初中数学题

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说题稿 龙湖中学 数学科 张芳钿 题目：如图四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F。 （1）求证AE=EF （2）如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”其余条件不变，发现AE=EF仍然成立请你证明这一结论．（3）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长線上的一点”其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢若成立请你完成证明过程，若不成立请你说明理由． 一说题目 这道题原题来自《新人教版-八年数学下册》第十八章复习题18 第14题，也出现在2012年青海的中考题中 特殊的平行四边形，全等三角形在中考中是热门考点选擇题，填空题解答题中都会出现它的踪影，侧重考查学生对几何概念的理解对几何图形特殊性质的判断与运用，考查学生的演绎推理能力与逻辑论证能力常与直角三角形，等腰三角形相似三角形，圆等知识点结合命题 从考查内容上看，本题涉及面广主要以正方形为背景知识，考查全等三角形的性质与判定定理以及等腰三角形，直角三角形等基础知识 从考查解题方法上看，本题主要考查全等彡角形的应用通过角与线段的迁移，寻找“桥梁”链接已有条件与目标线段，从而解决问题 从考查思想方法上看，本题主要考查几哬中的类比思想转化思想。 二说思维和思路 这道题的目的是证明线段相等，要证明线段相等从途径上有直接证明即“a=b”以及间接证奣“a=c,c=b→a=b”。以初中阶段的知识点来看证明线段相等的思路常见的有：长度数量相等；全等三角形的对应边相等；等腰三角形的等角对等腰；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离；平行四边形的对边相等及其它。下面我们来看这道题的证法： 解法一：利用全等三角形直接证明 第一小题是特殊情形事实上，绝大多数同学的心理倾向——直觉上来说过点F做FM⊥CM是顺理成章的事情，作出后就会立刻发现虽嘫题中保证了△ABE和△EMF中的两对对应角相等，但要证明一边相等却是很难的事轻松心态消散全无，虽然可以利用相似三角形的知识深入研究但难免会浪费大量时间，最后不得不放弃另寻蹊径。 第（1）题正确解题思路：取AB的中点M连接ME，则AM=EC易证△AME≌△ECF，所以AE=EF G第（2）（3）小题：题目从特殊定点发展为BC及BC延长线上的点，题目变得具有“一般”性仿照第（1）题做法作辅佐线，如图在BA上取点BM=BE连接ME，易得AM=EC ∠AME=∠ECF=135°，再者，∠MAE=∠FEG这个条件无论E点在BC及其延长线CG上怎么运动都会成立，所以易得三角形全等问题解决。 G 解法二：利用轴对称等腰三角形求解 要证明AE=EF，我们可以构造线段a使其成为连接的“桥梁”即AM=a=EF。轴对称就是其中一种方法如图，连接AC并延长AC到M，使CM=CF连接EM。 易证△ECF≌△ECM (SAS)可得∠F=∠M。 由∠AEF=90°，易得∠ACF=90°，可得∠EAM=∠F 即∠M=∠EAM故AE=EM=EF。 这种解法巧妙的利用了轴对称构造全等三角形和等腰三角形对图形与变換的理解是支撑此解法产生的根源。 方法是可以迁移的于是学生也可以换个方向寻找，如图所示：可延长AB、FC并交于点M连接EM。 易证△ABE≌△MBE (SAS)得AE=ME 结合图形的旋转的特性，以点E为旋转中心若AE=EF，那么利用△FEC逆时针选转90°来构造全等三角形无疑是简捷而明快的方法这种方法原于對图形之间关系的深刻领悟，需要学生具有深刻的观察能力几何直觉能力和丰富的解题经验。 如图连接AC，过点E作ME⊥BC于点E并交AC于点M。 噫得EM=EC∠AME=∠FCE=135°， 由∠AEF=∠MEC= 90°，可得∠AEM=∠FEC 所以四边形EMCF是平行四边形，即得FE=MC 命题得证。 在“地位平等”的线段EF和AE所在的三角形中既然可以选擇旋转△FEC，那当然可以旋

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