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1、正交矩阵与酉矩阵的性质和应用0前言1.1欧式空间和正交矩阵 2.1.1欧式空间2.1.2正交矩阵的定义和性质 21.2.1正交矩阵的定义和判定21.2.2正交矩阵的性质 .32正交变换的定义和性质122.1正交变换定义的探讨 122.2正交变换的判定142.3正交变换的性质 153正交矩阵的应用1.73.1正交矩阵在线性代数中的应用 173.2利用正交矩阵化二次型为标准形223.2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明 223.2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 233.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 253.3正交矩阵在矩阵分解中的作用263.4正交矩阵在方程组的求解中的

2、应用 354酉空间和酉矩阵384.1酉空间384.1.1酉空间的定义384.1.2酉空间的重要结论384.2酉矩阵404.2.1酉矩阵的定义404.2.2酉矩阵的性质405酉矩阵的应用485.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 485.2利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 546正交矩阵与酉矩阵577结论60参考文献62致谢63正交矩阵与酉矩阵的性质和应用0前言正交矩阵是一类特殊的实方阵，酉矩阵是一类重要的复矩阵，它们的一些特 殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用，也推动了其它学科的发展随 着科学技术的迅速发展，特别是计算机的广泛应用，矩阵问题特别是特殊矩阵的 性质及其构造越来越受到科学工作者以

3、及工程人员的重视它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结 果在矩阵理论的研究中，正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法 等方法都占有重要的地位戴立辉等（2002）对正交矩阵进行了详细的研究，得到 了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在矩阵理论与应用中给出了正交矩 阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在矩阵理论 中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在正交矩阵的进一步探究中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理，这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础在矩阵理论中，经常利用矩阵来描述变

4、换在实空间中正交变换保持度量不 变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵 ，所以对正交矩阵的研究就显得 格外重要同样道理，想要得到复空间中保持度量不变的线性变换，就应该对正交 变换进行推广，将其推广到复数域上，那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域 H酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究，对正交矩阵与酉矩阵进行比较，得 到了酉矩阵的若干结果第23页共64页1欧式空间和正交矩阵1.1欧式空间设V是实数域上一个线性空间，在V上定义了一个二元实函数称为内积，记作(，)，它具有以下性质：1) (,)(,)(对称性);2) (k , ) k(,)(线性)；3) (,)(,)(,)(线性)；4) (,)是

5、非负实数,且(，)当且仅当 0 (正定性).这里，是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间称为欧式空间.1.2正交矩阵的定义和性质在欧式空间中，由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么第二组基一定也是 标准正交基.1.2.1正交矩阵的定义和判定正交矩阵有以下几种等价定义及其判定定义1.1 A为n阶实矩阵，若AA E,则称A为正交矩阵.定义1.2 A为n阶实矩阵，若AA E,则称A为正交矩阵.1定义1.3 A为n阶实矩阵，若A A ,则称A为正交矩阵.定义1.4 A为n阶实矩阵，若A的n个行(列)向量是两两正交的单位向量，

6、 则称A为正交矩阵.由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理：判定定理1 A为正交矩阵 A A 1 .判定定理2 A为正交矩阵当且仅当A的行向量组满足i j j 1,1 j0,i j其中i, j 1,2, n且.J是Kronecker（克朗内克）记号.即A的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A为正交矩阵AA E判定定理3

n阶非零矩阵A为正交矩阵的充要条件是对任意的n阶矩阵B有错 误!未找到引用源。Tr(ABA) Tr(B).证明 必要性设A是n阶正交矩阵.由AA E得A A1.错误!未找到引用 源。从而根据矩阵理论可知对任意n阶矩阵B,有Tr(ABA) Tr(B).充分性

