法求解步骤典型43、方程法求解步骤 确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基 本体系。本体系。 令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本 结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加 约束中的总反力约束中的总反力( (矩矩)=0)=0，列位移法典型方程。，列位移法典型方程。 绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数 和自由项。和自由项。 解方程，求出结点位移。解方程，求出结点位移。 用公式叠加最后弯矩图。并校核平44、衡条件。用公式叠加最后弯矩图。并校核平衡条件。 根据根据M M图由杆件平衡求图由杆件平衡求FQ ，绘，绘FQ图，再根据图，再根据FQ图由结图由结 点投影平衡求点投影平衡求FN ，绘，绘FN图。图。 第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 2.典型方程法分析举例典型方程法分析举例 第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 20kN A B C 3m3m 6m ii 2kN/m1 1）确定基本未知）确定基本未知 量量Z Z1 1= =B B ； ； 2 2）确定位移法基）确定位移法基 本体系；本体系； 3 3）建立位移法典）建立位移法典 型方程；型方程； 0 P1111 RZr 4 4）画）45、画M、MP; ;由平由平 衡求系数和自由衡求系数和自由 项；项； 例题：例题：用位移法解图示连续梁作弯矩图。用位移法解图示连续梁作弯矩图。 Z1=1 2i 4i A B C 3i r11 4i 3i r11=4i+3i=7i M1 第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 20kN A B C ii 2kN/m1 1）确定基本未知）确定基本未知 量量Z Z1 1= =B B ； ； 2 2）确定位移法基）确定位移法基 本体系；本体系； 3 3）建立位移法典）建立位移法典 型方程；型方程； 0 P1111 RZr 4 4）画）画M、MP; ;由平由平 衡求系数和自由衡求系数和自由 项；项； 例46、题：例题：用位移法解图示连续梁作弯矩图。用位移法解图示连续梁作弯矩图。 k11=4i+3i=7i 2kN/m 20kN A B C 15 15 9 R1P 15 9 R1P=159=6 MP 2.典型方程法分析举例典型方程法分析举例 3m3m 6m 第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 20kN A B C ii 2kN/m A B C 16.72 11.57 9 5 5）解方程，求基）解方程，求基 本未知量；本未知量； ir R Z 7 6 11 P1 1 6 6）按）按 M=MiZi+MP 叠加最后弯矩图叠加最后弯矩图 30 M图图 (kN.m) 11.57 11.57 7 7）校核47、平衡条件）校核平衡条件 MB = 0 例题：例题：用位移法解图示连续梁作弯矩图。用位移法解图示连续梁作弯矩图。 2.典型方程法分析举例典型方程法分析举例 第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 例题：例题：用位移法解图示无侧用位移法解图示无侧 移刚架，作内力图。移刚架，作内力图。 15kN/m 48kN 4m 4m2m ii i 15kN/m 48kN 基本体系基本体系 Z1 2.典型方程法分析举例典型方程法分析举例 2m 第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 15kN/m 48kN 20 20 36 MP 2036 0 R1P=16 R1P+ 15kN/m 48kN 基本体系基本体48、系 Z1 M1 2i 4i 3i i 4i 3i i r11=8i r111 1 Z 解之：Z1=2/i P11 MZMM叠加弯矩图 0 P1111 RZrR 2.典型方程法分析举例典型方程法分析举例 例题：例题：用位移法解图示无侧用位移法解图示无侧 移刚架，作内力图。移刚架，作内力图。 第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 16 28 30 2 M图 (kN.m) 33 27 + 31.5 + 16.5 FS图 (kN) 2.典型方程法分析举例典型方程法分析举例 例题：例题：用位移法解图示无侧用位移法解图示无侧 移刚架，作内力图。移刚架，作内力图。 48 30 ll/2 l 2EI E49、I AB D C 2EI qq 0 1111 P RZr 基本体系基本体系 例题：例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。 