指由教育部考试中心组织编写，高等教育出版社独家出版的、规定当年全国硕士研究生入学考试相应科目的考试范围、考试要求、考试形式、试卷结构等权威政策指导性考研用书。它既是当年全国硕士研究生入学考试命题的唯一依据，也是考生复习备考必不可少的工具书。包括政治理论、、俄语、日语、数学、法律硕士、西医综合、中医综合、教育学、心理学、历史学等分册，每本书后均附有的试卷、参考答案及评分标准。

中文名称 考研数学大纲

出版社 高等教育出版社

类别 政策指导性考研用书

　　各所院校考研大纲逐渐发布，希望们多多关注。考研大纲是我们复习的准则，吃透考研数学大纲精神是考研数学复习的关键。

　　20xx考研数学大纲公布后，首先要熟悉考研数学考试范围。大纲会规定数学一、数学二、数学三的考查范围，大家在复习过程中一定要严格按照大纲规定的范围复习，切不可认为内容的重要性较内容低就忽略，凡是在考试范围中出现的都有可能考到。

　　其次按照考研数学大纲规定的要求有侧重点的复习。考研数学大纲中对有些内容要求理解，而有一些内容要求了解，也就是说有些内容要求较高，有些内容要求较低，大家在复习过程中要有所侧重，在全面复习的基础上，对考研数学大纲要求较高的内容无论是基本概念还是基本原理及方法都要掌握到位，做到有的放矢。

　　再者注重抓基础的同时要注重培养解决综合性、逻辑推理性和实际应用性强的问题。考研数学在三门基础课中所占的分值是最高的，要想取得非常理想的数学是关键。按照考研数学大纲范围在抓好基础复习的同时，一定要强化计算能力、综合分析解决问题的能力、逻辑推理能力、 解决实际问题的能力。整个试卷除了考查基础知识外，有相当比重的分值需要以上几种能力，很多同学都经过了强化训练，对各种方法的应用、各种条件的解读都有一定的了解，最好是把整个知识体系、方法体系做一个梳理，适当地自己做一些总结，使各种方法和技巧变成自己的东西。

　　另外还要注重真题。考研数学历年真题是检测自己掌握情况的试金石，按照自己所考的考研数学种类将历年真题在规定的时间内认真完成，对结果做一个评估，注意最重要的是发生错误的时候一定要找出错误所在，这样才能针对性地找出自己的不足，避免此类错误再次发生。练习一定量的练习是学好数学的关键，除了对各部分内容进行有针一性的训练外，还要找一些比较好的模拟试卷进行练习，相信大家经过这些阶段后一定会有非常大的收获。

　　一是复习要先从大处着手

　　考研数学中的高等数学（微积分）、线性代数、概率论与数理统计各有自己的体系，从其体系结构入手复习所得知识是完整的，易理解的。虽然三个科目的教材分别都很厚，但就像《20xx数学考试大纲导读》中用表格列举出的大纲知识点，却是精炼、简洁、一环扣一环的。比如高等数学就是围绕微分与积分展开的：函数是研究微积分的对象，因为微分与积分都是对函数所做的运算；极限是研究微分与积分的工具，因为微分与积分都是由极限定义的；连续是通过极限研究函数所得的性质；微分中值定理是微分即导数的应用等等。这样就能把每个科目的知识点织成一张网，各个点之间相互联系，相互作用，从一个点也能到达其他的点。从大处着手也就是先看森林而不看树木。

　　二是从基础出发，各个击破

　　把握整体知识网络后，就要从大纲范围内的各个知识考点出发，各个击破。大纲范围内的考点很多，每个知识点投入的精力不可平均分配。根据《数学考试大纲导读》可知：以往考试真题与当年考研大纲的对比能够看到，大纲中考点的要求与这点处出题的概率有一定的关系。所以对需要 “ 掌握 ” 的内容投入多一点精力，一定要达到 “ 掌握 ” 的程度；而对 “ 了解 ” 的内容就不需要太过深入， “ 了解 ” 了就可以了。而对于应该 “ 掌握 ”“ 理解 ” 的基础概念、基本定理、基本方法，一定要融会贯通。《高等数学过关与提高》《微积分过关与提高》《线性代数过关与提高》《概率过关与提高》中将基本考点按重要程度及难易程度按考研大纲进行了分流，这很有助于考生同学取舍复习。

