在我们开始探索欧拉恒等式之前，让我们先来回顾一段令人惊叹的历史。
恋爱数字
大约在公元前500年，希腊人认为有些数字比其他数字更重要。特别是，他们知道两个具有非凡性质的数字。这两个数字是220和284。
在解释为什么这些数字如此有趣之前，我们需要知道什么是真约数。n的真约数，是一个比n小的自然数，它能被n整除。例如，6的真约数是1、2、3。220和228有趣的原因是220的真约数之和是284，284的真约数之和是220。这种关系叫做亲和关系，数字叫做亲和数字。
希腊人认为这是一个非常重要的关系，但他们找不到更多这样的数字。这种状态持续了大约一千年，直到伊本库拉在9世纪又发现了两对。那时候，数学中心已经从欧洲和埃及转移到阿拉伯世界，并在那里快速发展了近500年。
伊本库拉的发现并没有传到欧洲，那里只知道一对（220，228）。直到1636年费马发现了一对。他找到的数字是17296和18416。
在这一时期，两个数学巨人之间爆发了一场数学内战。即皮埃尔·德·费马和勒内·笛卡尔。费马找到了一对友好的数字，因此笛卡儿必须另找一个。在1638年，他发现这两个数字分别是9,363,584和9,437,056。那时是没有计算器的。
费马和笛卡尔发现的那两对和伊本库拉发现的是一样的。因此，2000年来，数学天才们只发现了3对亲和数。
欧拉决定试一试，然后发现了58对亲和数！这太疯狂了。当然，欧拉不是靠蛮力试错去找的。欧拉找到了一种依靠除数和函数的特性以及一些天才的见解的方法。
你会问，是否有无穷多对亲和数？没有人知道……这又是数学的一个谜题。
最美的恒等式
欧拉在很多方面在数学家中都很有名，但有一种美比其他的更闪耀，它被称为数学中最美丽的等式。我将用几种不同的方式来解释这个等式，这样读者就会有一种直观的理解和数学上的理解。
首先，我们来陈述一下。
欧拉恒等式（1748）：
那么为什么这种关系如此美妙呢？
首先，正如威廉·邓纳姆所说：
如果你想做加法你需要0，如果你想做乘法你需要1，如果你想做微积分你需要e，如果你想做几何你需要π，如果你想做复分析你需要i，这是数字的梦之队，它们都在这个方程里。
在解释等式之前，我们先来定义一下这些数字。
0和1
0当然是一个数字，但它是一个非常特殊的数字。它是负数和正数之间的极限，它是唯一不能被除的数，最重要的是，它是加法恒等式，也就是说x + 0 = x对于所有的x都成立。
这可能看起来微不足道，但实际上，这是一个大问题，因为它是数学中群论的重要组成部分。群论是关于对称的数学，但那是另一篇文章。同样，数字1当然是乘法恒等式。
π的定义
π在数学中到处都是。从数论到概率论和三角学，但这是为什么呢？
圆与对称性和周期性都有关系，这些现象在自然界和数学中很多不同的事件中都有发生。从热辐射到随机运动和电磁波的振动，再到统计分布的密度等等。
π的定义当然是一个圆的周长除以它的直径，但它却不能被写成整数的分数形式。这就是我们所说的无理数。
e的定义
那么e呢？这个数字有点难定义，但我们会尝试一下。
首先，e是一个约为2.7182818的数字，是欧拉本人在1748年首次发现的。她是无理数。欧拉发现了如何计算它：
欧拉在1748年就是这么写的。如果你学过微积分，那么你可能会记得微分算子有一个恒等式，也就是函数：
即具有下列性质：
这是非常重要的，因为，首先，它使我们能够解微分方程。由于几乎所有的物理定律和系统都可以用微分方程来描述，所以微分方程在物理、生物、数学等科学中都非常重要。
因此，你可以将数字e描述为指数函数的底数，即给定时刻的变化率等于它在那一刻的值。
i的定义
那么数字i是多少？很多年来，人们不接受“i”这个数字，但话说回来，当负数第一次出现时，他们也不接受负数，所以我想这是一个成熟的问题。
在欧拉时代，人们对这个数字知之甚少。现在，对i和使用它的函数的研究被称为复分析，当然，欧拉从一开始就引领了这一奇异的新领域。
就像数学中的许多其他东西一样，我可以有很多不同的定义。有些比较正式。我们将坚持使用最简单的定义。i是具有以下属性的数字：
当然，没有实数满足这个条件，因为如果你把两个负数相乘，你会得到一个正数。我们有时称之为虚单位。