第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 基本方程基本方程 1 Z q 1 1 Z i 4 i 8 i 3 i 4 i 4 i 3 i 8 11 r P1 R 2 12 1 ql 1 M P M 2 12 1 ql 2 12 1 ql 2 1 12 1 qlR P ir15 11 2 1 180 1 ql i Z P MMZM 11 第五节第五节 计算步骤和举例计算步骤和举例 60 1 45 1 180 7 180 19 2 ql 50、M 例题：例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。 4I4I5I 3I 3I iii 0.75 i 0.5 i iii 0.75 i 0.5 i A BC D E F 5m4m4m 4m 2m 20kN/m 1 1、基本未知量、基本未知量 2 2、基本体系、基本体系 CB ZZ 21 , 0 0 2222121 1212111 P P RZrZr RZrZr 3 3、典型方程、典型方程 1 Z 2 Z 20kN/m A BC D E F 基本体系基本体系 例题：例题：用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。用位移法解图示无侧移刚架，作内力图。 1 1、基本未知51、量、基本未知量 2 2、基本体系、基本体系 CB ZZ 21 , 3 3、典型方程、典型方程 M1 A BC D E F 3i 4i 2i 3i 1.5i M2 A BC D E F 3i 4i 2i 2i i ir10 11 irr2 2112 ir9 22 4 4、求系数和自由项、求系数和自由项 1 1、基本未知量、基本未知量 2 2、基本体系、基本体系 3 3、典型方程、典型方程 A BC D E F 20kN/m40 41.7 41.7 MP R1P= 4041.7 = 1.7 R2P= 41.7 5 5、解方程，求基本未知量；、解方程，求基本未知量； 074192 071210 2152、 21 . . iZiZ iZiZ iZ iZ /. /. 894 151 2 1 4 4、求系数和自由项、求系数和自由项 1 1、基本未知量、基本未知量 2 2、基本体系、基本体系 3 3、典型方程、典型方程 5 5、解方程，求基、解方程，求基 本未知量；本未知量； P2211 MMZMZM 4 4、求系数和自由项、求系数和自由项 6 6、叠加绘制内力图、叠加绘制内力图 A BC D E F 5m4m4m 4m 2m 43.5 40 46.9 24.5 62.5 14.7 9.8 4.9 3.4 1.7 M图(kN.M) 【例例】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图。设试用典型方程法计算图53、示结构，并作弯矩图。设EI=常数。常数。 解：解： (1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目 可以利用对称性取结构的可以利用对称性取结构的1/4部分进行计算，其基本未知量只有部分进行计算，其基本未知量只有 结点结点A的转角的转角Z1。 ll q ABC DEF EI=常数=常数EI l q l/2 G 2 B A i i q l 1 Z q i 2 iB A G k11 Z1=1 i 4 i 2 i 2 2i G A B ql 12 2 F1P G A B 2 12 ql ql 24 2 36 ql 2 2 ql 36 2 ql 36 ql 9 2 2 36 ql 2 ql 36 2 ql 54、1818 ql 2 2 ql 1818 ql 2 A D B EF C 2 9 ql 2 8 ql ()(ql 8 2 )(ql 8 22 8 ql () ll q ABC DEF EI=常数=常数EI l q l/2 G 2 B A i i q l 1 Z q i 2 iB A G k11 Z1=1 i 4 i 2 i 2 2i G A B ql 12 2 F1P G A B 2 12 ql ql 24 2 36 ql 2 2 ql 36 2 ql 36 ql 9 2 2 36 ql 2 ql 36 2 ql 1818 ql 2 2 ql 1818 ql 2 A D B EF C 2 9 q55、l 2 8 ql ()( ql 8 2 )( ql 8 22 8 ql () (2)选择基本体系选择基本体系 ll q ABC DEF EI=常数=常数EI l q l/2 G 2 B A i i q l 1 Z q i 2 iB A G k11 Z1=1 i 4 i 2 i 2 2i G A B ql 12 2 F1P G A B 2 12 ql ql 24 2 36 ql 2 2 ql 36 2 ql 36 ql 9 2 2 36 ql 2 ql 36 2 ql 1818 ql 2 2 ql 1818 ql 2 A D B EF C 2 9 ql 2 8 ql ()(ql 8 2 )(ql 8 22 8

2021-04-12 23:23
来源:
钢结构
本文转载自公众号筑龙结构设计
内容 来源：土木吧、iStructure
从一根悬臂梁的受力，演绎出典型结构的受力逻辑，通俗直观，值得我们结构工程师一读再读。
一、梁的历史学说
1638年伽利略在他的著作《关于两门新科学的对话》中，系统地介绍了他对梁强度问题的研究。其中一个关键问题就是悬臂梁的强度问题，这个问题一直影响着后来近两百年的研究。伽利略并没有正确地解决他提出来的问题，在讨论悬臂梁的强度时，书中隐含了两个错误，一是将根部AB截面上的拉应力看作是均布的，二是把梁的中性层取在梁的下侧。
