虚数存在的意义在《》（或《量子力学和虚数的哲学解读》第2章）中已经有了明确的回答，完整解决了虚数，复数，谐振微分方程与量子力学之前认识都不够准确的问题。
在申报自然基金的时候，该书的研究内容没有得到过资助支持，但没关系，它们终会被人类世界所认识，这些基础成果也肯定都会具有相应的科学价值，社会价值和历史价值。
以下内容就是选自《量子物理数学基础解读》（或《》第2章）
第5章 复数微分方程数学原理
本章后续内容主要对代数系统、虚数和复数以及微分方程虚数解等问题进行数学基础论述，这些论述主要是对相关的研究结论进行介绍而简略具体的推导过程，最后应用这些结论对量子力学的波函数等相关问题进行再解读，相信这些内容对所有相关的物理及数学问题的解决有着重要和关键的作用。
5.1 代数方程发展简介
总之，复数的发现、发展过程，反映了一代代数学家对未知世界的孜孜不倦的探索，体现了一个数学概念发展上遇到的曲折坎坷，印证了偶然与必然这对看似“对立”的规律在历史轨迹上的统一。有学者说过，科学的正确内容只能告诉我们知识，而科学的发展历史却能给予我们智慧，从代数方程的发展历史过程我们同样的也可以看到人类智慧在解决代数问题上的体现。
虽然复数至今已经发展成较为完整的一个理论体系，但是对于复数深刻的本质认识还存在一定的盲区，以至于有关复数和与复数有关的理论学科都存在一定的误解，本章后续的内容就是对虚数的代数、几何以及物理的认识进行基础的解读。
5.2 两类问题的数学基础
5.2.1 集合与代数系统基础
一元二次代数方程有两类问题，其一是方程有两个不同实数根（含重根），其二是方程没有实数解（即负数开方）。对于两个实数根的情况，因为在解决实际问题中，我们会依据情况选择一个合理的根，而舍去另一个根，我们同时也有清晰的几何图像（即与横坐标有两个交点），因此这种情况我们视其为正常。对于没有实数根的情况，古代数学家们都认为它没有解也没有意义而回避它，但由于一元三次方程的出现，负数开方才提到重要的地位，因此导致了虚数与复数的出现，虚数与复数的出现虽然也解决了问题，但虚数与复数基础问题依然存在。对于没有实数根的情况，过去一直认为它没有实际的对应问题也没有清晰的几何图像（因为与横坐标没有交点），这种情况至今仍存在疑惑或处于偏误的理解之中（如理解为矢量相加或者旋转），而真正的解决问题需要从集合论、映射、拓扑、群论、代数和几何等多个学科的角度才能完整的加以解决。不仅负数不能开平方，实际上负数也不能开偶数高次方，只是这个问题实际中没有遇见，其实负数不能开偶次方的问题和负数不能开方是一致的。
代数学是研究代数系统的学科，而代数系统是由具有运算规则的元素所组成的，现代数学理论我们知道，这些元素是多种多样的，有矢量，矩阵，张量及数值（实数）等等，同时依据元素之间的关系模型又可以抽象规定出不同的运算规则。具有相同运算规则的元素，依据现代的理论知道它们可以看作是结构相同的集合，但相同的集合元素而具有不同的运算规则，则这些集合元素就不能看作是一样的集合结构，或者说代数系统中的元素和运算规则是两个同等重要的要素，他们是构成同构集合的两个重要条件，运算规则也就是现代数学理论中的映射对应关系。
另外，代数系统中的元素本身其实有两个因素构成，一个是数值，另一个是属性，数值一般就是指实数的数，而属性可以是量纲单位(一般情况下元素都是含有量纲属性的)，也可以是方向，也可以是其他的特征等。当然，在数学抽象中，尤其是实数的抽象中，往往忽略了这种属性，而仅仅看到数值，当然有些时候还明确或隐含的包括了这些属性。
代数的运算规则也具有两个因素，一个是元素是如何运算的，另一个则是运算后的结果是否仍然封闭在原集合中以及运算所得到的元素是否还具有原元素的属性，这一点也是极其重要的(比方说元素的量纲单位及量纲级数就是确定集合范围的另一个相当重要的特征)。
有了这些代数系统的认识之后，我们就可以认真的研究一些运算规则，根据数学的观点，我们可以有如下一些运算规则，了解和区别这些规则是了解方程的重要基础，对于最基础的数学集合来说(即实数集合)，实数集合的运算规则有基本的四则运算(即加减乘除)，但实际上的数学集合的运算更为复杂，并不仅限于上述运算，或者说他们的运算更加丰富。
一般来说各种集合中重要的有这样一些运算规则（也就是映射对应）：
1．加法：其特点是数值改变，数值一般均来自实数，而加法的结果元素（这个元素其实就是所取两个元素所映射对应的元素，后同）的属性不变，仍封闭在集合之中，而减法一般是其逆运算。
2．数乘：数乘也可以叫做倍乘或加乘，它其实是相同元素连续做加法的快捷运算技巧，其特点也是和加法一样的，即运算的结果仍封闭于元素的集合之中，但要注意的是数乘的数都是取自实数集合，数乘的数并非一定是本代数系统中的元素（代数系统的元素是实数的情况属于特例,它是数和元素都取自实数集合），数乘的逆运算应该是数除，也可习惯的称为除法，其运算结果一般依据除数是数值还是元素而得到元素或数值。数除的结果若是元素则结果仍在本代数系统中，若是数值则在实数集合中（当然代数系统的元素是实数的情况属于特例）。抽象后的数值是无量纲属性的，而元素一般可能都是有量纲属性的，因此数值和元素是有差别的，如果当元素也是实数数值时，则数乘的结果也就没有显性的量纲属性的概念，否则数乘的结果的量纲属性就不同了。