复数是一种形式为A +bi的数字，其中A和b是实数。复分析是对复变量的复值函数的研究，（在我看来）是数学中最美妙的学科之一。
但是，我们能用它们做什么呢？许多真实世界的计算都依赖于复数，从雷达技术到微分方程的解，再到量子力学等等。
太好了。现在我们了解了欧拉恒等式中的所有成员。下一个问题是，为什么欧拉恒等式是正确的。
为了回答这个问题，我们需要对数学运算和数字持开放的态度。
数字运算与几何变换之间的对偶性
首先，我想拓展一下你们的想象力。想象一下数轴，也就是实数，从负无穷到正无穷，中间是0。现在我们来考虑一下如果我们把数轴上所有的数加2会发生什么。在这种情况下，-2趋于0，-1趋于1,0趋于2，以此类推。换句话说，整个实数线将平移2个单位。这种转换叫做平移。
如果你加上0，那么就不会发生平移。
如果我们要做减法，也就是用一个负数相加呢？基本变换是一样的，但它是逆变换。因此，加减相同的数字相当于在每个方向上向左和向右移动相同的数量，从而回到开始的位置。这就等于加0，也就是，x -x = x + (-x) = 0。
加法和减法是关于平移变换的。乘法呢？
好吧，用上面同样的方法来思考，你可以在你的脑海中看到，用一个正数相乘实际上是对数轴的拉伸。除法实际上是伪装的乘法，是乘法逆变换。当然，这个变换的恒等式对应于乘以1。
那么乘以一个负数呢？它对应什么变换？
首先，我们需要记住乘以-x实际上等于先乘以x然后再乘以-1。实数乘以-1对应的是在0处的反射。你可以在数轴上取一个数字x然后乘以-1来看出这一点。然后在-x处对称地落在0的另一边。当x为负时，这个也成立。
当我第一次发现不同数字的变换和运算之间的双重关系时，我被一种美丽和完整的感觉所震撼。从来没有人向我解释过为什么一个负数乘以一个负数是一个正数。这是因为关于同一条直线的两个反射的变换等于恒等变换，也就是什么都不做的变换。这里的恒等变换转化为数字和运算，相当于乘1的动作。
这也可以用环理论中的同态理论来解释，但这个更先进一些，我后来才知道。我仍然认为数字几何是一种更美的方法。
现在我们已经解释了实数的经典运算是如何与它们对应的变换结合在一起的，以及它们到底是什么，但是我们缺少一个重要的变换，那就是旋转。
听起来我们必须在二维数字平面上发明一些新的奇怪的数字，不是为了解复杂的方程，而是为了我们变换的完整性。那么这些外来数字的性质是什么呢？我们取这个数乘以它，就等于逆时针旋转90度。
首先，我们可以通过将这个有趣的数字乘以1来得到它的位置，因为它应该等于它本身，但它也应该与我们将1旋转90度后得到的数字相同。因此这个新数位于数字平面上的点(0,1)，在这个新的数字系统中，现在变成（1,0）。
显然，当我们乘以这个数的平方时，我们旋转了180度。所以这个数的平方使1变为-1。因此这个神秘数字的平方等于-1。我们现在推导出的是这个数字就是i，虚数单位。i是位于数字平面（0,1）处的数。
所以复数的集合是一个非常必要的，它们负责旋转变换。结果是复数a +bi只不过是复数平面中的点(a, b)。
这意味着，我们所有的数字实际上都生活在一个二维世界中，每个点都对应一个复数。因此，所有实数也是复数，但并非所有复数都是实数。
欧拉无法获得这种几何视图，因为它是后来由卡斯帕·韦塞尔、卡尔·弗里德里希·高斯等人首先开发的。欧拉把i看成是一个具有负平方性质的数。
既然我们已经从这个角度理解了数字，并且记住了这种二元性，那么在直观地理解欧拉恒等式之前，我们只需要再多一个要素。
我们需要知道弧度是什么。想想看，为什么一个圆是360度？
原来这是巴比伦人和他们的十六进制数字系统遗留下来的。所以我们用另一种方式计算“度”。都是关于半径为1的归一化圆，也就是所谓的单位圆。这个圆定义了三角函数即cos, sin, tan, sec，等等，所以用它来定义度是很自然的。
我们只需选择单位圆的周长。所以360度对应2π弧度，180度对应π弧度，以此类推。
下面是一个事实，我们将给出一个简单的证明，但现在，我们将在这里陈述它：
当我们将任意复数z与这个数相乘时
结果就是z旋转了θ弧度！（很重要）