　　考研初试时是以试卷题目的完成数量及质量来评价考生的水平的，所以复习时就只能把最后的着眼点放在做题上能力上。题海战术当然不可取，但适量的做题感觉必须培养出来。比如对选择或填空题，需要提高快速做题以得到正确答案的能力，最好做《客观题1500题》好好练习一下。对解答题来说，考查的内容一般都是综合性较强，方法也不止一种，那就需要在平时积累一些解题技巧，以便节省时间并提高正确率。

　　考研复习备考过程极其艰苦，同学们需要做好心理准备。有准备的面对困难就会觉得困难也没有那么难了！祝愿大家能在20xx年奠定20xx初考研的胜利！

　　在20xx年的考研数学中，数学三12题考查的是二阶常系数微分方程，18题考查的是变量可分离微分方程。数学二中，12题考查的是二阶常系数微分方程，20题考查的是一阶线性微分方程。所以通过对20xx年的分析，我们发现微分方程一般不会单独出题，这个知识点只会融入到其他知识点的考核中。结合考纲，同学们在20xx年考研备考中应该注意下面问题。

　　一、微分方程的技巧

　　大家在学习这章的时候，首先把导数中的基本求导公式以及常见函数的导数记牢。然后把不定积分中的基本积分公式和积分方法要掌握。最后，回到微分方程中，大家要注意这章那些该学以及学到程度。同时大家要清楚自己考的是数几。数一，数二，数三对这部分的要求以及考的程度是不一样的。所以请大家还是要回归到考试大纲，认真看下考纲的要求。

　　二、明晰微分方程的知识体系

　　首先，大家要清楚基础阶段和强化阶段要复习的内容。在基础阶段，大家只需要知道微分方程的定义，性质，了解微分方程的分类以及掌握每种微分方程的解法。在强化阶段，大家就需要综合应用了。比如微分方程与级数的结合，微分方程在物理和几何方面的应用。然后，大家要自己总结知识体系。考研中，微分方程不会都考，只会考查考纲中列出的几种类型。大家也只用掌握这几种类型就够了。总之，不管是一阶微分方程还是二阶微分方程，从本质上说大家只要掌握微分方程的类型是什么以及怎么求就够了。

　　在大家知道了知识体系以及怎么学习后，现在就是多做习题。这一章其实对理论要求很少，重点在计算。所以大家的重点就是用习题来熟练要考的微分方程类型。每一类做10道题目，然后总结下做题体会，这样该类方程的解法也就清楚了，所以根本就不用记，熟练后自然就记住了。

　　总之，通过20xx年考研大纲的解析，希望大家在备考20xx年的时候经过这三个步骤能够学习好微分方程，为以后的高等数学的复习打好基。

　　考试大纲明确给出了考察目标：要求考生比较系统地理解数学的基本概念和基本理论，掌握数学的基本方法，具备抽象思维能力、逻辑推理能力、空间能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。所以考试的重点仍是基本概念、基本理论和基本方法三个基本要求。

　　我们要把基础、强化阶段（自己复习的同学要独立完成）所学各知识点串联起来，可以按照题型进行归纳总结，每个题型涉及的知识点、解题方法、解题思路等分门归类，形成自己的知识体系，这样在做题的时候才能迅速有效的找到解题方法、思路。

　　所用时间最迟不要超过10月中下旬，免于耽误后面的计划。

　　历年真题，是抽象的考试大纲具体的呈现。利用好真题，可以迅速提高我们实战的能力。做真题的好处多多，仿真模拟、强化解题速度、训练综合解题能力、检验基础知识的薄弱环节等等。如何最有效的利用好真题呢？可以采用三天一个轮回：首先第一天应是全真模拟，认真对待，把每次练习当做实战，不翻书，不拖时间，最大可能的找到自己的薄弱环节，模拟结束之后，对照答案，找出错题及不会的题目，查阅遗忘的知识点，及时弥补。其次第二、三天应是错题强化,遇到的问题，要及时解决，这是快速提高最有效的途径。由于惯性思维，人们总是会在犯错的地方，继续犯同样的错误，所以错题强化一遍之后，难免还有不会的，为了加强薄弱，彻底没有后顾之忧，应把错题的解题再次强化。这样我们就把一套试卷吃透。总的来说即是：仿真模拟――错题强化――再次强化。

