1高中数学升华公式
一、集合、简易逻辑、函数
1．究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定互异无序);已知集合={}
集合={0｜｜}且=则+=
2．究集合首先必须弄清代表元素才能理解集合的意义。已知集合={｜=
2∈
}={｜=
2+1∈}求∩；与集合={（）｜=
∈}={()｜
=2
+1∈}求∩的区别。
3．合、
时你是否注意到极端情况：
或；求集合的子集时是否忘记.例如：对一切恒成
立求的取植范围你讨论了＝2的情况了吗？
4．于含有个元素的有限集合其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次
为如满足条件的集合共有多少个
5．集合问题的基本工具是韦恩图;某文艺小组共有10名成员每人至少会唱歌和跳舞
中的一项其中7人会唱歌跳舞5人会现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人表演一个
唱歌和一个跳舞节目问有多少种不同的选法？
6．集合之间的关系。
7．()∩()=(∪)()∪()=(∩)；；
8、可以判断真假的语句叫做命题.
逻辑连接词有或、且和非.
、形式的复合命题的真值表:
且或真真真真真假假真假真假真假假假假
9、命题的四种形式及其相互关系
互逆互互互为互否逆逆否否否否否否互逆
原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
10、你对映射的概念了解了吗？映射：→中中元素的任意性和中与它对应元素
的唯一性哪几种对应能够成映射？
11、函数的几个重要性质：
①如果函数对于一切都有
或
（2）=（）
那么函数的图象关于直线对称.②函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数的图象关于直线对称；函数与函数
的图象关于坐标原点对称.
③若奇函数在区间上是递增函数则在区间上也是递增函数．④若偶函数在区间上是递增函数则在区间上是递减函数．原命题若则逆命题若则否命题若﹃ｐ则﹃逆否命题若﹃ｑ则﹃ｐ2⑤函数的图象是把函数
的图象沿轴向左平移个单位
得到的；函数(的图象是把函数的图象沿轴向右平移个单位得到的；函数+的图象是把函数
助图象沿轴向上平移个单位得
到的;函数+的图象是把函数助图象沿轴向下平移个单位得到的.
12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时你标注了该函数的定义域了吗？
13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数=
的定义域是；
复合函数的定义域弄清了吗？函数
的定义域是求
的定义域.函数的定义域是[]求函数的定义域
14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。若函数
=2+2--2(∈)的最小值为求的表达
15、函数与其反函数之间的一个有用的结论：设函数=()的定义域为值域为则
①若∈则=-1
;若∈则=[
-1
()];②若∈求
-1()就是令
=()求.(∈)即
互为反函数的两个函数的图象关于直线
=对称
16、互为反函数的两个函数具有相同的单调性;原函数
在区间上单调递增
则一定存在反函数且反函数
也单调递增；但一个函数存在反函数此函数不
一定单调．
17、判断一个函数的奇偶性时你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分
条件了吗？在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个
奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
18、根据定义证明函数的单调性时规范格式是什么？(取值作差判正负.)可别忘了
导数
也是判定函数单调性的一种重要方法。
19、你知道函数
的单调区间吗？（该函数在
和上单调递增；在和
上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
20、解对数函数问题时你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零底数
大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.
21、对数的换底公式及它的变形你掌握了吗？
（）
22、你还记得对数恒等式吗？（
）
23、实系数一元二次方程
有实数解转化为你是否注意到必须
；当=0时方程有解不能转化为
．若原题中
没有指出是二次方程、函数或不等式你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
二、三角、不等式
24、三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________；二倍角公式:
_________________万能公式______________正切半角公式____________________；
解题时本着三看的基本原则来进行:看角看函数看特征基本的技巧有:巧变角公式
变形使用化切割为弦用倍角公式将高次降次
25、在解三角问题时你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数在整个定
义域内是否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
26、在三角中你知道1等于什么吗？（
这些统称为1的代换)常数1的种种代换
有着广泛的应用．（还有同角关系公式：商的关系倒数关系平方关系；诱导公试：
奇变3偶不变符号看象限）
27、在三角的恒等变形中要特别注意角的各种变换．（如
等）
28、你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不含三角函
数、且能求出值的式子一定要算出值来）
29、你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特
殊角.异角化同角异名化同名高次化低次）；你还记得降幂公式吗？
=(1+)/2;
=(1-)/2
30、你还记得某些特殊角的三角函数值吗？
31、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(
)
32、辅助角公式：(其中角所在的象限由的符号确定角的值由
确定)在求最值、化简时起着重要作用.