现在，我们准备再看一遍欧拉恒等式，用我们对数字及其相互运算的新理解。但这次写得有点不同：
这是什么意思呢？
其实很简单。我们知道，左边写着“旋转π弧度”，右边写着“在数字0处反射”。
所以欧拉恒等式的真正含义是：
旋转180度和在0处反射是一样的。
简单，美丽，优雅！
现在我们从几何的角度来理解了它，因为现在我们有了一些与方程相关的图，但这算不上证明。但我们从未展示过数字e与与它相关的复数的角度是如何相关的。同时，我想展示欧拉是如何证明他的等式的。
欧拉用一个更一般的结果来说明角与指数函数之间的关系，即
欧拉公式（1748）：
首先，它意味着指数函数是周期性的。当你画它的图形时它可能看起来不像但那是因为它的周期是虚的。周期是2πi，因为cos和sin的周期都是2π。
我们快速地看一下欧拉的证明。
首先，他写出麦克劳林级数的指数。
然后他把i从括号中拉了出来。注意，右边括号里的级数是交替的。在这之后，他认识到括号内的两个级数分别是cos和sin的麦克劳林级数。
为了解释指数函数和角度之间的关系，把一个复数想象成复数平面上的一个点，它的坐标是（a, b）。这个数可以写成a+bi，并且它到原点的距离。我们称这个距离为它的长度r，那么与实线的夹角呢？
如果我们从点（a, b）画一条直线到与虚轴平行的实轴，我们也从点到原点画一条直线，就形成了一个直角三角形。原点的角度就是复数a+bi的辐角。
求复数的实参（或角），我们从三角学中知道当斜边的长度是r，那么sin乘以r就是对边的长度，cos乘以r就是邻边的长度。
换句话说，在复数a+ib中，我们得到a = rcos(θ) b = rsin(θ)所以：
我们在上一个等式中使用了欧拉恒等式。换句话说，任何复数a+bi都可以用这种极坐标表示，用指数函数表示它的自变量和模。
但是欧拉的更一般的恒等式是如何证明的呢？
如果x = π， sin项消失（变为0），cos项变为-1就得到了欧拉恒等式了。这最终证明了他美丽的恒等式。
有人说欧拉是有史以来最伟大的数学家，有人说高斯才是，这并不重要。重要的是，我们确实是站在巨人的肩膀上。
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是e对x次方本身的导数还是e对x次方的导数。ex的倒数是e,因为 e 被认为是常数，常数的导数为0，x的导数是1，所以设公式ax=a’x+ax’所以ex的倒数是e。用于推导，线性是指对几个函数进行线性组合的推导，相当于分别对这些函数进行推导，然后进行相同的线性组合。
ex的推导是什么
1个、“数学常数e”一般指“欧拉常数”，近似值为γ≈0.5772156649015328606065120900824024310421。是主要用于数论的数学常数。定义为调和级数与自然对数之差的极限。
2个、为什么ex的导数是它自己f'(x)=lim(△x→0)[f(△x+x)-f(x)]/△x=lim(△x→0)[a∧(x+△x)-a∧x]/.那就是 (a∧x)’=a∧xlna，当a=e，所以出现 (e∧x)’=e∧x。
3个、ex导数函数要注意什么用于函数推导，一般首先遵循简化，再推导原理，除了强调推导规则的应用，特别注意推导规则对推导的限制作用，如复合函数推导：通常，问题是通过使用复合函数推导规则将问题转化为基本函数来解决的。
基本导数公式
24个基本推导公式可分为三类。
第一类是导数的定义公式，差商的极限。
然后用这个公式推导出17个基本初等函数的推导公式，这是第二类。
最后一类是导数的四种运算规则，复合函数的导数规则和反函数的导数规则，使用这些公式，可以推导出所有可导初等函数的导数。
1个、f'(x)=lim(h->;0)[(f(x+h)-f(x))/h].即自变量差值趋于0时函数差值与自变量差值的商的极限，是导数的定义。熊民，其他所有基本推导公式都是从这个公式推导出来的。包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
2个、f(x)=a的导数，f'(x)=0,a是常数.即常数的导数等于0;这个导数实际上是一个特殊幂函数的导数。是幂函数的指数等于1时的导数。