　　三天或四天一套真题，最好在11月底之前完成历年真题的学习。

　　最后20天左右的时间，高数不是我们的复习重点，大多同学都会侧重于文科类考试的复习。但数学是一门积累的学科，长久不看，容易生疏，前面的学习效果就会大打折扣，所以可以给自己安排几套模拟测试，留住“数学的解题感觉”。

　　预祝大家考试顺利，不留任何遗憾。如有任何数学问题，可通过微博进行答疑：万学海文孙森。

　　首先，数一对此章的考试内容和考试要求如下：

　　考试内容为：二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性。

　　考试要求为：1、掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理.2、掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形.3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

　　其次，数二对此章的考试内容和考试要求如下：

　　考试内容为：二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性。

　　考试要求为：1、了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念.2、了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形.3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

　　最后，数三对此章的考试内容和考试要求如下：

　　考试内容为：二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性。

　　考试要求为：1、了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念.2、了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形.3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

　　从而可以看出，数一、数二和数三的考试内容都相同;在考试的难易程度来说，数一比数二和数三的难度些微高些。

　　考试科目：高等数学、线性代数、概率论与数理统计

　　考试形式和试卷结构

　　一、试卷满分及考试时间

　　试卷满分为150分，考试时间为180分钟.

　　答题方式为闭卷、笔试.

　　概率论与数理统计约22%

　　单选题8小题，每小题4分，共32分

　　填空题6小题，每小题4分，共24分

　　解答题(包括证明题)9小题，共94分

　　一、函数、极限、连续

　　函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立

　　数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：

　　函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

　　1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

　　2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

　　3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.

　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

　　5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.

　　6.掌握极限的性质及四则运算法则.

　　7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.

　　8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.

　　9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.

　　10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

　　二、一元函数微分学

　　导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L’Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径

　　1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.

　　2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.

　　3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

　　4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.

　　5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.

　　6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.

　　7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.

　　8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.

　　9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

　　三、一元函数积分学

　　原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常(广义)积分定积分的应用

　　1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念.

　　2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法.

　　3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分.

　　4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式.

　　5.了解反常积分的概念，会计算反常积分.

　　6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等)及函数的平均值.

　　四、向量代数和空间解析几何

　　向量的概念向量的线性运算向量的数量积和向量积向量的混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面柱面旋转曲面常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

　　1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.

　　2.掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件.

　　3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.

　　4.掌握平面方程和直线方程及其求法.

　　5.会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题.

　　6.会求点到直线以及点到平面的距离.

　　7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念.

　　8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面和旋转曲面的方程.

　　9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求该投影曲线的方程.

　　五、多元函数微分学

　　多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质多元函数的偏导数和全微分全微分存在的必要条件和充分条件

　　多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用

　　1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

　　2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.

　　3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.

　　4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.

　　5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

　　6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

　　7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.

　　8.了解二元函数的二阶泰勒公式.

　　9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

　　六、多元函数积分学

　　二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林(Green)公式平面曲线积分与路径无关的条件二元函数全微分的原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯(Gauss)公式斯托克斯(Stokes)公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

　　1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.

　　2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).

　　3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.

　　4.掌握计算两类曲线积分的方法.

　　5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.

　　6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.

　　7.了解散度与旋度的概念，并会计算.

　　8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、形心、转动惯量、引力、功及流量等).

　　常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法交错级数与莱布尼茨定理任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数狄利克雷(Dirichlet)定理函数在上的傅里叶级数函数在上的正弦级数和余弦级数

　　1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.

　　2.掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件.

　　3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法.

　　4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法.

　　5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系.

　　6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.

　　7.理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.

　　8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.

　　9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.

　　10.掌握，，，及的麦克劳林(Maclaurin)展开式，会用它们将一些简单函数间接展开为幂级数.

　　11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和函数的表达式.

　　常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利(Bernoulli)方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉(Euler)方程微分方程的简单应用

　　1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.

　　2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.

　　3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.

　　4.会用降阶法解下列形式的微分方程：和.

　　5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.

　　6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.

　　7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.

　　8.会解欧拉方程.

　　9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.

　　行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理

　　1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.

　　2.会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.