3．积乘，也可叫因乘,通常称为乘法，它的运算特点是取代数系统中的两个元素进行运算，一般情况下积乘的数值结果都是改变的，这种乘法的运算结果是多种多样的，比如有向量的内积、向量的叉积、向量的张量积、数值的外积、复数的乘法和虚数的乘法等等，这些结果有些是封闭的（如复数的积乘结果），有的是溢出的（如向量的张量积），有些是属性改变的（如量纲为长度的集合中的两个数相积乘，其结果为面积量纲）。积乘的逆运算应该是分解（或叫因除），它的运算一般是通过由元素的逆运算进行计算，情况也是多种多样，最普遍常见的如多项式的因式分解应该就是多项式积乘的逆运算。积乘中的两个元素可以是相同的，也可以是不同的，若两个是相同的情况，就是下面的幂乘情况。另外积乘运算可以分为可交换秩序和不可交换秩序两种，实数的乘法是可交换秩序的，复数的乘法也是可交换秩序的，但向量的叉积是不可交换秩序的。一般不作说明我们默认积乘是可交换的。还有重要的特征就是，数乘的结果与乘数或被乘数的量纲属性是相同的，而积乘的结果，其量纲属性是不同的（后面进行量纲属性概念的介绍），因此可以知道数乘与积乘是完全不同的乘法。
4．幂乘，幂乘也可称为方乘，幂乘就是代数系统中两个相同元素的积乘，它是积乘的一个特殊情况，幂乘的逆运算是开方或求根，它是分解或因除的特殊情况，
上面的几种情况用公式表示为：
加法 x=x1+x2(x,x1,x2表示集合元素，元素是实数时是特殊情况)
积乘 z=x1*x2 （z表示它可能是封闭集合也可能是溢出集合）
上面只是对一般代数系统中的几种基础常见的运算规则做简要分析（事实上还有其他很多的运算规则），我们不打算更系统的研究这些运算规则，这些系统的运算规则的研究工作应该是由其他数学工作者更仔细的研究，我们只是强调指出，研究这些运算规则可以进一步准确的理解二次方程的两类问题，有了这些运算规则的基础知识也对研究数学物理是有重要意义的。
5.2.2 G代数系统与H代数系统
依据前面分析，在实数运算规则中，数乘和积乘(乘法)在实质上是一样的，即积乘是数乘的直接推广，在抽象成纯数值（不含量纲属性）的情况下，我们是不能分辨两者的区别的，也就是说，实数中的四则运算，根本上讲就是只有加法运算一种（当然它包括逆运算和运算技巧）。清楚了实数集合的四则运算的概念以后，按照抽象代数的处理方法，我们可以把代数系统具有加法和数乘（它是加法的技巧法则）运算的这种情况的集合叫做固标集（也可称为固标群，但为区别和易于理解称其为固标集）,或称固有集，标准集。按照如此的处理方法，实数代数系统对于加法和积乘就是一个固标集，在这个固标集中，实数的积乘是数乘的直接推广，具体法则是正正得正，负负得正，以及正负或负正得负（或者说实数代数系统的积乘在不考虑量纲属性的情况下，它和数乘是一回事），在这一积乘法则之下，幂乘映射的结果就只能是落在实数数轴上的正值，且每个正值是有两个幂乘映射的结果，而负值没有幂乘的映射结果，由此，我们知道，二次方程对于开方运算而言，正值有正负两个根，而负值没有根，负值同样的也没有偶次高阶幂乘结果的正数根或负数根，而回顾积乘，对于积乘而言，实数数轴的正值或负值都可有分解（因除）的结果。正是由于实数的积乘运算法则的原因才导致历史上三次方程中的发展过程，导致了如今的虚数复数的代数概念，当然如若我们对实数积乘进行改造成正正得正，负负得负，正负或负正得负，或者改造成正正得正，负负得负，正负得正，负正得负等等也是可以解决上述二次方程中负数无解的现象，同时也解决了负数偶次高阶幂乘结果开方的无解问题，但是这种改造将使现行数学体系中的函数极值问题，三角函数问题，方程理论以及基础数论都将改变，这是一项几百上千年的工程，难度复杂度可想而知，并且其实际改进效果如何也很难预测，这项工程还是留给数学家们去考虑衡量吧。
依据对运算法则的讨论可知，在抽象代数中有环域的概念，在此应该补充一点，环域中所定义的另一种运算应该是和前一种运算完全无关的，或者说是没有联系的，否则不应该看作两种运算，例如实数的四则运算的加法和乘法就是有联系的，不是完全无关的。
我们选取实数的固标集为集合元素，注意此处称实数为元素，而将积乘（乘法）的运算规则定为正正得负实数，负负得负实数，正负或负正得正实数，这一法则与实数的积乘规则相反且是溢出集合的，我们把这种选定的集合元素和运算规则称为G代数系统，它与实数的代数系统的区别是在积乘的定义上（因为实数的积乘就是数乘并且是封闭的，所以普通的实数集合的运算法则是加法，数乘），由此定义后，实数的负值的开平方（注意仅是开平方，而不是针对更高偶数次开方），自然就对应G代数系统的正负两个映射结果（因为G代数系统的正值的幂乘结果和负值的幂乘结果都对应实数代数系统的负值）。因为实数代数系统的固标集与G代数系统的固标集是一样的，我们设实数为x（小写），G数(G代数系统的元素)为X(大写)，X小写及大写的区别，主要是因为他们的积乘规则不同，所以他们应该看作是不同的元素，但实际上它们都是相同的实数，把实数代数系统和G代数系统结合，合并成为H代数系统，且H代数系统中的元素由x,X用实数中的多项式相加的方法构成，即x与X相加为x+X（它就是H代数系统的元素h），再定义x与X的乘积为xX,它实际就是G代数系统的数乘，（G代数系统的数乘kx中的k选用的是实数），这样就可以确定H代数系统的完整的表达，设H代数系统的元素即为h，对于加法，数乘，以及积乘而言，其运算规则按实数代数系统进行（遇到G代数系统的元素积乘时，按G代数系统的积乘规则）。
(x1,x2中的上标表示它们是X1,X2在实数中的对应数)