根据幂函数的导数公式可以得到。
3个、f(x)=x^n 的导数，f'(x)=nx^(n-1),n为正整数.即系数为1的单项式的导数，指数作为系数，指数减1到指数.这是指数为正整数的幂函数的推导公式。
原创申明：
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2021-08-15 16:00--阅读 · --喜欢 · --评论
对于将要学高等数学，和正在备考高等数学的大学生而言，不定积分是绕不过去的一道坎。无论是后面的定积分、二重积分、三重积分，还是曲线积分、曲面积分、微分方程，都离不开不定积分的基础。因此，本人根据大学所学，结合自己的笔记、老师的PPT、以及普林斯顿大学数学博士班纳（Adrian
Banner）先生的著作《普林斯顿微积分读本》，写下了这篇《不定积分常用方法小结》。如果有不正确的地方，欢迎大家在评论区批评指正。
我是假设你真的想要掌握不定积分的方法，能在考试中游刃有余的应对多变的题型，而不只是囫囵吞枣，一知半解，所以你已经准备好投入一些时间和精力，去阅读并理解这些详尽的阐述。
你需要掌握关于函数、三角函数、极限、导数的知识，能熟练地对某个给定的函数进行求导。不定积分的实质就是求一个函数，使其导数等于已知函数，基本上就等于求导的逆运算。因此在学习不定积分之前，你需要熟练掌握求导相关的知识。
本文是在假定你已经对不定积分有一定的了解、知道一些不定积分的基本概念的前提下写的（你至少要在高等数学的课堂上粗略地听过一遍不定积分的课程，或者自己简单地翻过课本这一章的内容）。因此如果你还没有开始学不定积分，那么建议你在听过一遍大学老师的讲课之后，再开始阅读本文。
不要慌，请先粗略地翻一翻你的高数课本上关于不定积分的章节，然后再仔细阅读本篇文章，对于文中的例题尽量自己解答一遍，并熟练掌握文中提到的方法和公式，相信你的水平一定可以得到提升。
最后，请你相信：努力，并自信地走好每一步，那么幸运一定会伴随着你。
Here we go！
一、分项积分法——拆拆拆！拆成多个容易积分的项之和
不定积分对于加减运算比较友好，f(x)+g(x)的不定积分就是f(x)的不定积分加上g(x)的不定积分。因此我们要尽量将被积函数拆分成若干个容易积分的函数之和，然后分别积分。不多说，我们来看例题：（本文中大部分例题为手写拍照，本人字写得不太好看，请见谅）
分项积分法（拆拆拆）
第一题巧妙使用“分子-1+1”的方法，利用平方差公式，将x^4-1因式分解，成功的把原来分式形式的被积函数拆成了三项容易积分的函数之和。
第二题利用三角函数的平方关系，把tanx的平方转化为secx的平方减一（这个三角平方关系很重要，后面我们也会提及）。
第三题则是用了二倍角公式，进行了“分母单项化”（我们第二大点会讲到），简化了被积函数。
接下来还有两个题目，来练练手吧！
分项积分法习题
答案如下：
分项积分法习题答案
第一题利用了cos2x的二倍角公式，进行因式分解，简化被积函数。
第二题利用了裂项的方法，将一个分式表示为两个最简分式之和，再分别积分。（这个技巧我们后面讲《有理函数不定积分》的时候也会仔细讲）
二、分母单项化（有时利于拆项）
分母单项化的方法一般有三种：
①三角公式（二倍角、积化和差、万能代换公式、辅助角公式/二合一变形）
②分母有理化，分子分母同时乘以共轭根式（下面这题的后面那个项用了三角换元，之后会讲到）
③分母整体换元
分母单项化-三角公式1
分母单项化-三角公式2
分母单项化-分子分母同乘共轭根式
【前面的两点是一些核心思想，接下来讲一些方法】
三、第一换元法（凑微分）
简单来说，如果被积函数有一部分是另一部分的导数，就把被积函数中是导数的那部分凑到微分d( )里【原理是f `(x)dx=d[f(x)] ，相当于求导（微分）公式倒着背】，再令d(
)=du，使得被积函数变成关于u的便于积分的新函数。熟练后d( )=du的步骤可以省略不写。