33、三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的单调区、
对称轴取最值时的值的集合吗？（别忘了
三角函数性质要记牢。函数=
的图象及性质：振幅
周期=若=0
为此函数的对称轴则
0
是使取到最值的点反之
亦然使取到最值的的集合为——————————当
时函数的增区
间为—————减区间为—————；当
时要利用诱导公式将变为大于零后再用上面的结论。五点作图法：令依次为求出与依点作图
34、三角函数图像变换还记得吗？
平移公式
（1）如果点（）按向量
平移至′（′′）则
（2）曲线（）=0沿向量
平移后的方程为（）=
35、有关斜三角形的几个结论：
(1)正弦定理:
(2)余弦定理:
(3)面积公式
36、在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时你是否注意到它
们各自的取值范围及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是
.②直线的倾斜角、到的角、与
的夹角的取值范围依次是
．
37、③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是
同
向不等式能相减相除吗？
38、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）
439、分式不等式
的一般解题思路是什么？（移项通分分子分母分解
因式
的系数变为正值奇穿偶回
40、解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性对数的真数大
于零.）
41、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)
42、利用重要不等式以及变式
等求函数的最值时你是
否注意到
（或非负）且等号成立时的条件积或和＋其中
之一应是定值？(一正二定三相等)
43、(当且仅当时取等号）；、、（当且仅当时取等号）；
44、在解含有参数的不等式时怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底
或）讨论完之后
要写出：综上所述原不等式的解集是…
…．
45、
解含参数的不等式的通法是
定义域为前提函数增减性为基础分类讨论是关键．
46、对于不等式恒成立问题常用的处理方式？（转化为最值问题）
三、数列
47、等差数列中的重要性质：
（1）若
则；
（2）；
（3）若三数成等差数列则可设为、、+；若为四数则可设为-
、-、+、+；
（4）在等差数列中求
的最大(小)值其思路是找出某一项使这项及它前面的项皆取正
(负)值或0而它后面各项皆取负(正)值则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当
1&;0&;0解不等式组
≥0+1≤0可得
达最大值时的的值;当
&;0&;0解不
等式组≤0+1≥0可得
达最小值时的的值;
（5）．若
是等差数列分别为的前项和则。.
（6）.若{}是等差数列则{}是等比数列若{}是等比数列且则{}是等差数列.
48、等比数列中的重要性质：
（1）若
则；
（2）成等比数列
49、你是否注意到在应用等比数列求前项和时需要分类讨论．（
时；时）
50、等比数列的一个求和公式：设等比数列
的前项和为公比为则．
51、等差数列的一个性质：设
是数列的前项和为等差数列的充要条件是
（为常数）其公差是2.
52、你知道怎样的数列求和时要用错位相减法吗？（若
其中是等差数列是等比数列求的前项的和）
53、用
求数列的通项公式时你注意到
了吗？5
54、你还记得裂项求和吗？（如
.）
四、排列组合、二项式定理
55、解排列组合问题的依据是：分类相加分步相乘有序排列无序组合．
56、解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；
定位问题优先法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少
问题间接法还记得什么时候用隔板法？
57、排列数公式是：组合数公式是：排列数与组合数的关系是：
组合数性质：=+==二项式定理：
二项展开式的通项公式：
五、立体几何
58、有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：线//线
线//面面//面线⊥线线⊥面
面⊥面垂直常用向量来证。
59、作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法）三垂线法：一定平面
二作垂线三作斜线射影可见.
