这是函数的基本性质，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。函数的基本性质第1篇一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。定义：（略）定理1： 那么上是增函数；上是减函数.定理2：（导数法确定单调区间） 若 ，那么上是增函数； 上是减函数.1.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数 和 ，如果函数 在区间 上具有单调性，当 时 ，且函数 在区间 上也具有单调性，则复合函数 在区间 具有单调性。3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数 和 ，若它们的定义域分别为 和 ，且 ：(1)当 和 具有相同的增减性时，① 的增减性与 相同，② 、 、 的增减性不能确定；(2)当 和 具有相异的增减性时，我们假设 为增函数， 为减函数，那么：① 的增减性不能确定；② 、 、 为增函数， 为减函数。4.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。二、函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。1.函数 的图象的对称性（自身）:定理1: 函数 的图象关于直 对称特殊的有：①函数 的图象关于直线 对称 。②函数 的图象关于 轴对称（奇函数） 。③函数 是偶函数 关于 对称。定理2：函数 的图象关于点 对称特殊的有：① 函数 的图象关于点 对称 。② 函数 的图象关于原点对称（奇函数） 。③ 函数 是奇函数 关于点 对称。定理3：（性质）①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2
a－b|是其一个周期。④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。2.两个函数图象的对称性:①函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.②函数 与函数 的图象关于直线 对称.特殊地: 与函数 的图象关于直线 对称③函数 的图象关于直线 对称的解析式为④函数 的图象关于点 对称的解析式为⑤函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。3．奇偶函数性质对于两个具有奇偶性的函数 和 ，若它们的定义域分别为 和 ，且 ：（1）满足定义式子 （偶） （奇）（2）在原点有定义的奇函数有(3)当 和 具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：①函数 、 也为奇函数；简单地说：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数.② 、 为偶函数；③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数(4)当 和 具有相异的奇偶性时，那么：① 、 的奇偶性不能确定；② 、 、 为奇函数。（6）任意函数 均可表示成一个奇函数 与一个偶函数 的和。（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性 关于 轴对称的函数（偶函数）关于原点 对称的函数（奇函数）（9）若 是偶函数，则必有若 是奇函数，则必有（10）若 为偶函数，则必有若 是奇函数，则必有（11）常见的奇偶函数三、函数的周期性函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。1.周期性的定义对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 都成立，那么就把函数 叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数 是函数 的周期，那么 、 （ ）也是函数 的周期。2. 函数的周期性的主要结论：结论1：如果 （ ），那么 是周期函数，其中一个周期结论2：如果 （ ），那么 是周期函数，其中一个周期结论3：如果定义在 上的函数 有两条对称轴 、 对称，那么 是周期函数，其中一个周期结论4：如果偶函数 的图像关于直线 （ ）对称，那么 是周期函数，其中一个周期结论5：如果奇函数 的图像关于直线 （ ）对称，那么 是周期函数，其中一个周期结论6：如果函数同时关于两点 、 （ ）成中心对称，那么 是周期函数，其中一个周期结论7：如果奇函数 关于点 （ ）成中心对称，那么 是周期函数，其中一个周期结论8：如果函数 的图像关于点 （ ）成中心对称，且关于直线 （ ）成轴对称，那么 是周期函数，其中一个周期结论9：如果 或 ，那么 是周期函数，其中一个周期结论10：如果 或 ，那么 是周期函数，其中一个周期结论11：如果 ，那么 是周期函数，其中一个周期例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。故选(A)例6.求证:若 为奇函数，则方程 =0若有根一定为奇数个。证: 为奇函数 - =2 =0 即 =0是方程 =0的根若 是 =0的根，即 =0 由奇数定义得 =0也是方程的根即方程的根除 =0外成对出现。方程根为奇数个。例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。（A） 1999； （B）2000； （C）2001；（D）2002。