反常积分的比较判别法极限形式，p应该何时取1？何时大于1呢？如图，错在哪里呢

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-23 06:22 标签： 极限第二判别法

在数学分析中，函数扮演着极其重要的角色，判断起主要作用的函数，能够快速求取函数极限，从而正确判断反常积分的敛散性。

一、反常积分的本质是什么？

二、判断反常积分敛散性的解题基础

1.非负函数反常积分的收敛判别法（Cauchy判别法） 

2.一般函数反常积分的收敛判别法（A-D判别法）

小R最近学习到了“反常积分的收敛判别法”，即以p-积分为依托，找到被积函数与p-积分的关系，从而判断反常积分的敛散性，省去了求取原函数的麻烦，其中有一道题令小R印象深刻：

讨论（非负函数反常积分）的敛散性.

 引发了小R对这一类问题的思考,即函数世界的“弱肉强食”问题（不同类型函数相遇，起主要作用函数的判断问题），大家熟悉的“指数爆炸”就是我们之后讨论问题的基础之一。

定义：区别于Riemann积分，考虑积分区间无限或被积函数无界的积分问题，这样的积分称为反常积分（或广义积分）。

在实际做题当中，我们将抽象概念具象化，那么就有：反常积分=积分+极限，这就是小R所说的反常积分的本质~

1.非负函数反常积分的收敛判别法（Cauchy判别法） 

在实际做题过程中，Cauchy判别法的极限形式 在构造有效p-积分，也就是被积函数的比较对象时，形式更加简洁，因而相较Cauchy判别法更加常用。下面我们给出Cauchy判别法的极限形式：

2.一般函数反常积分的收敛判别法（A-D判别法）

（针对于无穷区间）若下列两个条件之一满足，则  收敛：

（针对于无界函数）若下列两个条件之一满足，则  收敛：

事实上，在实际应用中，Dirichlet判别法更加常用。（为了方便记忆，口诀奉上：半积有界半单调，单函极限等于零）

两类判别法的证明依托于Cauchy收敛原理和积分第二中值定理，证明过程不再进行详细说明，有感兴趣的小伙伴可以私聊小R~

这里，我们只对被积函数中含的反常积分进行敛散性的判别，得出这一类反常积分敛散性判别的一般解题思路：

解  这是个定号的反常积分，是它惟一的奇点.（断类型，定方法）

     （完整的解题步骤应包括：分析题干，选择方法，下定结论）

      稍作补充，需要注意的是，当时，由于,因此是正常积分.做题时，应注意区别这类情形.

 解释一下（*）的步骤

  事实上，求取某点处极限的本质就是将该点转化为函数的可带点，在上述极限求取的过程中，0点处我们忽视了lnx，1点处我们将lnx等价为x-1；

  而在0处的操作，就是笔者在文章开头提到的判断起主要作用的函数，这里对数函数较幂函数而言可以忽略（对数函数进行有限次求导，可以转化为幂函数的形式），故我们只需判断相应函数的幂函数部分在0处的极限情况，而这是极其简单的。

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