60、二面角的求法主要有：解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量
61、求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积变换法、法向量法）
62、你记住三垂线定理及其逆定理了吗？
63、有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角常常与经度及纬度联系在一
起你还记得经度及纬度的含义吗？(经度是面面角；纬度是线面角)
64、你还记得简单多面体的欧拉公式吗？(+=2其中为顶点数是棱数
为面数)棱的两种算法你还记得吗？(①多面体每面为边形则=
；②多面体
每个顶点出发有条棱则=
)六、解析几何
65、设直线方程时一般可设直线的斜率为你是否注意到直线垂直于轴时斜率
不存在的情况？（例如：一条直线经过点
且被圆截得的弦
长为8求此弦所在直线的方程。该题就要注意不要漏掉+3=0这一解.）
66、定比分点的坐标公式是什么？（起点中点分点以及
值可要搞清）
线段的定比分点坐标公式
设（）1
（11）2
（22）且则中点坐标公式
67、若
则△的重心的坐标是
在利用定比分点解题时你注意到
了吗？
68、在解析几何中研究两条直线的位置关系时有可能这两条直线重合而在立体几
何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
69、直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及各种形式
的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线）
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70、对不重合的两条直线
有；．
71、直线在坐标轴上的截矩可正可负也可为0.
72、直线在两坐标轴上的截距相等直线方程可以理解为
但不要忘记当
=0时直线=在两条坐标轴上的截距都是0也是截距相等．
73、两直线和的距离公式
=——————————
74、直线的方向向量还记得吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当直线的
方向向量为=
（00）时直线斜率=———————
；当直线斜率为时直
线的方向向量=—————
75、到角公式及夹角公式
———————何时用？
76、处理直线与圆的位置关系有两种方法：
（1）点到直线的距离；
（2）直线方程与圆
的方程联立判别式.一般来说前者更简捷．
77、处理圆与圆的位置关系可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
78、在圆中注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆
的几何性质.
79、在利用圆锥曲线统一定义解题时你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？
两个定义常常结伴而用有时对我们解题有很大的帮助有关过焦点弦问题用第二定义
可能更为方便。（
焦半径公式：椭圆：
1|=————；|2|=————；双曲线：|1|=————；|2|=————（其中1为左焦点2为右焦点）；抛物线：
=|0|+）
80、在用圆锥曲线与直线联立求解时消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否
为零？判别式
的限制．（求交点弦长中点斜率对称存在性问题都在
下进行）.
81、椭圆中的关系为
————；离心率=————；准线方程为————；焦点到相应准线距离为————
双曲线中的关系为
82、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
83、你知道吗？解析几何中
解题关键就是把题目中的几何条件代数化特别是一些很不
起眼的条件有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径
的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参数
方程不要忘有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解几问题的重要思想方法
要记得画图分析哟！
84、你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀!
85、在解决有关线性规划应用问题时有以下几个步骤：先找约束条件作出可行域
明确目标函数其中关键就是要搞清目标函数的几何意义找可行域时要注意把直线方
程中的的系数变为正值。如：求2&;5&;4-3&;3+&;3求+的取值范围
但也可以不用线性规划。
七、向量
86、两向量平行或共线的条件它们两种形式表示你还记得吗？注意
是向量
平行的充分不必要条件。(定义及坐标表示)
87、向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题要记住以下公式：
2=·θ=
88、利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存
在的情况要注意是向量
夹角为钝角的必要而非充分条件。
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89、向量的运算要和实数运算有区别：如两边不能约去一个向量向量的乘法不满足结
合律即
切记两向量不能相除。
90、你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都可以用
平面内任意不共线的两个向量线性表示它的系数的含义与求法你清楚吗？
91、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量这是题目中的天然条件要注意运
用对于一个向量等式可以移项两边平方、两边同乘以一个实数两边同时取模
两边同乘以一个向量但不能两边同除以一个向量。
92、向量的直角坐标运算
设则设==则-=八、导数
93、导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率学会定义的多种变形。
94、几个重要函数的导数：①
（为常数）②导数的四运算法则
95、利用导数可以证明或判断函数的单调性注意当’()≥0或’()≤0带上等号。
96、(0
)=0是函数()在
处取得极值的非充分非必要条件()在
0处取得极
值的充分要条件是什么？
97、利用导数求最值的步骤：
（1）求导数
（2）求方程=0的根
（3）计算极值及端点函数值的大小
（4）根据上述值的大小确定最大值与最小值.