对上面的G代数系统元素X加以改进，即引入运算规则符号m，使mm=-1，（-m）（-m）=-1 ，
m（-m）=（-m）m=1，则X就可以表成mx(因为G代数系统中的X本身就是实数代数系统的x，只不过是由于积乘规则不同才采用X表示)，现在有了m的符号约定（我们的m只不过是表示G代数系统中X的积乘规则而已），这G代数系统的m与虚数代数系统的i就完全相同了。如此，我们就从代数基础角度弄清楚了虚数与复数，虚数就是G代数系统，复数就是H代数系统，可以看出，在此概念之下的虚数一定是可以度量的（在后面的几何情况下可以更清楚的看到这点），是实实在在的数。而且我们可以确定，正如加号减号等是代数运算规则符号一样，虚数符号i也是一种代数运算规则的符号。
现在可以看一下实数乘法中负负得正的规则是加法及数乘的直接推广的实际应用案例。若计算某人的资产总数时会遇到这种运算，我们把资产记为正，负债记为负，把欠钱记为负，进钱记为正，自己欠别人钱次数记为正数次，别人欠自己钱次数记为负数次，则别人欠自己的钱相当于自己的资产中有负负得正的钱，当然是正直，只不过是放在别人那里而已。
5.3 复数代数基础解读
负值开平方的问题通过上述办法已经加以解决，对于负值开偶次高次方的情况，则可以应用复数加以解决。当然，前面讨论我们知道也可以采用改变规则的办法来加以解决，但它有太多的复杂问题，不如用复式的方法简单自然。对于复数系统，我们概要的进行如下几方面问题的解读。
5.3.1 复数的共轭问题
复数共轭问题是我们熟悉的，其实从另一方面来看复数共轭是我们根据不同的需要（如方程根的对应）而言确定的，如若需要（当然现在还不需要）复数共轭问题可采用下面的方法定义。使用的两个互为共轭的复数相加其值是实数，相乘其值是正实数（我们可称其为正共轭）。如果我们为了得到互为共轭的复数相乘其值是负实数，则对于一个复数
，我们可以定义它的共轭复数为，这样定义的两个互为共轭的复数相加其值是虚数，相乘其值是负实数（我们可称其为负共轭）。按照这样的负共轭定义来计算现行复数的除法与已经确定的正共轭定义来计算现行复数的除法是一样的，当然我们没有采用这样的负共轭的定义。
共轭问题是根据不同的需要而确定的，目前的正共轭定义是由方程根的对应而定的，它是有意义的，不过我们讨论这个共轭问题是因为它对于物理学来讲还是有相关意义的，后面在有关量子力学的解读中再作阐述。
5.3.2 欧拉关系式解读
5.3.3 线性代数角度的解读
从前面代数系统的讨论可以知道，线性代数的基都是固标集。复数运算从代数角度看是多项式的运算，这一点我们已经有了明确的认识，如果从线性代数的角度分析，我们会进一步理解实数和虚数的关系。就元素和运算规则两方面因素综合起来考虑，实数与虚数完全是不同的集合，他们是独立的，而他们又是联系的，它们的联系是通过实数集合的负数开方实现由实数到虚数的映射联系和通过虚数集合两元素相乘实现由虚数到实数的映射联系(这点又是和线性代数不同的)，这种关系结合代数的运算规则，我们可以在线性代数角度下用两个构成维基的固标集（即实数基和虚数基）来表示多项式的运算，实数基为1，虚数基为i，其中ii
=-1，并且规定1i=i1(即基相乘是可交换的)，则复平面上的复数加法与乘法完全与这种规定下的二维线性代数的加法与乘法相同。由此可以知道实数到虚数的扩张不同于整数到有理数和有理数到无理数的扩张，整数到有理数和有理数到无理数的扩张是在同一个数轴上同维度的扩张，复数的扩张实际上是从一维到二维的增加维度的扩张。从线性代数的角度看，两个复数的乘法就是向量的张量积乘法，本来应该结果是四维的结果，但由于有1i=i1和ii=-1两个给定条件的联系，所以它的积的结果还是二维的（既是封闭在二维空间里的）。另外，二维线性代数中的数的表达式ai+bj应该比复数a+bi更一般，因为二维线性代数的表达中没有要求两个坐标基是直角正交的，而复数在一般情况下都默认是两个坐标为直角正交的复平面。在对应复数乘法运算时，i表示向量旋转，但只有在直角坐标的时候才旋转90度。
从拓扑映射的角度来看，二元实变函数是二维到一维的映射或变换（即面到线的映射），而复变函数是二维到二维的变换或映射（即面到面的映射），这是实变函数与复变函数的重要区别，类似的情况还可拓展至多复变函数上去，一般而言，实变函数的值域是一维的，而复变函数的值域是二维的。
一般的线性空间的基按构造要求都是由固标集构成的，而线性空间的乘法可以是封闭的也可以是不封闭的，它与乘法的定义与维度有关，如叉积在三维中封闭而在二维中溢出，而张量积则总是溢出的。但复数依据线性空间的角度来看，其乘法总是封闭的而且是可交换的，从线性代数的角度看复数的乘法包括了实数的乘法，虚数的乘法及实数与虚数的乘法共计三种乘法的结合。虽然复数复平面的实数轴与虚数轴也是由固标集构成的，但与线性代数坐标轴不同的是线性代数的坐标轴是互相完全独立的固标集，而复数平面的实数轴和虚数轴却是存在联系（通过虚数积乘和负实数的开方等运算相联系）的固标集，正是如此，二维的复数平面与二维的线性代数平面还是有区别的。实数集合和虚数集合具有相同的固标集但具有不同积乘运算，而且他们还通过虚数积乘运算和负实数的开方运算相联系，应该说复数是由实数和虚数这两个既互相独立又互相联系的耦合在一起的集合，而不是简单的相加组合成形式上的复合数，即复数
a+ib ，其实把a+ib 称作耦合数并简称为耦数更合适，当然由于历史的原因，我们还是把它叫做复数，但当现在知道它是一种耦合关联在一起的集合，我们也就更准确地理解了复数。
