常数项无穷级数的敛散性判断是个难点，不少同学在做这类题目时思路不清晰。本文试图帮助大家理清思路，相信大家看完本文后，对常数项无穷级数的敛散性判断能够手到擒来。

从是否有具体的数列一般项来说，常数项级数可分为抽象的常数项级数和具体的常数项级数。对于抽象类的常数项级数，敛散性判断很简单，一般用级数收敛的五个性质和举例法就能判断。本文将以具体的常数项级数为例进行说明。

对常数项级数进行敛散性判断时，第一步要做的是判断级数是正项级数，还是交错级数，亦或是一般级数。对于不同类型的级数，敛散性判断的思路有细微的差别。

图1是正项级数敛散性判断思路图。

图1.正项级数敛散性判断思路图

对于图1，从上往下看。判断正项级数敛散性，首先应该考虑的是能否根据级数收敛的基本性质直接判断出级数是否收敛，如果是，那级数收敛；如果不能，那就需要其他方法来判断。

当利用级数收敛基本性质判断收敛失效后，此时应当根据n的形式来选择审敛方法。如果数列一般项是等差、等比数列、等比差数列，那么毫无疑问直接用级数收敛的定义来判断，当然最后可能会用到级数收敛的基本性质进行辅助判断。

如果包含n的阶乘，比值审敛法常需用到；如果包含n次幂及以上，一般考虑根值审敛法；如果既包含n的阶乘，又包含n次幂即以上，一般采用比值审敛法。

不过如果一个正项级数敛散性判断题目有一定难度的话，那通常都需要运用比较审敛法来进行判断。比较审敛法的关键是要找到一个恰当的收敛或发散级数，其中常用到的是p级数。那么如何确定p级数的幂呢？通常采用两种方法：一是利用泰勒公式寻找；二是数列化函数，利用求导方式寻找。

在绿色框中，标的1、2、3、4是方法顺序。也就是说，从易到难的考虑审敛方法，通常来说，审敛方法1和2基本一眼就能够判断出来是否采纳，审敛方法3和4则需要通过一定的计算才能确定。

通过四种审敛方法后，一般都能确定级数是否收敛。如果你仍然不能确定，那么问题很可能在于比较审敛法你并没有运用好。

图2是交错级数敛散性判断思路图。

图2.交错级数敛散性判断思路图

同正项级数敛散性判断不同的是，对交错级数进行敛散性判断时，首先要考虑是否绝对收敛，如果不是绝对收敛。此时优先考虑交错级数的专属方法——莱布尼茨判别法，当莱布尼茨判别法无法确定收敛时，就只能采用级数收敛的定义判断敛散性了。注意，对交错级数采用莱布尼茨判别法和级数收敛定义得到的级数收敛是条件收敛。

图3是一般级数敛散性判断思路图。

图3.一般级数敛散性判断思路图

一般级数的敛散性判断，同交错级数的敛散性判断大体相同，唯一的区别是，若一般级数不是绝对收敛，那么只能用级数收敛的定义来证明其敛散性了！

大家可以仔细看看正项级数、交错级数、一般级数敛散性判断思路图。当然本文的目的不是为了禁锢大家的思维，而是作为指引参考。

必须指出的是，常数项敛散性判断，大概率会结合其它知识来出题，这就要求大家要有坚实的基本功才有立于不败之地的资本。不妨判断下列级数的敛散性吧！