学习阶段：大学数学。前置知识：复变函数的导数与积分、洛朗级数。根据柯西积分定理，解析函数随便画个圈，积分都为零，没啥好讨论的。我们加一点难度，从这个解析函数里面挖去几个点，构造孤立奇点，然后研究它的积分。由于积分和路径无关，那么积分值就只和这几个孤立奇点的情况有关，这引出了本篇文章的主要内容。1. 孤立奇点孤立奇点：函数在一个点不解析，但是在这个点的某个去心邻域解析，这个点就是孤立奇点。为什么要研究孤立奇点？因为常见的奇点都是分母不为零约束出来的，诸如 \frac{1}{z+1} ， \frac{z}{\sin{z}} ， e^{\frac{1}{z}} 这种函数，这种奇点往往都是孤立奇点。而且孤立奇点有非常好的性质，值得研究。有些函数如 \frac{1}{\sin{\frac{1}{z}}} 在 z=0 是非孤立奇点，我们在此就不研究它了。2. 留数与留数定理现在我们看看除孤立奇点之外解析的函数的积分。除孤立奇点之外解析的函数的积分比如说上图这个积分，可以怎么计算？我们可以利用类似上一篇文章推导洛朗级数时用的挖洞的办法：孤立奇点挖洞法1当缺口收缩闭合时，联络线的积分互相抵消，因为蓝色路径内部完全解析，有 \oint_L+\oint_{L_1+L_2+L_3}=0 ，那么 \oint_L=\oint_{L_1^-+L_2^-+L_3^-} ，即下图中的 \oint_L=\sum \oint_{绿色路径} . 孤立奇点挖洞法2这告诉我们，求取“除孤立奇点之外解析的函数的积分”，可以先找到路径之内所有的奇点，然后把环绕这些奇点的积分求和，即得到结果，这就是留数定理的含义。关于留数定理，我们后面会详述。上述结论告诉我们，环绕孤立奇点的积分有重要意义。设函数为 f(z) ，奇点为 z_0 ，环绕这个奇点的积分为 \oint_Cf(z)dz ，注意到洛朗级数中负一次方项的系数为c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{-1+1}}d\zeta=\frac{1}{2\pi i}\oint_Cf(\zeta)d\zeta 这不正好能求出我们所需要的东西嘛！这个 c_{-1} 很有用，我们给它专门取一个名称：留数：把函数 f(z) 在某个孤立奇点 z_0 的去心邻域内洛朗展开，称负一次方项的系数 c_{-1} 为 f(z) 在 z_0 点的留数，记作 \text{Res}[f(z),z_0] ，即\mathrm{Res}[f(z),z_0]=c_{-1}=\frac1{2\pi i}\oint_Cf(z)dz\\ 有了留数，我们就可以给出留数定理：留数定理：设函数 f(z) 在正向闭合路径 C 内除有限个孤立奇点 z_1,z_2,\cdots,z_n 之外处处解析，则 \oint_Cf(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^n\text{Res}[f(z),z_k] . 留数定理的本质就是柯西积分定理，即解析函数的积分与路径无关。3. 留数的求法，孤立奇点的分类留数最直接的求法，当然就是洛朗展开，然后求 c_{-1} 咯！比如说求 \text{Res}\left[e^\frac{1}{z},0\right] ，对 e^{\frac{1}{z}} 在
z|>0 洛朗展开得e^{\frac{1}{z}}=1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2!z^2}+\frac{1}{3!z^3}+\cdots 显然 c_{-1}=1 ，那么 \text{Res}\left[e^\frac1z,0\right]=1 . 3.1 可去奇点有一种情况，如 f(z)=\frac{\sin{z}}{z} ，它在z=0处是孤立奇点，但是它的洛朗展开式\frac{\sin{z}}{z}=1-\frac{z^2}{3!}+\frac{z^4}{5!}-\cdots 并不含负幂项，得到 \text{Res}\left[\frac{\sin{z}}{z},0\right]=c_{-1}=0 . 可以发现， \lim_{z\to 0}\frac{\sin{z}}{z}=1 ，如果补充z=0时f(z)=1，那么这个函数将全平面解析，好似这个奇点完全不存在一样，我们称这种奇点为可去奇点。有如下定理：设 f(z) 在有孤立奇点 z_0 ，则以下几个命题互相等价：(1) z_0 为 f(z) 的可去奇点。(2) f(z) 在 z_0 的去心邻域的洛朗级数无负幂项。(3) \lim_{z\to z_0}f(z)=c ， c 为常数。(4) 补充 z=z_0 时 f(z)=\lim_{z\to z_0}f(z) ，则函数在 z_0 解析。