解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，∴y = g-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,应选（C）例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，f (x) = － x，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题）解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （ ）(A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)函数的基本性质第2篇活动目标：1、利用几何画板的形象性，通过量的变化，验证并进一步研究函数图象的性质。2、利用几何画板的动态性，从变化的几何图形中，寻找不变的几何规律。3、学会作简单函数的图象，并对图象作初步了解。4、通过本节课的教学，把几何画板作为学生认知的工具，从而激发学生学习和探索数学的兴趣。活动重点：图形的性质和规律的探索活动难点：几何画板的操作（作函数的图象）活动设施：微机室（有液晶投影仪和大屏幕或大彩电）；软件：windows操作平台、几何画板、office2000等、教师准备好的五个画板文件：hstx1.gsp、hstx2.gsp、hstx3.gsp 、ymdl1.gsp、ymdl2.gsp。活动过程 ：一、展示活动主题和目标：二、活动过程 ：操作练习一：按下列步骤进行操作，并回答相应的问题。1、打开c:sketchhstx1.gsp画板文件；2、拖动点E和点F沿坐标轴运动（或双击按钮“动画1”），同时观看解析式中的k和b的变化。①当k>0时，图象经过哪几个象限？②当k<0时，图象经过哪几个象限？3、双击显示按钮后，在k>0和k<0两种情况下，拖动点P沿直线移动，观察y随x怎样变化？（或双击动画2按钮，单击鼠标左键动画停止，要继续动画，再双击动画2按钮）4、先在坐标系内作出直线（或直接打开文件：c:sketchhstx2.gsp）附：作图步骤①点击“文件”菜单中的“新绘图”命令；②用“直尺工具”中的直线工具，在绘图板内画一直线，并用文本工具给直线上的两个空心点加上标签A和B；③用“选择工具”选中直线后，点击“度量”菜单中的“方程”命令，得坐标系和直线的方程；然后，再进行以下操作，并回答问题：（1）用鼠标拖动直线进行平移，k和b中哪个变，哪个不变？（2）当直线通过原点时，b为多少？此时函数又叫什么函数？（3）拖动点A，使直线绕点B旋转，观察直线的倾斜程度与k之间的关系？操作练习二：1、打开文件：c:sketchhstx3.gsp2、保持a不变，分别上下移动b、c改变b、c的大小时，抛物线的形状是否变化？上下移动a改变a的大小，注意观看抛物线的开口方向与什么有关？张口程度与什么有关？3、上下移动c改变c的大小，看抛物线怎样变化？4、分别改变a、b的大小，看抛物线的对称轴是否发生变化？由3和4可知，抛物线的对称轴与什么有关？与什么无关？5、c保持不变，改变a、b时，抛抛线总是经过哪一点？6、抛物线与x轴交点的个数与b2-4ac的符号有什么关系？7、双击显示按钮，再双击动画按钮，观察y随x怎样变化？8、当a=0时，函数的'图象是什么？操作练习三：打开文件：c:sketchymdl1.gsp圆的两弦AB、CD相交于圆内一点P，我们得到 ，如果把点P拖到圆外，上述结论是否成立？如果点在圆上呢？操作练习四：作函数y=x2-2的图象作图步骤：1、击“文件”菜单中“新绘图”命令，建立新的绘图板；2、点击“图表”菜单中的“建立坐标轴”；3、在横坐标轴上任找一点，用“文本工具”，加上标签“C”，选中C点，单击“度量”菜单中的“坐标”命令，得度量值，C：（-2.80,0.00）,再用“选择工具”选择它。（度量值变黑）4、点击“度量”菜单中的“计算”命令，出现计算器；5、点击“数值”下拉式菜单中的“点C”的“x”值，按“确定”按纽，得Xc=-2.80 再用“选择工具”选择它。（度量值变黑）6、点击“度量”菜单中的“计算”命令，出现计算器，再点击“数值”下拉式菜单中的“x[c]”，分别按计算器上的“∧”、“2”、“-”、“2”、 “确定”按纽。得到代数式的值：xc2-2=14.45.7、用“选择工具”，分别选中 Xc=-2.80 xc2-2=14.45. （选取第二个对象要按键盘上的“shift”键的同时再选）；8、点击“图表”菜单中的“绘出（x，y）”，得到点“E”。（如果看不到点E，说明它不在当前的视窗内，此时可调整C点，使该点出现在窗口内）；9、分别选中点E和点C，点击“作图”菜单中的“轨迹”，得二次函数的图象。操作练习五：运用练习四的原理，绘制其它函数的图象（包括学过的和没有学过的），谈谈你对所绘函数图象的认识。函数的基本性质第3篇一、 反函数的性质和应用（1）定义域值域相反 （2）图象关于 对称 （3）具有相同的单调性、奇偶性（4）单调函数一定具有反函数，具有反函数的函数不一定单调，偶函数和周期函数一定不具有反函数 （5）原函数过 则反函数过 反之亦然（6） ， ，但 仅当 才成立（二）奇偶函数性质（1）满足定义式子（2）在原点有定义的奇函数有 （3）两个偶函数之和、差、积、商为偶函数；（4）两个奇函数之和、差为奇函数；积（商）为偶函数；（5）一个奇函数和偶函数之积、商为奇函数．（6）任意函数 均可表示成一个奇函数 与一个偶函数 的和（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性（三） 周期性：定义、判断常见具有周期性的函数 或（四） 对称性：判断、性质（1）一个函数的对称性：1、函数 关于 对称 或 或 显然： 特殊的有偶函数关于y（即x=0）轴对称，则有关系式 ；一般的有 ，函数 关于直线 对称2、函数 关于点 对称或 显然特殊的有奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式一般的有 ，函数 关于点 对称3、函数自身不可能关于 对称，曲线则可能（2）两个函数的对称性：1、 与 关于X轴对称。2、 与 关于Y轴对称。3、 与 关于直线 对称。4、 与 关于直线 对称。5、 关于点(a,b)对称。6、 与 关于直线 对称。7、 关于直线 对称（四）三性的综合应用（08湖北卷6）已知 在R上是奇函数，且 AA.-2 B.2 C.