已经阐明，自变量是实数的实变函数的值域是一维的，通常的表达式为Y=f(x1,x2,…xn) ，而自变量含有虚数的复变函数的值域是二维的，通常的表达式为Z=f(z1,z2,…zn)（注意，这里的Y和Z的内在意义是完全不同的）， (R其实也是一个变量)和（R=1）是复变函数，正确表达是和。
其实只要联系到直角三角形的弦边平方和关系式a2+b2=1、虚数运算符i的运算规则、复变函数的值域Z（二维）以及线性代数的维数概念，我们就特别的很容易理解欧拉关系式了。复数的指数式表示x取某个值的复数，表示x取π时的确定复数 -1+0i,当然欧拉恒等式 也就可以清晰的理解了。
5.4 代数方程的实际应用
5.4.1 代数方程复数根的实际案例
看一个实际应用情况（这是方程复数根的首个实际案例），设A，B地块同属一个村，图5-1所示，他们都是正方形的水田，A地块原有面积d×d，B地块原有面积e×e，B地块由于条件限制不可增加，但A地块则可以在每边增加x长度，现在问A地块长度增加x的情况下，该村总共有多少水田地，显然是，
现在由于市场变化，所有的水田地都不要了，既让
显然此一元二次代数方程的x只存在下面的复数解:
图5-1. 地块示意图
从解的情况我们可以理解虚数的实际意义，这里就结论的情况作说明解读。面积在实际中的计算(在实数运算的规则下)，只有正数而没有负数，引入虚数是计算面积负值的有效工具，这里的正值负值与有向面积正向反向概念不同，正向反向的概念是从面积的围合方向或面积正面反面而言的（如外微分中的外积的定义，是正向反向面积的计算规则，实际上他也是积乘不可交换的典型例子），而我们这里说的正值负值是从面积为坐标数轴的正负而言的。结合前面的代数运算规则规定来看，不光虚数是计算面积负值的必须工具，在本例中，x为负值时，A地块面积为零的结果中，其实很深刻的隐含了两个负值相乘而面积为负值的概念。相对于x的这一概念，虚数除了有其相乘为负值的定义之外，虚数还有它是独立于x（实数）之外的变量的含义，并且同时虚数还有它也是联系于x（实数）的相关变量的含义，这个应该是重要的概念。一元二次代数方程的解以复数形式出现实际上就是反映代数方程的问题中包含有既互相独立又互相联系的两个客体内容（本例中体现为A地块和B地块），在数学上这一点与复数是由二维的又独立又关联的代数系统数相吻合一致。前面知道，复数即是H代数系统，也即由实数代数和G代数系统组成（实数代数和G代数系统的固标集是相同的）。
另外本例中的地块不一定非要是正方形，例如长方形也是可以的，只不过这种情况略微复杂一些而已，但本质上是一样的，再进一步，B地块只要有任意形状的面积都可以。
5.4.2 虚数的几何意义概要
，从下面图5-2的图形(不失一般地设a>0)及代数计算分析就完全可以得到虚数及复数的几何意义，由此可见，一般的把虚数和复数理解成乘法转动90度或向量加法的概念是不准确的。为此特别引入情况说明，由分析可知，实线是没有实数解的一元二次方程曲线，虚线是对应实线的顶点对称曲线（ab=a′b′），可以证明，c′b′就是虚数的几何表现，它是完全可以度量的，由此也进一步表明虚数是实在的数，同样，b′d′也是虚数的几何表现，且c′b′和b′d′互为正负虚数。另外，cb和bd也是虚数的几何表现,
也是对应的正负虚数，也可以将它们度量出来。O′X′是原横坐标OX上移2 a′b′的直线，它实际上就是说，对应于y的坐标变换而言，一元二次方程总是有实数解的。如果我们和i代表90度旋转的理解相对应的话，在此时的i则可以看作是翻转180度和平移一段长度。
图5-2. 二次曲线示意图
普通而言，集合是具有相同属性的元素的组合，实数集合是数学中高度抽象出来的纯数值的模型，它已经不含数的量纲属性内容了。但是更一般的说，数学抽象实际上包括数值和量纲以及运算规则，从集合角度讲，同样量纲集合的数的加法运算是集合内的运算（例如同类项合并），而不同量纲集合的元素的加法是不能进行运算的或是溢出集合运算的（如实数与虚数的相加）。对于积乘的量纲而言，结果可能封闭于集合也有可能溢出
(复数的乘法是封闭的，而长度与长度的乘法得到的面积是溢出的，张量积是溢出的)。
数学等号的一个含义是集合内的数值的恒等变换即封闭于集合内的运算，另一个含义是量纲变换即集合的量纲换算。如此推演，代数方程中的每一项都具有相同的“量纲级别”的概念，这是一个隐含的属性，于是方程的系数当然是有量纲级别的，如一元二次方程y=ax2+bx+c 中的每一项都具有相同的量纲级别，即ax2，bx，c的量纲级别相同，而对应的有a是0级，b是一级，c是二级，X2是二级,X是一级。考察公式
我们就知道量纲级别的意义了。
实数在不考虑量纲的情况其对于四则运算来说就是固标集。由量纲属性概念可以知道，基础数论是不考虑量纲属性的加法运算（包括数乘和推广的乘法）的理论体系，但是其中的很多数的关系的证明其实用到了量纲的概念，例如，a2+b2=c2的证明就用到了面积的概念才得以完成。量纲和量纲级别是重要的概念，不同量纲级别的变换是不能相等的，否则就会出问题，也就是说量纲的恒等变换必须是在相同级别的情况下才能够成立。
5.5 谐振微分方程解析
5.5.1 谐振的物理规律与数学描述