简单的比如sin2x、1/(2x-3)的积分可以直接看出来，因为只相差一个常数，把常数凑进微分，dx变成d(2x)，d（2x-3）再把这个常数除掉就可以了。另外，d(ax)=d(ax+b)=adx，所以微分里面加减常数，微分的结果是不变的。
复杂的凑微分一般有以下两类：
（1）有理函数，e^x，lnx（一些指数、对数）等：
加一项减一项、分子分母同时乘以某个因式、分母配平方、裂项、因式分解。
（2）三角函数：
三角恒等变形（二倍角、积化和差、万能代换公式、辅助角公式/二合一变形）、常数逆代。
常数逆代的例子
关于三角恒等变形的一些常用公式（有些公式高中也讲过）：
三角函数公式（请尽量熟练掌握）
请熟记以下常见凑微分公式！（其实不需要死记硬背，题目做多了自然就熟练了。这些公式就作为一些模板。注意有些公式前面的负号不要漏了）
常见凑微分公式，建议记熟
以下是一些关于凑微分的例题：（选自上海大学数学系编写的《高等数学习题详解（上册）》）
凑微分例题1
凑微分形式有很多种，把什么凑进去要按情况而定，多做题就能熟练掌握啦。
顺便提一句，前面那道分母用辅助角公式的题，用凑微分也能做，就是不容易想到。
凑微分例题2
最后请牢记下面的三角平方和公式：（特别是后两个，高中很少接触但大学经常用）
3个常用的三角平方和公式
四、第二换元法
第二换元法最主要的是处理无理表达式（根号）。常见的有三角代换和直接整体换元两种，如下图：
第二换元法的类型
觉得三角代换用什么三角函数比较难记？这里教你一个小诀窍：根号里面是什么就联想什么三角公式。具体在上图中我已经用红点和蓝色三角形标注出来了。常数a对应1，x对应某个三角函数，加减号不变。以第一个为例，a^2对应1，x^2对应某三角函数的平方，然后想：1减去什么的平方是另一个平方呢？（因为要去掉根号必须有平方）然后你脑子灵光闪现：
这样就记住了，遇到第一种就令x=a·sint。其他两种同理。当然，前提是你记住了这三个三角平方关系式。
三角代换的时候注意画个辅助三角形，否则回代x的时候很容易搞错sint、cost、tant对应的x的表达式是什么。【当然不排除有时候，考试用换元法积出来一个不定积分后太兴奋，以至于忘掉回代x的情况】具体如下：
三角代换-辅助三角形
同样，我们来看一些例题：（选自大学老师的PPT）
三角换元
当然三角换元不是什么时候都好用。比如下面这种情况，直接换元就比较好：
不适合三角换元的例子
当出现多种根式，比如平方根、立方根、6次方跟的时候，可以令 t=x^n ，其中n是各个根指数的最小公倍数。（如上述情况n=6）
另外还有一种换元叫做“倒数代换”，令t=1/x，当分母的幂次太高的时候用。如下图：
倒数换元
方法讲的差不多了。更多的例题已经为你摆在下面了，我就不多说了，请读者在刷题的同时自己琢磨什么时候三角换元，什么时候直接换元吧。（例题选自上海大学数学系编写的《高等数学习题详解（上册）》）
第二积分换元法习题1
第二积分换元法习题2
五、两种换元法的小结和补充积分公式
有了第一和第二换元法，我们可以总结出下图右边的一些补充公式。这些补充公式只需要记忆（3）（4）两个，其他的就作为几个典型例子，考试的时候自己推导几步就出来了，不用死记硬背。信不信由你，有时候公式背的太多反而容易记串，得不偿失。
不定积分的一般公式和补充公式
以下是这些补充公式的推导过程，有兴趣的读者可以自行阅读。如果你在复习备考高等数学，而你所剩的复习时间不多了，那就先跳过吧。
补充公式推导1
补充公式推导2
六、分部积分法
分部积分的公式相信大家已经很熟悉了：
分部积分公式
其中u=u(x)，v=v(x)。注意到等号前后的两个u和v位置互换，因此分部积分又被形象的称作“换位积分”，一般适用于被积函数是几个函数相乘的形式。利用分部积分做题时有以下几步：①把被积函数的一部分因式凑成微分dv（第一换元法）；
②把d前面的看成u，d后面的看成v ；
③套分部积分公式；
④在写等号后面那个积分的时候，可以把du先算出来，把写成u `(x)dx的形式，然后再积分。
在第一步之前，需要观察哪个因式用来凑微分比较合适。这里有个口诀叫“反对幂指三”，具体含义如下：
“反对幂指三”