12、.设对任意的n阶矩阵B错误!未找到引用源。，Tr(ABA) Tr(B).特别地我们可选取B Ej(i, j 1,2, ,n)错误!未找到引用源。.这里Ej错误!未找到引用源。表示位于第i错误!未找到引用源。行第j错误!未找到引用源10001ei,e2,0en，那么B001eej,i1,2 丄，n.错误!未找到引用源。列交叉位置上的元素为1,其余元素均为零的n阶矩阵记Ej

1由此即知A为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，另外还有以下性质，例如性质7正交矩阵的实特征值的模为1,且属于不同特征值的特征向量相互正证明设A为正交矩阵，为A的实特征值，为对应的实特征向量，则,取共轭转置得,再右乘A有 AA彳.利用AA E得2由于0,所以21,故有 1.设1和-1是正交矩阵A的不同特征值，设其对应的特

14、征向量分别是，即A ,A,则易得 A, A.由A是正交矩阵，则A A1,故而 ()(A ) A A 1，因此 0.即正交矩阵对应不同的特征值的特征向量是相互正交的.性质8如果 是正交矩阵A的特征值,那么1也是它的特征值.证明设是A的特征值,则 0.由于A是正交矩阵，于是A1= A .但A与 A的特征值全部相同,而1是A 1的特征值.因此-是A的特征值.性质9奇数维欧式空间的旋转一定以1作为它的一个特征值.证明设旋转对应的正交矩阵为 A,那么| E A AA A ( 1)n AE A由于n为奇数,且A 1,于是E A |(E A) | E A，故 E A 0,即1为A 的一个特征值.性质10设A

,当n为偶数时，A的特征多项式有奇数项，它以bn为中间项，2左右对称项的系数相同，其中包括首项系数与常数项bn ；当n为奇数时，A的特征 多项式有偶数项，处于对称位置的左右两端系数仅差一个符号，因首项系数为1, 且bn为-1,故也包括在内.II若A 1,

20、n A 1.2所以若A 1,当n为偶数时，A的特征多项式有奇数项，它以bn为中间项，2左右两边对称项的系数相差一符号，因首项系数为1, bn为1,故也包括在内；当 n为奇数时，A的特征多项式有偶数项，处于对称位置的左右两端系数相同，其中 包括首项系数与常数项bn均为1,也包括在内.性质13正交矩阵A的一切k阶主子式之和与一切相应n k阶主子式之和或 相等或仅差一符号.1性质14正交矩阵可以对角化，即存在复可逆阵T使得A T 1 O T ,2其中1,., n为A的全部特征值，即i|1 i 1,2,., n.n trA性质15对称正交矩阵Aaj n n的行列式|A1 丁.证明由对称正交矩阵的特征值

为n个n次单位根.证明设A为基础循环矩阵.可知A的特征多项式为kf x xI A xn 1,则其特征根为 xkcos i sin k 1,2, ,n .nn故xn为n次单位根.2正交变换的定义和性质在标准正交积下，正交变换与正交矩阵

22、对应，本文中提到在探讨性质应用之前，先得了解正交矩阵的出处，正交矩阵来自于正交变换的定义，设EndR（V）是欧几里得空间的线性变换，如果 保持内积不变，也就是说,对任意的，V ,有（），（），正交变换是保内积的，也即保长度和夹角，则变换前后的图形全等.2.1正交变换定义的探讨在解析几何中，我们学过正交变换的定义，正交变换就是保持点之间距离不 变的变换，正交变换也是高等代数与线性代数中常见的定义，其表述方式为:定义2.1.1设 是欧氏空间V的一个线性变换，如果保持向量内积不变，即对 ，V ,都有 （），（）,则它是正交变换.定义2.1.2设 是欧氏空间V的一个线性变换，如果保持向量的长度不变，

23、即对 ，V ,有|则此线性变换叫做正交变换因此由上述可知，在线性变换的前提条件下，保持向量的长度不变与保持向 量的内积不变是等价的探讨1事实上,我们可以对定义2.1.1作一个修改.在此之前,我们先看下面 的命题：命题 设 是欧氏空间V的一个变换,如果保持向量内积不变,即 , V有（），（），则它一定是线性的，因而也是正交变换.证明先证（）()().对,V,有(