显然，可去奇点的留数必为0. 从某种角度上来说，我们可以把可去奇点“不当做奇点”。3.2 极点与零点还有一种情况，比如说 f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)} ，在 0<|z|<1 洛朗展开，分母上的这个 (z-1) 怎么办？洛朗级数可不能用求导 c_{-1}=\frac{f^{(-1)}(0)}{(-1)!} 来求系数，直接积分 c_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)dz 又太麻烦，好像很棘手！实际上，我们可以对 z^2f(z)=\frac{1}{z-1} 在
z|<1 处泰勒展开，这时就可以利用求导 c_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} 计算系数，有 z^2f(z)=-1-z-z^2-\cdots ，再得到原函数的洛朗展开 f(z)=-\frac{1}{z^2}-\frac1z-1-\cdots ，因此 \text{Res}\left[\frac{1}{z^2(z-1)},0\right]=-1 . 思考一下上述过程： f(z) 在某个点 z_0 是孤立奇点，但是 (z-z_0)^m f(z) 在 z_0 可能就变成了可去奇点。如果这种情况成立的话， (z-z_0)^m f(z) 就可以泰勒展开，没有负幂项，那么 f(z) 的洛朗级数的负幂项最高次不会超过 -m 次。当孤立奇点 z_0 的洛朗级数的负幂项有限时，容易发现 \lim_{z\to z_0}f(z)=\infty ，称这种孤立奇点为极点。有如下定理：设 f(z) 在有孤立奇点 z_0 ，则以下几个命题互相等价：(1) z_0 为 f(z) 的极点。(2) f(z) 在 z_0 的去心邻域的洛朗级数的负幂项有最高次数。(3) \lim_{z\to z_0}f(z)=\infty . (4) 存在某个整数m，使得 (z-z_0)^m f(z) 的 z_0 是可去奇点。(5) 存在某个整数m与某个在 z_0 解析的函数 g(z) 且 g(z_0)\neq0 ，有 f(z)=\frac{g(z)}{(z-z_0)^m} . 同时，进一步定义：设 f(z) 在 z_0 的洛朗展开式的负幂项最高次为 -m 次，称 z_0 为 f(z) 的m阶极点。相应地，根据上述定理中的(5)，有 \frac{1}{f(z)}=\frac{(z-z_0)^m}{g(z)} ，称 z_0 为 \frac{1}{f(z)} 的m阶零点。在高数中，m阶极点对应于m阶无穷大，m阶零点对应于m阶无穷小。那么，m阶极点的留数怎么求呢？首先，化极点为可去奇点，令 g(z)=(z-z_0)^mf(z) ，然后求泰勒级数的系数。求哪一个系数？我们要求的是 f(z) 的 c_{-1} ，也就是要求 g(z) 的 c_{m-1} ，有 c_{m-1}=\frac{g^{(m-1)}(z_0)}{(m-1)!}=\text{Res}[f(z),z_0] . 总结一下：若 z_0 为 f(z) 的m阶极点，则 \text{Res}[f(z),z_0]=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}((z-z_0)^mf(z)) 上述定理中的极限符号，可以理解为是“给可去奇点一个面子”。3.3 本性奇点最古怪的奇点就是本性奇点了，正如第3节“留数的求法，孤立奇点的分类”一开始给出的例子 e^{\frac1z} 一样，负幂项有无穷多项。有如下定理：设 f(z) 在有孤立奇点 z_0 ，则以下几个命题互相等价：(1) z_0 为 f(z) 的本性奇点。(2) f(z) 在 z_0 的去心邻域的洛朗级数的负幂项有无穷多项。(3) \lim_{z\to z_0}f(z) 不存在，且不为 \infty . 本性奇点一般直接洛朗展开求 c_{-1} ，没有什么更好的办法。3.4 洛朗级数的解析部分和主要部分将f(z)在孤立奇点 z_0 附近洛朗展开为f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n 其中 \sum_{n=0}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n 是解析的，称为f(z)在 z_0 的解析部分；负幂项 \sum_{n=-\infty}^{-1}c_n(z-z_0)^n 决定了孤立奇点 z_0 的分类，体现了该奇点的主要性质，称为f(z)在 z_0 的主要部分。4. 无穷远点4.1 无穷远点留数的定义实际上，我们也可以把复变函数的无穷远点视为一个奇点，同时研究无穷远点的留数。考虑了无穷远点的复平面，被称为扩展复平面。不过无穷远点留数的路径该怎么规定呢？复球面是一个很不错的研究无穷远点的工具，如下图所示：复球面在复平面的原点放一个球面，联结球面“上顶点”和复平面上任意一点，可以构建复平面到该球面的双射（例如图中的红点对应褐色点），所以该球面被称为复球面。复球面的“上顶点”在复平面上找不到对应，它可以代表无穷远点，当复平面上任意复数 z 的模长