物理学中有两个重要的等价的概念，一个是能量守恒，一个是能量转换，如何运用主要依据我们对系统的选择以及解析问题的视角而定。对于一个系统有时应用能量守恒，有时候则应用能量转换，此外在能量转换的过程中，我们需要区分吸收能量和释放能量两种情况的物理上的和数学上的概念（两种情况的概念互相对应的就可以），用数学的表达就分为正能量和负能量的概念（指能量值的正负）。
图5-3. 振子和弹簧系统示意图
的线性组合（注：， 是复数，后同），有了上面的解析，我们就可以很自然地理解通解中出现虚数的原因了，它实际上是能量守恒或能量变换数学表达式的内在的自身要求，由此而不再需要人为的加上负号“—”来参与计算了。在这里我们可以进一步体会到前面所说的如加号减号一样虚数符号i其实是一种运算符号的概念与含义了。
谐振微分方程的通解包含复数，由前面代数方程和复数代数的分析我们知道，谐振微分方程的通解以复数的形式出现，数学上正是反映能量转换是在两个互相独立但又互相联系的物体（系统）之间实现的这一物理实质，它们间的联系表达是复数，实际上就是圆周运动的联系，或者说是直角三角形的弦边关系（勾股定理）的联系。和代数方程的复数解不同，谐振微分方程复数通解的实部和虚部不是完全独立的，实部和虚部其实是由欧拉公式情况联系在一起的（即有关系式a2+b2=1，a和b分别是单位圆上的点，其中，)，从物理角度看的话，其实实部和虚部反映出来是同一个运动规律，即能量守恒或能量转换。一般对于复数中的虚数我们都是从矢量的加法四边形规则以及矢量的乘法旋转90度去理解的，至此我们从代数基础，几何度量和物理意义上去理解了虚数及复数的概念。
5.5.2 虚虚平面及弦边关系
面积及能量出现负值的时候，必须在数学上使用虚数，这由实数及虚数本身运算的性质所决定的。在从前面的负能量值公式中，我们经过一定的坐标变换方法可以得到一般的数学表达式：
由此可见，x，y需用虚数表示，同样-E也可以用虚数表示，即:
为常规方便起见将e换为R，则有：
若此关系用两个正交的虚数轴ix和iy表示在直角虚虚平面上，如图5-4所示，它就可以是所谓的虚虚平面上的直角弦边关系(虚数的勾股定理)，或者说ix,iy,iR的关系（也既是x,y,R的关系）是圆的关系:
图5-4. 虚虚平面示意图
对于OP取iR的情况的三角函数关系式为：
对于OP取R 的情况的三角函数关系式为：
通过这些分析说明，用虚虚平面表达的内容与实实平面有着相似结果，它们都是实在的结果。
5.5.3 二阶常系数齐次线性微分方程解的结论分析应用
由此可以知道，实际上微分方程方程的定解条件就是要具体地确定振动的振幅和初始相位。这里又再次表明，微分方程复数通解的的实部和虚部反映出来是同一个运动规律，即能量守恒或能量转换。
在经过归一化（单位圆变换）处理后，由复数代数知识知道，它们对应的能量转换或能量守恒公式为a2+b2=1 （也即欧拉公式的关系），也可把字母换一下写成C12+C22=1
，这个公式实际上说明两个互相作用的对象的能量关联关系，我们称其为能量关联。它的重要特点是，如果当确切的知道作用对象的初相位，那么某个时刻的两个物体之间的作用位置状态和位置状态的能量值是确定的。但是若不知道初相位，那么我们只能通过上面的数学公式知道两个对象肯定是满足上述能量关联关系的，而这个时候你如果非要确定某个时刻的它们的确切位置状态的话，那就只能猜测（或测定）某个作用对象的一个状态，当然，这时候对应的另一个作用对象的状态也就确定了（之所以能确定是我们知道它们的上述能量关联关系）。上面说的对象间的作用可以是同一空间点处（如弹簧振子）的机械接触作用和同一空间点的电磁之间的转换（如同一点处电磁波的电场和磁场），这种情况下一个对象状态的确定和另一个对象状态的确定在物理时间上是瞬间完成的。当然对象间的作用也可以是有一定距离的电路作用（如LC元件振荡的电量），这种情况下一个对象状态的确定和另一个对象状态的确定在物理上就不是瞬间完成的。如果是非接触的远距离的作用（如电磁波作用的电场或着磁场），这种情况下一个对象状态的确定和另一个对象状态的确定在物理上也不是瞬间完成的，对于这种远距离非接触电磁波作用的情况，它是可以称其为“纠缠”的了（因为量子的本意就是能量子，所以也可借用纠缠这个词把能量关联称之为能量纠缠或量子纠缠）。上面所说的这几种情况，当我们通过测定知道一个对象的状态时，从数学角度的依据来说，我们都是瞬间知道另一个对象的状态，即它们是瞬间确定的。另外，从C12+C22=1
的数学的角度的依据来说，这种“纠缠”还是会一直持续保持的，但客观事实是谐振过程都存在能量损耗（数学上应该有对应实际的
项存在），谐振现象都会停止，能量关联就会消失，这种关联消失的现象我们可以称之为能量关联退相关或能量纠缠退相干，在有能量消耗的情况下能量关联退相关现象是必然要发生的。上述这些是有清晰物理背景及数学关系上的能量关联，理解能量关联及能量关联退相关概念对于正确理解所谓的量子叠加态计算和量子纠缠态通信是有帮助的，同样对于量子计算和量子通信的技术研究与开发应用也应该是极其有帮助的。可以肯定，这里阐述的能量关联及能量关联退相关概念在相关的行业领域会有广阔的应用前景的。
上面讲的是两个对象相互作用的情况，对于多个作用对象互相作用时，虽然他们之间不是两个对象间的谐振关系，但是他们这些对象之间同样的也是成立能量守恒或能量转换关系的，写出来的公式就是，这些对象间的作用可以是相互间的接触作用，也或者是远距离的电磁作用，它们也和两个相互作用对象一样是有清晰物理背景及数学关系上的能量关联。