24、,(a )2(a),a()(a ( ),a ()2 “ 、2 “2 “a (,)2a (,)a (,)0即 aa是线性变换，因此也是正交变换由命题可知，定义1中 是线性变换是多余的，因此定义可以修改为：定义1欧氏空间V中的一个变换，若它保持向量内积不变，即 ， V有 (),(),贝U为正交变换.探讨2由定义1到定义1/，将条件中线性变换降弱为变换，于是我们就问可 以将定义2中的线性变换也降弱为变换？事实上，这是不行的，我们用一道考研 题来说明.中国人民大学1991年考研试题：欧式空间V中,保持向量长度不变的变换是否一定是正交变换？若是给出证 明,若不是举出反例.答不一定是正交变换.例如设R2x

2.故不是正交变换探讨3在解析几何中，正交变换是保持点之间距离不变的变换，下面将研究, 在欧式空间中，保持向量距离不变的变换是否为正交变换？下面以一道山东大学考试题说明：设欧氏空间V定义d ,|为距离，x, y V ,问保持距离不变的变换是否为正交变换？答不一定是正交变换，比如在R2中的向量平移(

保持向量长度以及保持向量距离不变是等价，但是在仅为欧氏空间的变换前提下 上述三者之间不存在等价关系2.2正交变换的判定定理设 是n维欧式空间Vn的一个线性变换，则以下命题等价：1 是正交变换；2 是线性变换，1,

27、2,L , n是标准正交积，则 1 ,2 ,L , n也是标准正交积;3 是线性变换，在任意一组标准正交积下的矩阵是正交矩阵4对任意的，5对任意的，Vn,有,|Vn,有，11 16对任意的，Vn ,有丨hl1证明用两步循环法:1231 ; 14561 ;其中1231见课本教材定理4.下面证明 Q 是正交变换是线性变换.故对任意的,Vn,有是正交变换对任意的Vn,有

28、的性质性质1正交变换的行列式等于+1或者-1.行列式等于+1的正交变换称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于1的正交变换称为第二类的.证明正交变换在标准正交基下的矩阵A是正交矩阵，的行列式等于A的行列式.所以正交变换的行列式等于+1或者-1.行列式等于+1的正交变换称为旋转，或者称为第一类的;行列式等于1的正交变换称为第二类的.性质2第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值证明 设是一个第二类正交变换对应的矩阵，则ia1.由于 |1 E A |A A E E A | E A|所以I E A| 0,即-1是的一个特征值.性质3正交变换是欧氏空间的一个自同构映射.证明 设 是V的正交变换，在任一

29、标准正交基下的矩阵为正交矩阵，它有 逆矩阵,故 有逆变换，因而 是V到V上的双射.对于任意的，V,由是正交变换知, k k , k RJJ所以是V到V的一个自同构映射.性质4正交变换的乘积、正交变换的逆变换还是正交变换.证明设，是V的正交变换，V (),()(),(),及 1 ,11,1, 知AB,A 1都是V的线性变换.3正交矩阵的应用3.1正交矩阵在线性代数中的应用在正交矩阵中,有一类初等旋转矩阵,我们也称它为Give ns矩阵.这里,我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积,给出化欧式空间的一组基为标准正交基的另一种方法.Wj s ,则称n设向量Ww1, w2wn ,令s.wi

n,可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.1设P是n阶正交矩阵1若P 1,则P可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即P P1P2Pr；2若P 1,则P可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵E n ,即P P1P2PrE n ,其中P红1,2, ）是初等旋转矩

1P2RERrRr 1 叨 R(3-1-5)由(3-1-4)和(3-1-5)两式知,对A和E做同样的旋转变换,在把A化成的同时,就将E化成了 Rt ,而P的前m个列向量属于子空间Vm.综上所述可得化欧式空间的子空间 Vm的一

