泰化初级实验中学初二数学教学案 班级 ，姓名 （设计人： ） 第十八章《平行四边形》 §18.2.2矩形的判定题型分类讲解

题型1.矩形的计算问题

3．如图将四个全等的矩形分别等分成四个全等的小矩形，其中阴影部分面积相等的是（ ）

A．只有①和②相等 B．只有③和④相等

C．只有①和④相等 D．①和②，③和④分别相等

2．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ）

1．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）

4．如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（ ）

题型2.矩形的判定问题

4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点． 求证：四边形EFGH是矩形.

3.已知：如图，ABCD的四个内角的角平分线分别交于E、F、G、H．求证：四边形EFGH为矩形．

11．（导学案81页难点探究2）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形．

17．（导学案78页难点探究1）如图，在四边形ABCD中，对角线AC=BD，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，试判断四边形EFGH的形状．

16．（导学案78页展示交流1）如图，E为?ABCD外，AE⊥CE，BE⊥DE，求证：?ABCD为矩形．

泰化初级实验中学初二数学教学案 班级 ，姓名 （设计人： ） 第十八章《平行四边形》 15．（导学案78页展示交流2）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF． （1）求证：BD=CD；

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

12．（导学案79页能力提升4）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE． （1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．

13．（导学案79页能力提升5）如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．

（1）求证：△ABF≌△ECF；

（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，试判断四边形ABEC的形状，并说明理由．

14．（导学案79页拓展创新6变式）如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E． （1）试说明EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；

（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．

19．（导学案78页自主测评4变式）已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．

（Ⅰ）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？试说明理由． （Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

21．（导学案82页7）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N． （1）求证：CM=CN；

（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：2，求

反思：矩形的判定通常有两种情况：

(1)先证四边形是平行四边形，再证有一个角是直角或对角线相等. (2)直接证四边形有三个角是直角.

泰化初级实验中学初二数学教学案 班级 ，姓名 （设计人： ） 第十八章《平行四边形》 三.课后作业： （一）选择题

1.下列四边形中不是矩形的是( )

A.有三个角是直角的四边形是矩形 B.四个角都相等的四边形

C.一组对边平行且对角相等的四边形 D.对角线相等且互相平分的四边形 1.两条对角线具有下列哪个条件的四边形是矩形（ ）

A．相等 B．互相垂直 C．互相垂直且平分 D．互相平分且相等 2.四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判定它是矩形的是（ ） A．AB=CD,AD=BC, ∠BAD=90° B．AO=CO,BO=DO,AC=BD

2.如果E、F、G、H是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH是矩形，那么四边形ABCD应具备的条件是( )

A.一组对边平行而另一组对边不平行 B.对角线相等

C.对角线互相垂直 D.对角线相等且互相平分 （二）填空题

1.如图所示，已知?ABCD，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC.其中能说明?ABCD是矩形的有________(填序号)．

1.一个平行四边形的一个内角等于_______时，这个平行四边形可变成矩形;这个平行四边形的两条对角线__________时，它也可变成矩形．

⑴对角线相等的四边形是矩形； （ ）

⑵对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ） ⑶有三个角是直角的四边形是矩形； （ ） ⑷四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （三）解答题

2．已知：如图，ABCD中，M为AD中点，且∠MBC=∠MCB，求证：四边形ABCD是矩形.

3.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD 交于O，如图， ①若∠1=∠2，则平行四边形ABCD是矩形吗？为什么？

②若△AOB是正三角形，则平行四边形ABCD是矩形是矩形吗？为什么？

(4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？

4．如图，四边形ABCD两条对角线AC、BD互相垂直，垂足是点O，GHEF是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形GHEF的面积为 ．四边形GHEF的是矩形吗？如果是，请写出证明过程．

泰化初级实验中学初二数学教学案 班级 ，姓名 （设计人： ） 第十八章《平行四边形》 5.已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm. (1)平行四边形ABCD是矩形吗？说明你的理由. (2)求这个平行四边形的面积.

6.农村建房打地基时，不像城市盖大楼有专门的仪器测量．他们往往采用土办法，先把绳子拉成四边形，分别量出房基的长和宽(如图所示)．如果测得AD＝BC，AB＝CD，能保证房基是矩形吗？如果能，请说明理由；如果不能，请说明还需要测量什么？

1.能应用矩形定义、判定定理，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力. 2.培养综合应用知识分析解决问题的能力.