z|\to \infty 时，均可视为 z\to\infty . 再看看复平面上任意一条正向环绕路径在复球面上的对应（例如图中的绿色路径对应褐色路径），可以发现，从球内向球外看，复球面上逆时针的环绕路径为正向的。那么，我们可以用同样的方法，在复球面上画出无穷远点的正向环绕路径，并对应到复平面上，即：无穷远点的正向环绕路径我们发现：环绕无穷远点的正向路径是顺时针的！而且，复球面上要保证褐色路径到球面“上顶点”的区域解析，对应复平面上的绿色路径外部区域解析。也就是说，如果 f(z) 在环域
z|>R 完全解析，那么 f(z) 的无穷远点是一个孤立奇点，存在留数，记为 \text{Res}[f(z),\infty] 或 \text{Res}f(\infty) . 在解析环域
z|>R 内对 f(z) 洛朗展开，得到 c_{-1}=\frac1{2\pi i}\oint_Cf(z)dz ，但是这里的 C 是逆时针环绕的，所以和无穷远点的留数差一个负号。所以我们定义\text{Res}[f(z),\infty]=-c_{-1}=\frac1{2\pi i}\oint_{C^-}f(z)dz\\ 这里 C^- 表示一条顺时针路径。4.2 无穷远点作为孤立奇点时的分类将f(z)在孤立奇点 \infty 附近洛朗展开为 f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^n ，与非无穷远点的情况正好相反，我们称\sum_{n=-\infty}^0c_nz^n 为f(z)在 \infty 的解析部分；正幂项的部分 \sum_{n=1}^{+\infty}c_nz^n 为f(z)在 \infty 的主要部分。当正幂项全为0时，称无穷远点为可去奇点；当正幂项的最高次幂为m次时，称无穷远点为m阶极点；当正幂项无最高次幂时，称无穷远点为本性奇点。4.3 无穷远点留数的求法一个比较经典的想法是换元：若 z\to\infty ，则 \frac 1z \to 0 ，我们看看 \text{Res}[f(z),\infty] 和 f\left(\frac 1z\right) 有没有什么关系。首先对 f(z) 在
z|>R 洛朗展开，得到 f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^n ，用 \frac 1z 替换 z 得到 f\left(\frac 1z\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^{-n} ，解析域 0<\left|\frac{1}{z}\right|<\frac{1}{R} ，即在点 0 的附近展开。上式系数 c_{-1} 对应的项是 z^1 ，我们可以提出 z^2 来，即：f\left(\frac 1z\right)=z^2\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^{-n-2}, \quad\frac{1}{z^2}f\left(\frac1z\right)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_nz^{-n-2} 上式中 z^{-1} 的系数是 c_{-1}，是点 0 的留数，正好也是 f(z) 无穷远点留数的相反数，所以我们有：\text{Res}[f(z),\infty]=-\text{Res}\left[\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),0\right] 4.4 扩展留数定理画一个足够大的正向圈 C ，圈住所有奇点，这当然也满足留数定理。注意到 \frac1{2\pi i}\oint_Cf(z)dz=-\text{Res}[f(z)+\infty] ，我们有定理：扩展留数定理：设函数 f(z) 在扩展复平面内除有限个孤立奇点 z_1,z_2,\cdots,z_n, \infty 之外处处解析，则 \text{Res}[f(z),\infty]+\sum_{k=1}^n\text{Res}[f(z),z_k]=0 ，即所有奇点的留数之和为零。

