问一道大学为什么概率论这么难的问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-08-07 09:49 标签： 为什么概率论这么难
有一道高中时代遇到的反直觀的概率题，直到现在都还记忆犹新。题目是这样描述的，一个飞机上有一百个座位，编号是从1到100。现在编号为1到100的乘客依次坐上飞机。编号为1的乘客比较皮，上了飞机之后是随机（等概率地）坐座位的。编号为2的乘客上了飞机之后，他先看有没有人坐在2号位上，如果有，那他就在剩下的位子里随机（等概率地）挑选一个，如果没有人坐，他就坐在2号位上。3号也是一样，如果前面有人已经坐了3号位了，他就在剩下的位子上随便挑一个做，反之则坐自己位子。以此类推，最后问题是，第100个人坐在第100号位子上的概率应该是多少。为什么对这道题目印象深刻呢，因爲全憑感覺看來，最後一個上飛機的，他的座位有可能被前99個人中的任何一個人占據，因此坐到自己位子的概率應該不怎麽大才對。但是實際上這個人坐到自己位子的概率其實應該是1/2！當時這種反直觀讓我真的挺驚喜的。因爲這個問題沒有看到過標準答案，所以下面po了一個我自己的證明過程，可能略顯繁冗.證明的核心就在於: 最後一個隨機坐座位的人，他只能以1/2概率坐1號位或者100號位。令 X_i 表示坐在第 i 号位子上的人的编号。那我们要算的就是 P(X_{100} = 100)。那 P(X_{100} = 100) = \sum_{k = 1}^{99}P(X_{100} = 100, X_{1} = k) 。 这里要注意的一件事情是，坐在第一号位子上的人之后的人，全都坐对位子了。画个图来解释一下。 假如说第一个人没坐自己位子，坐了 i_1
号位，那其实1到 i_1
之间所有人都坐的是对的。那 i_1
编号的人进来之后，他的选择其实只有坐1号位，或者 i_1 之后的所有位子。同理对于 i_2 以及之后没坐在自己位子上的人来说也是一样。那现在如果有一个人进来之后，发现自己位子被坐了（如果编号是1，省去发现这个动作），然后选择坐在了1号位子上。根据我们之前的分析，他能够选择的位子，是1号位以及他自己编号之后的所有位子，也就是说他编号之后的所有位子都空着的。这就说明最初的结论：坐在第一号位子上的人之后的人，全都坐对位子了。利用刚才的逻辑，我们能类似地说明，坐在第一百号位子上的人，从他的编号之后开始，直到第99号为止，所有人都坐对的那么，当 k=1 ,我们有\begin{align} P(X_{100} = 100, X_1 = 1) &= P(X_1 = 1)\\ &=P(X_1 = 1, X_j = j, \forall 1< j < 100) \end{align}以及：\begin{align} P(X_{100} &= 100, X_1 = 1)\\ & = P(X_1 = 1)\\
&= P(X_{100} = 1)\\ &=P(X_{100} = 1, X_j = j, \forall 1 < j < 100)
\end{align}合起来就得到 P(X_{100} = 100, X_1 = 1)=\frac{1}{2}P(X_j = j, \forall 1 < j < 100)类似的，当 2 \leq k < 100 ,\begin{align} P(X_{100}=100, X_1 = k) &=P(X_{100} = 100, X_1 = k,
X_j = j, \forall
k < j <100)\\ &=P(X_1 = k, X_j = j, \forall k < j < 100) \end{align} 以及\begin{align} P(X_{100} = 100, X_1 = k) &=P(X_1 = k)\\ &= P(X_1 = k, X_k \neq k)\\ &= P(X_1 = k
X_k \neq k) P(X_k \neq k)\\ &= P(X_{100} = k|X_k \neq k)P(X_k \neq k)\\ &=P(X_{100} = k, X_k \neq k)\\ &=P(X_{100} = k, X_j = j, \forall k < j <100) \end{align}因此：P(X_{100} = 100, X_1 = k) = \frac{1}{2}P(X_k \neq k, X_j = j, \forall k < j < 100)最后，注意到整个概率空间 \Omega=\cup_{2 \leq k \leq 99}\{X_k \neq k, X_j = j, \forall k < j < 100\}\cup\{X_j = j, \forall 1 < j < 100\} , 并且这些集合之两两不相交, 因此\begin{align} P(X_{100} = 100) &= \sum_{k = 1}^{99}P(X_{100} = 100, X_k = 1)\\ &=\frac{1}{2}P(X_j = j, \forall 1 < j <100) + \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{99}P(X_k \neq k, X_j = j, \forall k < j <100)\\ &=\frac{1}{2}
\end{align}

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