自学指导：阅读课本54页至55页，完成下列问题. (1)角：①有一个角是直角的平行四边形是矩形.

②有三个角是直角的四边形是矩形.

(2)对角线：①对角线相等的平行四边形是矩形.

②对角线相等且互相平分的四边形是矩形.

1.根据定义双重性，可以得出判定矩形的一种方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？

命题：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：平行四边形ABCD如图，AC=BD. 求证：四边形ABCD是矩形.

根据平行四边形的对边相等，再加上AC=BD，AB=AB得出△ABC≌△BAD,得出

3.李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边――直角、边――直角、边――直角、边”，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？

命题：有三个角是直角的四边形是平行四边形. 已知：四边形ABCD，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形.

行四边形，又有角是90°，所以是矩形.

2.矩形的一组邻边分别长3 cm和4 cm，则它的对角线长5cm.

A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 (4)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？ 解：相等.因为矩形的对角线相等.

学习目标：1.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理；

2.会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.

重点：经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理. 难点：会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算.

1.菱形的定义是什么？性质有哪些？

2.根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法是什么？用数学语言如何表示？ 有一组邻边_____的______________是菱形.

数学语言：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=AD ， ∴四边形ABCD 是菱形.

探究点1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

想一想 前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？

猜想：对角线互相_________的平行四边形是菱形.

证一证 已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形,对角线AC 与BD 相交于点O,AC ⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形.

几何语言描述：∵在□ABCD 中，AC ⊥BD,

∴ □ABCD 是菱形. 典例精析

学生在课前完成自主学习部分

1.情景引入 （见幻灯片3-4）

　　知识点一、平移的概念：

　　1.在平面内将一个图形沿______移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移不改变图形的_______和__________.

　　注意：1、前提在同一平面内，物体在曲面上运动不称之为平移

　　2、必须是沿同一个不变的方向移动

　　3、图形平移是有平移的方向和距离决定的

　　知识点二、平移的性质

　　1.以下现象：①电梯的升降运动;②飞机在地面沿直线滑行;

　　③风车的转动，④汽车轮胎的转动.其中属于平移的是()

　　A.②③B、②④C.①②D.①④

　　2、如下左图，△ABC经过平移到△DEF的位置，则下列说法：

　　③平移的方向是点C到点E的方向;

　　④平移距离为线段BE的长.

　　其中说法正确的有()

　　3、如下右图，在等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，则△AFE经过平移可以得到()

　　4.下列图形属于平移位置变换的是().

　　5.下列图形中，是由(1)仅通过平移得到的是( )

　　6.如图，△ABC平移后得到△A′B′C′，线段AB与线段A′B′的位置关系是.

　　7.在1题中，与线段AA′平行且相等的线段有.

　　8、将长度为5cm的线段向上平移10cm所得线段长度是( )

　　学习是一个边学新知识边巩固的过程，对学过的知识一定要多加练习，这样才能进步。因此，编辑老师为大家整理了初二年级下册数学第三单元测试题，供大家参考。

　　1、图形的平移、旋转、轴对称中，其相同的性质是_________.

　　3、经过旋转，对应点到旋转中心的距离___________.

　　4、9点30分，时钟的时针和分针的夹角是______.

　　5、等边三角形绕着它的三边中线的交点旋转至少______度，能够与本身重合.

　　6、边长为4cm的正方形ABCD绕它的顶点A旋转180°，顶点B所经过的路线长为______cm.

　　7、甲图向上平移2个单位得到乙图，乙图向左平移2个单位得到丙图，丙图向下平移2个单位得到丁图，那么丁图向______平移______个单位可以得到甲图.

　　8、△ABC和△DCE是等边三角形，则在此图中，

　　△ACE绕着点旋转度可得到△。

　　三、解答题(第8题图)

　　1、经过平移，△ABC的边AB移到了EF，作出平移后的三角形.

　　2、如图所示，在边长为1的网格中作出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90，再向下平移2格后的图形△ABC

　　3、如图，在平面直角坐标系中，，，.

　　②作出向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的图形△A2B2C2.

　　③作出△ABC以A为旋转中心逆时针旋转900后的图形△A3B3C3

　　4、在如图的方格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上。在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(-1，2)。

　　(1)把△ABC向下平移8个单位后得到对应的△，画出△，并写出坐标。

　　(2)以原点O为对称中心，画出与△关于原点O对称的△，并写出点的坐标。

　　5、如图，已知∠EAD=32°，△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，求∠BAE的度数。

　　6、四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一四定角度后得到△ABE，如图所示，如果AF=4，AB=7，求(1)指出旋转中心和旋转角度(2)求DE的长度(3)BE与DF的位置关系如何?