5.5.5 单缝或双缝的衍射实验
在能量关联中，我们提到要准确的知道某个对象某个时刻的状态，就必须通过观察和测定，对于机械系统来说，测定通过简单的观察就能知道某个对象的状态，这种测定不会影响机械系统的运动状态。但是对于电路或电磁场尤其是电磁场来说，我们无法通过简单观察得到系统的运动状态而必须借助于相关的仪器设备，特别注意的是这种仪器设备的介入在得到某个对象的运动状态的同时还会改变原来的电磁场环境状态，更重要的是，根据能量辐射方程理论我们知道，微观粒子本身是要辐射和吸收电磁波的，也就是说微观粒子本身就是一个电磁场场源，在微观粒子的周围是存在由它自身发射和吸收的电磁场环境的，在测量（观测）一个电磁对象的同时又要维持原来的电磁环境状态是不可能的事情。
一直以来，单缝或双缝的衍射实验出现了很多量子力学无法解释的诡异现象，这些实验现象一直困扰着人们而难以找到合理的解释。现在我们了解了辐射能量方程理论和能量关联的知识以后，我们就可以很容易地解释各种情况的粒子（如电子）的单缝或双缝的衍射实验，即出现测定前后不同现象的原因其实就是仪器设备介入的同时改变了原来的电磁场环境状态，类似的其他情况都可以做出类同的解释。比如说单电子双缝电子衍射在有设备观察和无设备观察时的现象是不同的，所以出现两种不同现象。
我们也可以控制单个光子，用一个一个的单个光子来做类似于单个电子衍射的单个光子单、双缝衍射实验，此实验的结果也有类似于单个电子的单、双缝衍射实验结果，即单个显示随机性，总体显示规律性，以及仪器设备测量对实验结果具有同样的影响。
虽然光子和粒子的衍射实验图像有相同之处，但光子和粒子还是具有不同性质的，根据辐射能量方程理论和时空确定性原理，本质的区别与联系就是光子是扩散的电磁波，而粒子是聚集的电磁波。数学与哲学上的物质上无限可分的，但由辐射能量方程理论知道，物质微粒是聚集的电磁波，物质微粒分到最后就变成扩散的电磁波扩散开来，因此物质在物理上分到最后不是无限可分的而是无质可分的，也就是说物质分到最后是没有东西可以分的。
5.6 量子力学问题再解读
理解了辐射能量方程理论以及复数微分方程的相关知识以后，我们就能够了解现行量子力学的理论体系结构，而且也会知道现行量子力学所存在的问题，下面我们就对现行量子力学的一些的内容进行解读分析。
5.6.1 纠缠现象与时间延迟实验解读
众所周知，相对论和量子力学的理论是互不协调的，相关问题的物理结论在理论上也是不同的，我们可以通过下面的实证实验就可以来验证它们的冲突。
将一对处于纠缠状态的a，b粒子分别至于甲地和乙地（不管静止或运动），现在，在对甲地a粒子进行测量观测的同时也发射电磁波到乙地，利用电磁波到达乙地的时间来判定乙地的b粒子量子态的变化时刻，显然b的变化时刻与a的变化时刻要么同时要么延时，现在我们可以确定的是，不论是同时还是延时实验都有意义。如果是同时，则时间是具有绝对性的。如果是延时的，则量子纠缠现象可能存在但肯定不存在瞬间作用现象。
在了解了辐射能量方程理论和时空确定性原理以后，我们知道时间是具有绝对性的，知道纠缠现象可能存在但肯定不存在瞬间作用现象，这里的这个实验主要是为验证相对论和量子力学的理论的冲突性而设计的。
5.6.2 关于量子力学问题的解读
前面知道，共轭复数的概念是按需求确定的，如果我们用另一种共轭方法（负共轭）就能产生负值而不是正值。现行量子力学解释物质波为概率波是存在疑问的，那么我们不能认为波函数一定必须用现在的共轭方法（正共轭）来产生正值和概率一致以符合量子力学波函数解释的概率观点，也就是说采用正共轭的依据是有问题的。另外，量子力学的态叠加原理也是升维的数学处理方式(若是两个态的叠加，则其维数就是4维，若是n个态叠加，则其维数就是4n维)，这个从实变函数直接推广到复数的叠加在物理上的依据显然也有待论证，这种数学上为满足概率概念的升维处理方式也是值得讨论的。
还有，现在的量子力学对于量子纠缠现象也是存在认识上的问题的。量子纠缠态是两个粒子体系的量子态的一种特殊的表现，它是以量子力学为依据经过数学推导得出的结果，其结果和前面所说的能量关联具有类似的数学关系式，根据这样的数学关系，量子纠缠态的远程表现应该是瞬间完成而且是连续保持的。如果清楚了前面的能量关联，我们就知道这种以数学关系为基础依据的量子力学结论是存在认识问题的，它们在客观实际的表现总是与理论有差距，所以非定域性的量子力学的解释是有问题的，爱因斯坦对非定域性的哲学上的否定是有道理的。类似的问题还有不少，说明我们有必要对以波函数为基础的量子力学进行重新的认识，从而使我们能够更好地认识微观世界并更好地改变和完善量子理论。
物理是客观自然的规律，数学是主观意识的规则，主观如何正确反映客观自然是我们要解决的重要问题而不能以自己的主观意识支配客观世界，这应该是进行科学研究的基本原则。
客观物理事实是单个自由粒子本身是集中不会发散的，为解释粒子衍射现象的空间分布，用平面波来描述单个自由粒子的多次运动或多个粒子运动的波动是可以理解的（因为单个粒子不可能形成由粒子构成的粒子平面波，这样的描述显然具有统计性质）。我们知道粒子的频率与粒子的能量有关，粒子的波长与粒子的运动动量有关，也就是说平面波应该是具有相同频率相同波长的单个粒子的多次运动或具有相同频率相同波长多个粒子运动的波动空间分布的数学描述。由于平面波的公式只含有一个粒子的信息（动量和能量等），因此我们也就认为平面波是单个粒子运动的描述。