98、求函数极值的方法：先找定义域再求导找出定义域的分界点根据单调性求出
极值。告诉函数的极值这一条件相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值为零
②函数在此点的值为定值。
九、概率统计
99、有关某一事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列
组合的知识)转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率利用对立事件的概率转
化为相互独立事件同时发生的概率看作某一事件在次实验中恰有次发生的概率
但要注意公式的使用条件。
（1）若事件、为互斥事件则（+）=（）+（）
（2）若事件、为相互独立事件则（·）=（）·（）
（3）若事件、为对立事件则（）+（）=1
一般地
（4）如果在一次试验中某事件发生的概率是那么在次独立重复试验中这个事恰好发生
次的概率8
100、抽样方法主要有：简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时
它的主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样常常用于总体个数较多时它的主要特
征就是均衡成若干部分每一部分只取一个；分层抽样主要特征分层按比例抽样主
要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。
101、用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。
十、解题方法和技巧
102、总体应试策略：先易后难一般先作选择题再作填空题最后作大题选择题力
保速度和准确度为后面大题节约出时间但准确度是前提对于填空题看上去没有思
路或计算太复杂可以放弃对于大题尽可能不留空白把题目中的条件转化代数都有
可能得分在考试中学会放弃摆脱一个题目无休止的纠缠给自己营造一个良好的心
理环境这是考试成功的重要保证。
103、解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法估算法特例法特征分析法直观选择
法逆推验证法、数形结合法等等)
104、解答填空题时应注意什么？（特殊化图解等价变形）
105、解答应用型问题时最基本要求是什么？（审题、找准题目中的关键词设未知数、
列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、答）
106、解答开放型问题时需要思维广阔全面知识纵横联系．
107、解答信息型问题时透彻理解问题中的新信息这是准确解题的前提．
108、解答多参型问题时关键在于恰当地引出参变量想方设法摆脱参变量的困绕．这
当中参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略似乎是解答这类问题的
通性通法．
109、学会跳步得分技巧第一问不会第二问也可以作用到第一问就直接用第一问的结
论即可要学会用由已知得由题意得由平面几何知识得等语言来连接一旦你想来
了可在后面写上补证即可。
数学高考应试技巧
数学考试时有许多地方都要考生特别注意．在考试中掌握好各种做题技巧可以帮
助各位在最后关头鲤鱼跃龙门。
考试注意１．考前５分钟很重要
在考试中要充分利用考前５分钟的时间。考卷发下后可浏览题目。当准备工作（填写
姓名、考号等）完成后可以翻到后面的解答题通读一遍做到心中有数。
２．区别对待各档题目
考试题目分为易、中、难三种它们的分值比约为３：５：２。考试中大家要根据自身状
况分别对待。
⑴做容易题时要争取一次做完不要中间拉空。这类题要１００％的拿分。
⑵做中等题时要静下心来尽量保证拿分起码有８０％的完成度。
⑶做难题时大家通常会感觉无从下手。这时要做到：
①多读题目仔细审题。
②在草稿上简单感觉一下。
③不要轻易放弃。许多同学一看是难题、大题不多做考虑就彻底投降。解答题多为小
步设问许多小问题同学们都是可以解决的因此每一个题、每一个问考生都要认真
对待。３．时间分配要合理
⑴考试时主要是在选择题上抢时间。
⑵做题时要边做边检查充分保证每一题的正确性。不要抱着等做完后再重新检查的念头
而在后面浪费太多的时间用于检查。
⑶在交卷前３０分钟要回头再检查一下自己的进度。注意及时填机读卡
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