　　7.如右图所示，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，

　　能与△ACP′重合，如果AP=3，求PP′的长。

　　8.将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC=∠B′A′C=30°)按图(1)的方式放置，固定三角板A′B′C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图(2)的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O.

　　(2)当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗?请说明理由.

　　9.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，下列图形中可由△OBC平移得到的是()

　　10.将面积为12cm2的等腰直角△ABC向右上方平移20cm，得到△MNP，则△MNP是 三角形，它的面积是 cm2.

　　11.如图7，四边形EFGH是由四边形ABCD平移得到的，

　　13、(2013湖南郴州)在图示的方格纸中

　　知识点一、旋转的定义.

　　在平面内将一个图形__________________________________，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角，旋转不改变图形的_______和__________.

　　知识点二、旋转的性质

　　1、经过旋转后的图形与原图形的对应线段______，对应角_______

　　2、对应点到旋转中心的距离______

　　4、经过旋转，图形上每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度

　　理解旋转这一概念应注意以下两点：

　　(1)旋转和平移一样是图形的一种基本变换

　　(2)图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度及旋转的方向

　　1、下列运动是属于旋转的是()

　　A、滾动过程中篮球的滚动B、钟表的钟摆的摆动

　　C、气球升空的运动D、一个图形沿某直线对折过程

　　2、将图形按顺时针方向旋转900后的图形是()

　　3.(2012广东汕头4分)如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′.若∠A=40°.∠B′=110°，则∠BCA′的度数是()

　　4.(2013莆田)如图，将Rt△ABC(其中∠B=35°，∠C=90°)绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于( )

　　5.(2012广州)如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为 .

　　6、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，将△ABC绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的长等于

　　7.如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF，将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向转到△BCF，旋转角为a(0°

　　8、钟表上的分针和时针经过20分钟，钟表的时针和分针旋转的角度分别为()度

　　9.(2013广西钦州)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为(2，4)，请解答下列问题：

　　(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标.

　　(2)画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.

　　10.(8分)(2013淮安)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点.

　　(1)将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1;

　　11、把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H(如图).(1)试问线段HG与线段HB相等吗?请先观察猜想，然后再证明你的猜想.

　　知识点一、中心对称图形的概念

　　平面内，如果把一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。

　　(如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴)

　　知识点二、中心对称图形的性质

　　中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

　　知识点三、轴对称图形与中心对称图形的区别

　　轴对称图形中心对称图形

　　有一条对称轴直线有一个对称中心点

　　沿对称轴对折绕对称中心旋转180°

　　对折后与原图形重合旋转180°后与原图形重合

　　1、(2013贵州省六盘水，4，3分)下列图形中，是轴对称图形的是( )

　　2、(2013河北省，3，2分)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

　　3、(2013黑龙江省哈尔滨市，3)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是().

　　4.(3分)(2011桂林)下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是( )

　　5.(2013湖南郴州)下列图案中，不是中心对称图形的是( )

　　6、(2013泰安，11，3分)在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P(2.4，2)平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为( )

　　7、(2013杭州3分)下列“表情图”中，属于轴对称图形的是( )

　　8、(2013四川遂宁)下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

　　9、.(2013山东烟台)以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是()

　　10.(2013江西南昌)如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为().

　　11.(2013四川绵阳)如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是(-2，3)，嘴唇C点的坐标为(-1，1)，则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是。

　　12.(2013贵州安顺)如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段，则点的坐标为.

　　13.(2013凉山州)如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE.

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　　初二数学下册第三单元试题：这里为同学们整理的单元练习囊括常考内容方方面面，大家好好练习一下，巩固自己所学。

　　一.选择题：(每题5分)

　　1.下列关于x的方程中，是分式方程的是()

　　2.下列各式计算正确的是()

　　3.下列各式正确的是()

　　4.解方程去分母得()

　　5.化简的结果是()

　　二.填空题：(每题5分)

　　9.在下列三个不为零的式子中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是，把这个分式化简所得的结果是.

　　12.若关于x的分式方程在实数范围内无解，则实数a=________.

　　三.解答题:(每题7分)

　　18.请先将下式化简,再选择一个你喜欢又使原式有意义的数代入求值.

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