35、组基1, 2, m为一组基为准正交基的方法为(其中i(冇忌， 忌)1,2,m):1由已知基为列向量构成矩阵Aaij n mR2对矩阵A E施行初等旋转变换,化A为 ,同时E就被化为正交矩阵OP,这里R是m阶上三角阵；3取P的前m个列向量便可得Vm的一组标准正交基.显然，上述方法是求子空间Vm的一组标准正交基的另一种方法.下面,我们通过实例说明此方法的应用：例 3.1.1 求以向量

0.、32、32.、200,P21.-323得到的V3的一组标准正交基3.2利用正交矩阵化二次型为标准形任意一个n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特

37、征向量， 那么对称矩阵的对角化需要什么条件，怎样进行对角化？下面的讨论将给出答案.3.2.1对称矩阵可对角化的相关理论证明定理3.2.1实对称矩阵的特征值都是实数.证 设A是n阶实对称阵，是的特征值，Xx,x2,L ,xn是属于 的特征Xi向量,于是有AXX .令 Xx2 ,其中X是Xi的共轭复数,则AX 亍，考察MXn等式 XT(AX) xt ATX (AX)TX (AX)TX

实特征向量，把它们正交化并单位化，即得ri个单位正交的特征向量，由ri a L rs n知,这样的特征向量共可得n个.由定理3知对应于不同特征值的特征向量正交，故这n个单位特征向量两两正交.以它们为列向量作成正交矩阵 P ,

40、贝U P AP P 1AP,其对角矩阵 中的对角元素含ri个1,rs个s,恰是A的n个特征值.3.2.2对称矩阵对角化的具体方法及应用举例定理3.2.4说明,对任何一个实对称矩阵总有正交矩阵存在，使它化为对角形. 定理3.2.4的证明过程也给出了将实对称矩阵 A对角化找出正交阵P的方法,具 体步骤如下：1求出实对称矩阵的A全部特征值1, 2,L , s.2对每个i (i 1,2丄，s),由iE A X 0求出的特征向量.3用施密特正交法，将特征向量正交化，再单位化，得到一组正交的单位向量 组.4以这组向量为列，作一个正交矩阵P,它就是所要求的正交阵.根据上述讨论，下面举例说明.400例3.2.

1替换变成平方和y22y；nyf，其中平方项的系数1, 2, n就是矩阵A的特征多项式全部的根.3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程二次曲面的一般方程是 可必2a22y2a33Z2 2a12xy 2%xz

X城於例3.2.3二次曲面S的直角坐标系方程x2 4y22z 4xy 8xz 4yz 10.作直角坐标变换，把它化成标准方程，并指出S是什么二次曲面经过正交替换化成标准型.二次型的矩阵是A解 首先把方程左端的二次项部分 f(x, y,z) x2

.由此可以看出，S是单叶双曲面.3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用一些重要的矩阵分解涉及到了正交矩阵，包括:QR分解奇异值分解谱分解 极分解定理3.3.1设A是可逆的n阶实方阵.求证：存在正交阵U和正定阵T,使A UT ,且这个分解式是唯一的；存在正交阵Ui和正定阵T,使A

ST S T分解式是唯一的后者对A用已证结果可得A T1U1.推论1设A是一个n阶实可逆矩阵，A PU是极分解,其中P是正定矩阵，U是正交矩阵，则 AA AA PU UP.证明充分性.AA PUU P PP P2

47、U UP2 (U P)(PU ) (PU ) (PU) AA ；必要性.Q AA AA P2 U P2U由P2及u均为正定矩阵知它们均有正定平方根且P和UPU的平方根是唯一的所以P UPU,故UP PU .定理3.3.2 任一实满秩矩阵A可分解成一个正交阵与一个主对角线元素都大于零的上三角阵之积，且这种分解是唯一的，这个分解也称为矩阵的QR分解.证明 设A ( 1, 2,L ,

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