也就是说，被积函数为两个函数相乘时，幂函数、指数函数、三角函数一般用来凑dv，优先级为三角＞指数＞幂函数，而反三角函数和对数函数作为u。这么做的道理是等下你用分部积分公式的时候u和v交换了位置。在等号的右边，v变成了被积函数，而u变成了微分du。“幂指三”用来凑dv是因为换位后它们更容易算积分；而“反对”的导数比本身简单，在换位后求du的时候更容易得到相对简单的表达式。按“反对幂指三”的规律使用分部积分，就不至于越积越复杂了。开始不熟练的时候可以在草稿纸上写出u、dv、v、du，熟练了以后这些就可以省略了。
不过注意，有些时候要先进行拆项、分母单项化、恒等变形再分部积分。
有了分部积分，arcsinx、lnx和大部分乘积形式的被积函数就可以积出来了。
下面是一些例题：（例题选自上海大学数学系编写的《高等数学习题详解（上册）》）
分部积分例题
七、分段函数的不定积分
有些同学觉得分段函数的积分那还不简单，不就是几段函数分别求积分嘛。然而在小细节上面我们还需要再注意一下。先来看下面这道题目：
分段函数的不定积分
对两段函数分别积分，做出来答案是A。但很可惜，正确答案是D。为什么呢？因为我们忽略了一个比较重要的定理——原函数存在定理。
原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间上存在可导函数F(x)，使得对任意x∈I，都有F `(x)= f(x)。即连续函数一定存在原函数，一定可积分。
解析
这道题目给我们的教训是：分段函数的不定积分后面的常数C不能随意写，需要注意函数在分段点处的连续性，通过等式得出几个常数之间的关系。
八、一些三角函数的积分
（一）sin x和cos x的高次幂相乘的形式，形如：
一般有以下几种情况：
（1）m，n均为偶数：用倍角公式降幂
（2）m，n中只要有一个为奇数：奇数的那个三角函数用来凑微分（如果m，n都是奇数就任选一个），另一个用三角平方和公式化为单变量，如(cosx的平方)=1-(sinx的平方)。
先看个m，n均为偶数的例子：
三角函数的积分：m，n均为偶数的例子
然后是m，n中一奇一偶的例子：
三角函数的积分：m，n有一个为偶数的例子
（二）两个三角函数相乘，角度不同的形式，如cosA·cosB。
此时我们需要用积化和差公式（公式在前面第3节第一换元法中已经给出）。比如下面这题：
两个三角函数相乘、角度不同的形式：积化和差
（三）有关tan x和cot x的平方的积分
利用三角平方公式化为sec x和csc x的平方减1，再积分：
tan x和cot x的平方的积分
九*、有理函数的积分（部分考试不做要求）
有理函数的定义是两个多项式的商，形如：
有理函数
其中n，m是正整数。如果n＜m，则为真分式；如果n≥m，则为假分式。
对于有理函数的积分，我们的思路是对有理函数进行处理，将它拆分成几个更简单的有理函数的和的形式，即整式和四种典型的最简分式。整式的积分相对容易，我们只需要讨论如何对四种典型最简分式进行积分就行了。接下来，我们将首先研究如何拆分有理函数，然后再讨论其中三种典型最简分式的积分（最后一种不常考）。最后我会总结出完整的方法，并附上一个完整的例子。
【注：由于以下内容涉及的数学表达式较多，在专栏里无法打出来。为了美观起见，在编辑这部分内容时，我会将内容打在word文档中再截屏，以图片的形式呈现给读者】
图9-1
图9-2
图9-3
图9-4
总结：
关于有理函数积分的完整方法：（1）如果是假分式，利用长除法化为真分式和整式之和。（2）真分式分母因式分解。 （3）分部。拆分为四种最简分式之和的形式，像之前那样待定系数。（4）求出待定系数。（比较系数法、给x赋值法）（5）按照下图（即上文中的9.2）的方法分别求出每个最简分式的积分。
最简分式的积分1-2
最简分式的积分3
感谢您能耐心读完我的文章，希望文中的内容能对您有所帮助。
祝您学业有成、考试顺利！
本人的课后笔记；
高数老师的PPT；
《高等数学（上册）》 上海大学数学系 编，高等教育出版社；
《高等数学习题详解（上册）》 北京工业大学出版社；
《普林斯顿微积分读本（修订版）》 Adrian Banner著 人民邮电出版社。