这部分有点偏题，但是我觉得你可能更需要这个，如果你是大一或者大二的学生的话。ps: 关于分段函数是不是初等函数这个问题，原则上很多分段函数都是初等函数，但是如果这样考虑可导和连续，分类非常难受，(你往下看就能感受到)，所以这里把它丢在非初等函数里。这是为了让"初等函数在定义域内处处连续且处处可导"正确，求导和连续的问题能简单清晰得多，当然如果考试问概念啥的你记得把它薅回来。pps: 关于初等函数是相对什么来说"初等"的这个问题，知乎有这方面的回答，我也是在知乎上看的。大概是说，初等函数并不相于高等函数，而是过去数学家们为了规范学术环境提出的概念。话说当年数学家们定义了很多很多函数，大家写论文开会的时候不知道自己的这个定义读者听众有没有学过，学的跟自己是不是一个版本，一个符号，讨论起来总是扯皮。大佬们觉得这样不行，就坐下来开了一个会，划分一类初等函数，一类非初等函数，前者默认是数学常识，看论文开会的人必须都会，而且把符号写法都固定下来，大家用统一的格式，后者默认是个性化内容，看论文开会的人都不会，所以无论谁使用非初等函数，都得在后面附上定义。初等函数(定义域内连续且可导)六+不知道多少种: 常数，幂(幂的反函数还是幂)，指数，三角，(指数的反函数)对数，(三角的反函数)反三角+它们有限次数的复合或四则运算(复合函数比方说跟号下(3x^3)，函数的四则运算比方说(e^x)/(x^3)，x不等于0)ps: 有一种"初等函数"是你以为它不是，其实它是，比方说x^x。(工科微积分课本范围内)，非初等函数四种: 1一种是可以视为"初等函数+单独的点"，拼成的各种分段函数，比方说绝对值函数，取整函数，符号函数，电压函数....乃至你瞎jb定义的一个分段函数，(因为正常人真的不太可能想到下面三种情况)。2一种是分段又不能当成1处理的函数，比方说在讲函数周期性的时候举的例子，用了狄利克雷函数，又比方说信号系统(另一门课)讲傅里叶级数收敛条件的时候举的例子，它长这样:(瞒不相识，作者奥本海姆也说这种情况自然界罕见，所以傅里叶级数在这种情况下不收敛不影响傅里叶级数放之四海皆可用的牛逼)3一种是初等函数的积分(初等函数在定义域上一定有原函数)，积分是个很流氓的运算，经常积着积着就变成非初等函数，你公式分部换元三板斧搞完之后还积不出来的积分都是非初等函数，比方说讲二重积分的极坐标计算的时候举的例子，e^(-x^2)的积分。4一种是作为方程的解出现的函数，比方说在电磁场学生看来(并不)臭名昭著的勒让德函数，贝赛尔函数，(虽然我们从小到大解了无数次方程，但是实际上没初等函数解是一般情况，有才叫意外)。ps: 有一种"非初等函数"是你以为它不是，其实它是，比方说sinx，你规定定义域为从0到2的闭区间。这其实是分段函数，因为本质上是你瞎jb定义了一个f(x): x<0时f(x)=0，x=0时f(x)=0，0<x<2时f(x)=sinx，x=2时f(x)=sin2，x>2时f(x)=0。然后回答问题楼主说"对于初等函数，连续但不可导的情况"，那不好意思，只要把分段函数全丢到非初等函数里，初等函数"定义域内"处处连续且可导就是对的，(有个别点的导数为无穷大，概念上视为在那一点导数不存在，比方说x^1/3在x=0处，但无论用定义还是用公式，它都不影响使用导数，这一点可以洛必达，可以泰勒)，不用纠结可导不一定连续的问题，(这本质上是因为求导真的是个有武德的运算，不像积分那样耍流氓)。ps: 初等函数没定义的地方既不连续又不可导，比方说(1/x)sin(1/x)，x不等于0。x=0是一个震荡间断点，(你可以试试在x=0附近画图2333)，但哪怕是这种变态，它在定义域内也是连续且可导的！楼主说"对于非初等函数，连续但不可导的情况"，这个在工科高数课本范围内只有两种: 1一种是可视为"初等函数+单独的点"的那种分段函数，你可以让它连续，但在定义域接口那个地方左右导数不存在或者左右导数不相等，就会不可导，(所以有"连续不一定可导"的说法)2一种是函数项无穷级数(数列和函数)。比方说楼上提到的著名函数，(其实在点开这个问题之前我都不知道有这个魏尔斯特拉斯函数233)，就可以看作是一个函数项无穷级数。ps: 对于无限个初等函数的和，它可以是非初等函数，比方说上例，(也可以是初等函数，比方说几何级数)。如果函数项无穷级数的通项是初等函数，那么其导函数(如果有的话)也是初等函数。要想满足楼主的要求，就是要让原函数收敛，导函数不收敛。pps: 理论上无限个初等函数的积，也可能达成这个要求(这是我用jio想的，书上没有也没有例子，总之还是问问老师吧)。就没有了！反正我没翻到！如果还有那肯定是他们数院学生的事情，不听不听王八念经。