计算机采用什么是浮点数计数法存储什么是浮点数数问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-12-09 08:56 标签： 什么是浮点数

C语言和 C#语言中，对于浮点型的数据采用单精度类型(float)和双精度类型(double)来存储：

float可以保证十进制科学计数法小数点后6位有效精度和第7位的部分精度

double可以保证十进制科学计数法小数点后15位有效精度和第16位的部分精度。

我们在声明一个变量 float f = 2.25f 的时候，是如何分配内存的呢？

其实不论是 float 类型还是 double 类型，在存储方式上都是遵从IEEE的规范：

单精度或双精度在存储中，都分为三个部分：

符号位 (Sign)：0代表正数，1代表为负数；

指数位 (Exponent)：用于存储科学计数法中的指数数据；

单精度 float 的存储方式如下：

双精度 double 的存储方式如下：

R32.24 和 R64.53 的存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如：

而计算机根本不认识十进制的数据，他只认识0和1。所以在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示：

118.5 用二进制表示为：

而用二进制的科学计数法表示 1000.1，可以表示为1.0001 * 23

而用二进制的科学计数法表示 ，可以表示为1.1101101 * 26

任何一个数的科学计数法表示都为1. xxx * 2n ，尾数部分就可以表示为xxxx，由于第一位都是1嘛，干嘛还要表示呀？所以将小数点前面的1省略。

由此，23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了24bit，道理就是在这里。（float有效位数相应的也会发生变化,而double则不会，因达不到）

那 24bit 能精确到小数点后几位呢？我们知道9的二进制表示为1001，所以 4bit 能精确十进制中的1位小数点，24bit就能使 float 精确到小数点后6位；

而对于指数部分，因为指数可正可负(占1位)，所以8位的指数位能表示的指数范围就只能用7位，范围是:-127至128。所以指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为元数据 +127。

元数据+127：大概是指“指数”从开始（表示-127）至（表示+128）

故8.25的存储方式如下图所示：

而单精度浮点数118.5的存储方式如下图所示：

那么如果给出内存中一段数据，并且告诉你是单精度存储的话，你将如何知道该数据的十进制数值呢？

其实就是对上面运算的反推过程，比如给出如下内存数据：，

首先我们现将该数据分段：0    ，在内存中的存储就为下图所示：

根据我们的计算方式，可以计算出这样一组数据表示为：

而双精度浮点数的存储和单精度的存储大同小异，不同的是指数部分和尾数部分的位数。所以这里不再详细的介绍双精度的存储方式了，只将118.5的最后存储方式图给出：

下面就这个知识点来解决一个疑惑，请看下面一段程序，注意观察输出结果：

输出的结果可能让大家疑惑不解：

单精度的 2.2 转换为双精度后，精确到小数点后13位之后变为了2.7

而单精度的 2.25 转换为双精度后，变为了2.0

其实通过上面关于两种存储结果的介绍，我们大概就能找到答案。

2.25 的单精度存储方式表示为：0

这样 2.25 在进行强制转换的时候，数值是不会变的。

而我们再看看 2.2，用科学计数法表示应该为：

将十进制的小数转换为二进制的小数的方法是：将小数*2，取整数部分。

0.2×2=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0；

...... 这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列 ...

对于单精度数据来说，尾数只能表示 24bit 的精度，所以2.2的 float 存储为:

但是这种存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2。

因为在十进制转换为二进制的时候可能会不准确（如：2.2），这样就导致了误差问题！

并且 double 类型的数据也存在同样的问题！

所以在浮点数表示中，都可能会不可避免的产生些许误差！

在单精度转换为双精度的时候，也会存在同样的误差问题。

而对于有些数据（如2.25），在将十进制转换为二进制表示的时候恰好能够计算完毕，所以这个误差就不会存在，也就出现了上面比较奇怪的输出结果。

C++中使用的浮点数包括采用的是IEEE标准下的浮点数表示方法。我们知道在数学中可以将任何十进制的数写成以10为底的科学计数法的形式，如下

其中显而易见，因为如果a比10大或者比1小都能够再次写成10的指数的形式，如

然而要想在二进制的世界中将数字写成以10为底的科学计数法的形式，着实有点麻烦，因为你首先需要将二进制的数先化成10进制的表示方法，然后才能写成科学计数法的形式。但是如果我们稍微变通一下科学计数法的标记方法，问题就变得特别的简单了。之所以数学上使用的科学计数法选用10为底，是因为我们通常使用的计数方式是十进制的。在计算机的世界中我们使用的数却是二进制的，所以我们在这个世界中应该改用以2为底的科学计数法而不是10为底的科学计数法。此时我们使用的科学计数法就表示成了如下形式，

对于一个二进制的数来说是不言而喻的，以为例

IEEE标准下的浮点数存储包括三个基本的组成：符号位、指数、尾数（the sign, the exponent, the mantissa），尾数是由小数部分和一个隐含的前导数位组成。至于前导数位隐含的原因很简单（下面将会解释）。

下面的表格展示了计算机存储单精度和双精度浮点数的层次结构，包括每一部分的比特位（比特范围用方括号括出，00表示最低位）

符号位非常简单，位于存储浮点数的最高比特位，且只占1比特。0表示正数，1表示负数。通过改变该比特位的值可以改变该浮点数的符号。

因为指数位既需要能够表示正指数也需要能够表示负指数，为了能够做到这一点，需要将真实的指数数值加上一个偏移值获得用来存储的指数值。对于IEEE标准下的单精度浮点数，这个偏移值是127。因此当真实的指数为0的时候，我们存储的指数位为127。如果存储的指数值是200，那么真实的指数值就应该是（200-127），即73。后面的原因会指出，指数为-127（指数位全为0）和+128（指数位全为1）会被用来存储特殊的数值。

对于双精度的浮点数，指数位的长度位11比特，偏移量位1023。

尾数也被称为有效数位（significand）,决定浮点数的精确度。它由隐含的前导数位（小数点左边的部分）和小数部分（小数点右边的部分）组成，因为我们采用以2为底的科学计数法表示二进制数，那么小数点左边的尾数部分自然是固定值1（），所以前导数位我们不需要明确的表示出来，我们只需要存储尾数的小数部分就可以了。

下面就以单精度浮点数来浮点数的存储策略。

    0.1累加100次，结果应该是10.这里却多出了0.000002，为什么呢？？这主要是与计算机中浮点数计算方式有关。

    大家知道计算机是只认识0和1的，也就是所有的运算数值要转化位二进制后进行运算的，而浮点数转换成二进制的小数上就会出现问题。首先介绍下十进制小数转化成二进制小数的方法：

    将十进制的整数转化为二进制时，使用的方法是连续除2，将余数从下向上读，就可以得到二进制数；相反将十进制的小数转化为二进制小数时，将小数部分乘2，直到小数部分全为0，如将十进制0.125转化为二进制为0.001：

   然而并不是所有的十进制小数都能转化为二进制小数，如十进制的0.1：

   可以看出将十进制的0.1转化为二进制是0....是个无限循环的小数，所以当我们进行浮点数进行计算机运算的时候可能出现错误。

    2）对于一些要求较高的科学运算，可以先将十进制的小数转化为整数再进行运算，因为计算机对整数的运算的是准确的。

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