然后，把平面波写出复数形式而转换成为波函数（由前面复数及微分方程的结果知道，这种转换针对后面的自由粒子微分方程而言是把直线运动变换为存在有对应关系的旋转运动，应该说这时的波函数没有直接描述直线运动的状态），此时的波函数也只含有一个粒子的信息（动量和能量等），所以波函数也认为是单个自由粒子的数学描述。因为波函数与平面波存在着相关的对应关系，波函数与平面波一样也是无法确切描述单个粒子一次运动的结果，因此主流的现行量子力学就采用了概率解释。这种概率解释在数学上是可以理解的，但我们不能认为粒子的物理运动状态就是由这个概率规则决定的，就像宏观颗粒在多次重复运动的情况下是符合高斯概率密度分布的，但我们不会认为宏观颗粒的运动状态就由高斯概率密度分布决定。概率分布是现象，牛顿力学才是本质。因为微观粒子的概率解释不是完备的物理解释，我们若把波函数与它的共轭复数的乘积解释为物理学的能量在空间的分布更为合理。粒子多的地方能量多，粒子少的地方能量少，波动分布的总能量等于所有相同频率的粒子的总能量，即能量满足归一化。
有了这样的能量分布的解释，数学上的概率解释也就有了一个物理概念的合理对应。因此，我们不妨也可以把波函数叫做能量幅波函数，波函数与它的共轭复数的乘积即为物理学的能量值，这样波函数就有了更加明确的物理含义，这时原来波函数的概率密度分布就变成是有清晰物理意义的能量密度分布的概念。当然，这也还仅仅是物理现象的合乎实际的描述，还不宜把波函数当作是微观粒子的本质运动物理规律来看待。
波函数有了这样的能量概念以后，不同频率和波长的自由粒子的能量叠加（当然现行量子力学是认为单个自由粒子就可以同时具有这些不同的状态）的公式为 ，能量叠加的意义解释是，叠加反映的是许多不同频率不同波长的粒子在空间的能量分布，如果这些所有的粒子的能量相加为总能量， Cn反映的是在某个相同频率相同波长的众多自由粒子能量所占的能量比例，
即Cn对应的是能量比值，它是一个能量因子(从数学角度看能量比值具有概率的概念，但从物理角度却不能以概率概念来解释)。不论如何，既然量子力学现行的理论是在统计意义上反映粒子的行为，依据这个理论也就可以得到一些合理的结果。
在实验中我们对粒子进行一次动量测量的时候，我们得到一个动量本征值，但是我们再对粒子另一次测量的时候，也可能得到其他的动量本征值。量子力学的一般解释是粒子不一定刚好处于动量的本征态，这个粒子的态可以表示为动量本征态的叠加，当我们用仪器对粒子进行测量的时候，相当于是对粒子进行了一个作用，因为仪器对粒子的影响，使得粒子由原来的态塌缩到了这个动量本征态。波函数塌缩对实验现象的解释是缺乏客观物理真实性的，包含有瞬间完成含义的态塌缩不是合理的解释。依据辐射能量方程理论，粒子测量实验现象出现的原因是十分清楚的，单个具有某个确定频率和波长的自由粒子运动的动量平均值是确定的（此时的动量平均值与本征动量值还是有区别的），以确定速度运动的单个自由粒子不会有几个不同的频率和波长，自由粒子在可视可测状态下是聚集在一起的物质实体，叠加原理是不适用的，或者说单个自由粒子是不会有几个动量（速度）同时存在的。单个自由粒子由于其自身辐射能量波动的原因其瞬时动量值在平均值附近波动，因此虽然每次测量得到的是不同的值，但多次测量结果的则是有确定的平均值。而对于具有不同频率不同波长的多个自由粒子而言，每个自由粒子的动量平均值不是一样的，这时的测量就会有多个不同的确定的动量平均值。明白了这样的解读以后，自然知道所谓波函数塌缩概念的出现就是由于现在的量子力学理论把波函数的波场状态下的态叠加原理看作是描写宏观可测或可视状态的单个自由粒子的数学表达造成的。当然，如果我们已经认识到我们是在对众多不同的自由粒子进行测量，即使我们得到不同的测量动量值（或动量本征值），也不会认为这时出现了所谓的态塌缩问题。我们要说明的是，依据辐射能量方程理论，宏观可测或可视状态的粒子直线运动的描述还是必须依据经典力学理论（注意的是自由粒子会伴有来自本身的电磁作用而出现波动情况），如果自由粒子转换为波场的时候（如处在原子内电子），波函数才描述了单个自由粒子的波场能量分布状态（因为这时的电子实际上已经是电磁波场了，波场的态叠加原理当然也就是适用的）。如此明白了粒子测量实验现象的原因后，薛定谔的猫也自然得救了，就是说一只猫在箱子里不是又死又活的叠加，它是死的，打开是死的，它是活的，打开也是活的，说明薛定谔不赞同粒子波函数和粒子叠加态的概率解释的直觉是对的。
5.6.5 薛定谔方程问题解读
量子力学的核心方程是薛定谔方程，正是基于薛定谔方程的建立敲开了微观世界大门,颠覆了整个物理世界。薛定谔方程是将自由粒子微分方程的能量算符和动量算符直接推广到力场中的粒子所得到的方程，它不是从数学上推导出来的，因此把它看作是量子力学中的一个基本假设，它的正确性是由在各种具体情况下从方程得出的结论和实验结果相比较来验证的。其实，薛定谔方程在实际应用中的最多情况是定态薛定谔方程，若再进行仔细的分析还可以发现，定态薛定谔方程更加具体的应用方程又是哈米尔顿本征值方程，所得出的结论与实验结果符合的很好也应该说是依据哈密顿本征值方程得到的(虽然数值上是符合的很好，但它的物理意义却不够正确)。即使如此，薛定谔方程还是存在诸多没有解决的问题，了解和解决这些问题会有助于我们更加深刻的认识量子世界。