伽利略关于两门新科学的对话中悬臂梁的插图
在伽利略的基础上，马略特、胡克、伯努利、铁木辛柯等对梁的理论进行了逐步完善，最终形成了可应用于工程的材料力学体系。亚· 沃尔夫在他1935 年出版的《十六十七世纪科学技术和哲学史》一书中，把伽利略、马略特和胡克理论得到的应力分布列在下面。
伽利略、马略特和胡克理论的应力沿截面分布图
二、悬臂梁的应力分布
本文不想谈那些复杂的公式，从直观感觉出发寻找应力分布的逻辑。假设如下图所示的一根悬臂梁，在端部受到竖向集中力的作用。
悬臂梁示意图
假设悬臂梁内部的材料组织是离散的，可能发生怎样的情况呢？
第一种情况，如下图所示，为横截面之间的错动。如果大家去工地上搬砖，应该能见到这个神器，这就是利用了砖与砖之间的摩擦力，临时形成了一根梁。
梁横截面之间的剪力
第二种情况，如下图所示，为纵截面之间的错动。下图中书本的变形就是一个典型例子，因为书页之间的摩擦力非常小，书页（纵截面）间存在相对的错动。所以书本悬挑端部的变形非常大，本身也无法承受荷载。
梁纵截面之间的剪力
第三种情况，就是上一节讨论了好几百年的横截面弯矩，现在所有的结构人应该都很清楚其应力分布。对于悬臂梁来说，根部的弯矩最大。
梁根部的弯矩
因此，一根悬臂梁要想能成为可以承受荷载的构件。需要能抗剪，而且是两个方向；同时，需要能抗弯。
对于一根建筑中常用的实腹梁，梁纵剖面之间的抗剪承载力非常高，常常被我们忽视。但理论上，任何结构都必须能够抵抗以上三种破坏模式。
三、悬臂结构
首先说明一点，如果将悬臂结构旋转90度，那就可以看成高层建筑。悬臂结构上的竖向荷载就是高层建筑的水平力；悬臂梁的横向剪力就是层间剪力；悬臂梁根部的弯矩就是倾覆力矩。
将悬臂梁旋转90度后的受力情况
围绕着悬臂结构如何抵抗剪力和弯矩，将结构类型分为以下两类：
1）剪力由构件的抗弯能力抵抗
如下图所示的一个悬臂结构通常称为空腹桁架。该悬臂结构的横向剪力由上下弦杆的抗弯能力抵抗，其纵向剪力由竖腹杆的抗弯能力抵抗。悬臂结构根部弯矩由弦杆的弯矩和轴力承担，若杆件的尺度都差不多，那么弦杆的轴力较小。将手机转过90 度，该悬臂结构就是框架结构。该结构的刚度，取决于杆件和节点的抗弯刚度。
空腹桁架示意图一
假设我们将竖腹杆的抗弯刚度设为无穷大，如下图所示。增强竖腹杆的刚度，竖腹杆所承担的剪力就会增大，上下弦杆承担的轴力会因此而增大。弦杆的共同作用增强，该悬臂结构根部的抗弯能力得到增强。
空腹桁架示意图二
马克俭院士的盒式结构即利用了这个原理，其本质上是一个空腹桁架。通过将竖腹杆的刚度做得很大，以此增加上下弦杆的共同作用。
盒式结构示意图及实景图
如果进入另一个极端，假设我们将竖腹杆的抗弯刚度设为零，即竖腹杆两端铰接， 如下图所示。此时，两根弦杆变成独立的两根悬臂梁。将手机转过 90 度，就是排架结构。由于该悬臂结构无法承担纵向剪力，因为该结构的刚度最弱，类似于错动的书页。
排架示意图
由以上分析可知，一个悬臂结构纵横两个方向的抗剪能力都将影响整个结构的受力性能。剪力墙结构中的连梁可以看作空腹桁架的竖腹杆。弹性阶段，连梁的刚度完整，其承担着整个悬臂结构的纵向剪力，剪力墙整体作用明显；在大震作用下，连梁开裂刚度削弱，无法承担整个悬臂结构的纵向剪力，剪力墙中的轴力减小，结构抗侧刚度削弱。
林同炎设计尼加拉瓜美洲银行时即应用的此原理。在风及小地震作用下的周期T=1.33秒，地震水平力F=2700KN；大震作用下连梁开裂后，其抗剪承载力削弱，结构主周期变成T=3.5秒，地震水平力F=1300KN。
剪力墙与连梁的关系示意图及震后的美洲银行
2）剪力由构件的抗拉（压）能力抵抗
如果增加一根斜杆，如下图所示的悬臂结构称为桁架。此时我们发现，悬臂结构的水平和竖向的剪力都由斜杆轴力的分量来承担了。如果将手机转过90 度，这就是支撑框架。
桁架示意图
四、构件与结构
一般我们认为结构可以看成是由一个个构件组装而成，但也可以看成由一根巨大的构件从中掏空而成。本文即介绍了将结构作为构件来考虑的一种逻辑。这两者应该是一个辩证的关系。这两种不同的看法，还会形成结构形态优化的两种截然不同的方法。一种是枚举法、一种是拓扑优化（扯远了，以后再介绍）。
由于人类对于材料的认知，目前还停留在一维的阶段。对于结构验算，我们倾向于将结构看成由构件组装而成，所有的结构验算都是将非常复杂的问题降维。直至降维到钢材的单向受拉承载力、混凝土的单向受压承载力。
结构、构件、材料的关系
三维
二维
一维
结构
构件
材料（钢筋、混凝土、钢材）
楼层剪力、倾覆力矩
剪力、弯矩、轴力
拉、压应力
但为什么我们做设计时感觉是在验算构件？因为常用的设计软件通过各种近似手段，将结构的内力降一维到了构件层次的外力，再将材料的承载力升一维到构件承载力。最终体现在操作层面就是我们在验算构件。本文第三节是从设计的角度讲了一下升维的逻辑，一般我们所说的结构概念大抵是这样一个升维的概念吧。
三体世界中一个11维的粒子可以包含整个太阳系的信息，并且可以任意地降维、升维。如果有一个比人类超前得多的文明，看到我们还在通过把三维的问题降到二维的层面上去解决，是否会觉得可笑。未来如果有一天，计算一栋楼就像计算一根构件一样，不用再降维，那效率应该是很高的。
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