-98 D.98（08四川卷）函数 满足 ，若 ，则 ( C )（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）（2010安徽理数）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则 的值为（ ）A、 B、1 C、 D、2（09江西卷）已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当 时， ，则 的值为 ( C )A．　　　 B．　　 　C．　　　 　D．(09东兴十月)定义在R上的函数 的图象关于点 对称，且满足 ， ， ，则 _______2009广东三校一模）定义在 上的函数 是奇函数又是以 为周期的周期函数,则等于 ( B )A.-1 B.0 C.1 D.4（2009全国卷Ⅰ理）函数 的定义域为R，若 与 都是奇函数， 则 ( D ) A、2009 B、-2009 C 、-2 D.、2若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4
a－b|是其一个周期。例2. 是定义在R上满足 的函数且满足 若 时 则 时＿＿,-6-3O361YX解：如图 函数在知识点及方法对称性、函数的奇偶性；二次函数的对称性；对称性与函数的解析式；化归思想二次函数的对称性1． 已知 是二次函数，图象开口向上, , 比较 大小。2． 若二次函数 的图象开口向下，且f(x)=f(4-x),比较 的大小。3． 二次函数 满足 ,求 的顶点的坐标。4． 已知 ,且 .（1）写出 的关系式 （2）指出 的单调区间。函数的对称性求解析式1． 已知 是偶函数，当 时， ,求 的解析式.2． 已知函数的 图象与函数 的图象关于原点成中心对称, 求 的解析式。3． 设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，若当x￡1时，y=x2＋1，求当x>1时, ,f(x)的解析式.4． 设 , 求 关于直线 对称的曲线的解析式.5． 已知函数 是偶函数，且x∈(0,+∞)时有f(x)= , 求当x∈(－∞,－2)时, 求 的解析式.6． 已知函数 是偶函数，当 时， 又 的图象关于直线 对称，求 在 的解析式.7． 已知函数 ）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 图象上A． B． C． D．8． 已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，那么不等式 的解集是（ ）9． 设定义域为R的函数 满足以下条件； ⑴ 对任意 ； ⑵ 对任意 ，当 时，有 则以下不等式不一定成立的是（ ） A． B．C． D．5、 已知定义在 上的函数 的图象关于点 对称，且 ， ， ，则 的值为（ ）A． B． C．0 D．17、已知函数 ，给出下列命题，⑴ 不可能为偶函数； ⑵ 当 时， 的图象必关于直线 对称； ⑶ 若 0，则 在区间 上是增函数； ⑷ 有最小值 ，其中正确命题的序号是______（将你认为正确的命题的序号都填上）．9．已知函数f(x)=x+x3+x5，xl，x2，x3∈R，且xI+x2＜0，x1+x3<0，x2+x3<0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值(B )A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不确定10．函数 在区间 上有最小值，则函数 在区间 上一定 （ D）A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数12．函数 ，若f（0）=3，且f（2 x）=f（x），则有（B　）A. 　 B.C. 　 D. 与 的大小不确定14．函数 的单调递增区间为 ，那么实数a的取值范围是 （ A）A． B． C． D．热点1 （图象与性质）．函数 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[-1，0）∪（0，1]，则不等式 － ＞-1的解集是A． B.C. D.５．函数 的定义域为D： 且满足对于任意 ，有（１）求 的值；（２）判断 的奇偶性并证明；（３）如果 上是增函数，求x的取值范围.７．对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的“滞点”.已知函数 = .(１)试问 有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；８．已知 是定义在[－1，1]上的奇函数，且 ，若 ， 恒成立.（1）判断 在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式 ；（3）若 对所有 恒成立，求实数m的取值范围.21．设函数 定义在R上，对于任意实数 、 恒有 当 时，①求证：②求证： 在R上递减；③设集合若 求 的取值范围．23.已知函数 的定义域为R，对任意实数m、n都有 ，且 ，当 时， .（1）求 ；（2）求和 ；（3）判断函数 的单调性并证明。22．设函数 的定义域为 且对任意的正实数 有 ，已知 且当 时 .⑴求 的值；⑵试判断 在 上的单调性并证明；（17）已知函数（1）判断函数的单调性,并用定义证明;　　　（2）求函数的最大值和最小值.（19）（本小题满分12分）设函数f(x)对任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(x)＜0.（1）证明：f(x)为奇函数；　　　　　（2）证明：f(x)在R上为减函数.13.对于函数f(x)和g(x)，在公共的定义域内，规定f(x)*g(x)＝min{f(x),g(x)}，若f(x)＝3－x，g(x)＝ ，则f(x)*g(x)的最大值是＿＿＿＿。变式：对于函数f(x)与g(x)，规定当f(x)≤g(x)时，f(x)·g(x)＝f(x)；当f(x)＞g(x)时，f(x)·g(x)＝g(x)。如果f(x)＝ ，g(x)＝3－x，则f(x)·g(x)的最大值为＿＿＿＿。