在力场中的作用下的粒子（其实是自由粒子）的薛定谔方程从自由粒子推广是可以理解的，但是，薛定谔方程的根本问题是没有区分自由粒子波函数与体系粒子（如果把整个体系也看作一个粒子）波函数的区别，也没有考虑自由粒子动能与波函数关系的成立的条件，并且方程所对应的体系能量从原来的守恒变成不守恒，或者说薛定谔方程是存在基本原则问题的。
5.6.6 归合方程（GH方程）的建立
应用辐射能量方程理论知道，虽然现有量子力学并没有深刻描述自由粒子产生波动的物理本质，但现有量子力学作为对自由粒子表象统计描述的理论还是能对微观粒子的许多现象进行一些客观的解释。尽管现有量子力学取得了一些很好的成就，然而正如我们上面分析的那样，作为量子力学基本假设的薛定谔方程却在数学或物理关系上存在基本的问题，因此有必要重新审视薛定谔方程并且仍然在现有量子力学的基础上和体系内重新推导归结一个更加合理的方程，以便现有量子力学的基础和体系更加完善。
在现有量子力学当中，平面波是自由粒子做直线运动的统计意义的描述，这时的动量是把能量折算成以速度做直线运动时的动能所对应的动量。波函数是由平面波转换成的复数形式，对于数学形式的表达而言，相当于把平面直线运动转换成了旋转形式的运动形式（波函数对时间求导的结果是转速），旋转运动形式的转速越快，自由粒子的能量越大，波函数这样的转动表达应该说是对自由粒子的更合适的描述。
应用辐射能量方程理论和对现行量子力学的上述解读，我们把自由粒子的波函数
5.6.7 归合方程（GH方程）的应用
GH方程看起来相当复杂而难以应用，但在具体的特别情况下，GH方程完全是可以在实际中加以应用的。我们同样也还是考虑GH方程的定态情况（V不随时间变化的情况），设Ψ可以分离变量：
后面这个式子又可以写成:
可以肯定的是，GH方程的解答内容更加的丰富, 将会把自由粒子与力场的关系表达和阐述的更加清晰明确(例如，根据GH方程的解读，当大于时，粒子将不受力场的束缚而运动)。限于时间篇幅与工作环境等因素影响，在此就不加讨论了。
5.6.8 归合方程（GH方程）的解读
我们以电子为例可以对GH方程的波函数的物理背景进行通俗解读。电子又是粒子又是波,
它是最为典型的实体物质与电磁波场互相转化的实际案例，当电子在原子核内呈现电磁场态时，就在原子核内的空间里分布散开，处于势场中的波函数ψ就是电子的能量值实际分布的描述（不是粒子的随机出现的概率分布），而且叠加原理也成立。当电子逸出脱离原子核外呈现实体粒子状态时，我们推测它就会收卷成为一个旋转的环盘状（或球状）的实体（同时伴随有电磁能量的吸收或放射），自由粒子的波函数ψ也就是电子在自由空间中的旋转描述，对于这时的实体粒子而言叠加原理也不再适用。
薛定谔方程从整体上是存在问题的方程，但对于定态薛定谔方程是恰巧应用存在类同合适的本征值方程进行求解（比较一下其本征值方程的形式可以看出，根据本征值方程的解答是与GH本征值方程的解答具有类同的地方），所以依据定态薛定谔本征值方程得出的解会与实际情况有较好的符合。正是存在这种本征值方程得出的解能与实际符合很好的情况，虽然对薛定谔方程存有一些疑问，但人们还是对整体存在问题的薛定谔方程采取了接纳的态度。
5.6.9 迈克尔逊莫雷实验数学解读
在前面内容中，我们由时空确定性原理计算了迈克尔逊-莫雷实验光路时间并得出迈克尔逊-莫雷实验没有干涉条纹移动现象的重要结果。在此，我们把计算迈克尔逊莫雷实验的要点再作简单的解读。
迈克尔逊-莫雷实验在垂直臂上的直角三角形光路时间计算简图如图5-5所示，
图5-5. 光路时间计算示意图
同理等腰三角形光路底边的一半为
由此可见实验没有干涉条纹移动现象,
依据时空确定性原理的这样的计算结果也证明水平臂上没有长度收缩（洛伦兹收缩或同时的相对性长度收缩），它也说明了时空确定性原理是对物理时空绝对性进行正确认识的基本理论原理。没有干涉条纹移动现象的重要结果很有意义，说明相对论是有问题的，因此量子力学及所有其他的物理理论需要考虑的是物质实体运动的相对性但不能够考虑相对论的内容(相对性与相对论是不同的概念)，否则就是有问题的。
5.6.10 粒子真实运动状态与德布罗意公式解读
德布罗意大学学习的专业是历史并获得文学学士学位后来才转而学习物理，但他发现的德布罗意公式却开启了量子力学时代（虽然实验证实了波动现象和德布罗意公式的正确性，但德布罗意的波动公式却一直没有能够找到在理论上的推导依据）。
辐射能量方程理论认为粒子本身是电磁波的发射与吸收源，一个运动的粒子就是一个运动着的发射与吸收源，因此辐射能量方程理论就可以很好地解释电子衍射所产生的图案形状的内在的本质原因，也就是说辐射能量方程是很好描述单个粒子运动波动性的物理本质规律。在前面内容中，我们由量子能量辐射方程已经给出了普朗克常数的公式、不确定关系公式等若干重要结果，在此我们再写出前面不确定关系公式的具体推导过程，以此进一步明确阐明我们在理论上可以依据量子能量辐射方程推导得到德布罗意公式。
至此我们相信，辐射能量方程理论和时空确定性原理的物理基础成果以及复数及微分方程的代数、几何与物理意义等的数学基础成果对所有相关的物理及数学问题的解决有着重要和关键的理论作用，对于解决科技开发与应用问题也有着重要的实践指导意义。
科学理论的成果总是在艰辛的探索和研究中发展起来的，这些探索和研究就是人们不断进步的阶梯，有的这些阶梯我们就有可能登上科学的高峰。登高望远，凭着经验和智慧的直觉以及坚定和诚真的信仰，我们相信，成功属于不断探索和专心研究的人们，不断探索和专心研究的人们还将会取得新的成功。
