由单个资产组成的组合的资产收益率的标准差差的问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-01 03:18 标签： 资产收益率的标准差

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【知识点】投资组合理论含义

投资组合理论：若干种证券组成的投资组合，其收益是这些证券收益以投资比重为权数的加权平均数(收益不变)，但是其风险(标准差)不是这些证券风险(标准差)的加权平均数，投资组合能降低风险。

投资组合降低风险的标志：投资组合风险<加权平均风险。

例如，某投资组合由10种股票组成。这10种股票的预期收益率相同，均为10%;风险(标准差)相同，均为5%。

显然，无论如何安排10种股票的投资比重，组合的预期收益率始终是组合内各资产预期收益率的加权平均，由于权数之和为1，因此组合的预期收益率始终是10%不变。

但由于组合的标准差通常小于组合内各资产标准差的加权平均值(5%)，因此组合能够在不改变收益的前提下降低风险。

最近研究了下最优风险资产组合这个题目。本小白在金融领域是个纯粹的初学者，开始的时候，有点不知所措。

后来在网上找了下计算最优风险资产组合、有效边界、资本市场线的资料以及程序实现。发现资料虽然不少，但是系统的讲解还是不多。也有系统讲解的书，但是感觉并不是很通俗，需要预先打好基础。

所以，经过了一段时间的学习，归纳了参考书的内容，觉得很有必要做下总结笔记，温故而知新。

本文为学习笔记，肯定会有错误或者主观臆想之处，请多多包涵。。。
尽管如此，还是切入正题吧。

大概的思路是：首先获取10支股票数据，然后根据Markowitz均值-方差投资组合理论，分析10支股票的收益率和波动率，生成大量随机风险组合，从中可以发现夏普率较高的随机组合。然后通过这些随机组合，计算有效边界。最后，引入无风险资产，根据有效边界，画出资本市场线。资本市场线与有效边界相切的点即为最优风险资产组合所在的点。该点的组合权重分配、组合收益率和波动率即为我们希望获得的结果。因为波动率代表风险，所以最优风险资产组合是研究收益率和波动率的。

可以将此收盘价表保存成Excel格式文件，则每次只需读此本地文件，而不必每次依靠tushare下载数据。

将个股价格与其初始值比较并且用100标准化，得出个股在相同初始条件的情况下的走势情况。

现在需要计算个股的收益率。金融计算收益率的时候大部分用对数收益率 (Log Return) 而不是用算数收益率。用当天的收盘价与前一天相比较。 

#计算对数收益率。金融计算收益率的时候大部分用对数收益率 (Log Return) 而不是用算数收益率

画出每只股票收益率的直方图，了解一下分布情况。

可以看到每支股票的分布形状很类似正态分布，但是正态性不强。

尽管如此，Markowitz均值-方差投资组合理论需要假设正态分布收益率。而投资组合的风险取决于投资各组合中资产收益率的相关性。这样，年化收益率和协方差矩阵就是我们需要计算的。 

#使用对数收益率为收益率

根据理论，风险需要分散，每个股票都会有一定比例的投资权重。
一个资产组合的收益率（均值），为组合中个股收益率（均值）的权重之和。
比如对于三个资产（股票）的组合均值收益率情况：

而三个资产（股票）的组合的方差（波动情况）则为：

对于有多个资产的资产组合的均值和方差可以描述为：

我们使用随机数来随机模拟权重分配。即随机模拟权重分配给10个股票。 

#我们一共有10支股票
#将10个随机数归一化，每一份就是权重，权重之和为1

假设有5000组投资组合，每一组投资组合由一组随机权重组成，则可以这样产生5000组投资组合：

得到5000个组合收益率和波动率

将5000个组合收益率和波动率用散点图描述，并且计算每个夏普率
哪个点的夏普率越高，证明哪个组合的权重分配越优，虽然还没有找到最优的。

5000个组合收益率、波动率和夏普率散点图

每个点对应某个投资组合，该点有其对应的收益率和波动率（标准差），其颜色为对应的夏普率。可见，越往左上方，夏普率越高。

我们现在再描述一下某个投资组合。这个投资组合是这样的一个函数，即输入权重分配，输出该组合的收益率、波动率和夏普率。函数定义如下：

#根据权重，计算资产组合收益率/波动率/夏普率。 #权重为股票组合中不同股票的权重 # 夏普率，为组合收益率除以波动率，此处不涉及无风险收益率资产

假设某投资组合的那个点的夏普率最高，即可认为该组合是夏普率最优的投资组合。夏普率最优的那个点不一定是刚才5000个点里面的其中一个，而是需要通过优化算法，找到一个恰当的权重分配输入，导致输出的夏普率最大。

则我们的最大化夏普率问题可以转变为最小化负的夏普率问题。定义输入权重分配，返回负夏普率的函数为：

结果opts['x']即为最大夏普率的投资组合的权重分配。精确到小数点后三位opts['x'].round(3)，结果为：

statistics(opts['x']).round(3)可以获得最大夏普率的投资组合的收益率、波动率和夏普率。结果为：

我们的结论为：假定最大夏普率的风险投资组合是最优风险风险投资组合。由我们10支股票组成的例子可以知道。19.9%的权重买000651格力电器，15.2%的权重买600036招商银行，53.3%的权重买600519贵州茅台，9.7%的权重买601318中国平安。这样的组合，根据以往数据，可以分析得出组合年化收益率为61%，波动率为36.9%，夏普率为1.656。

依葫芦画瓢，如果我们想知道最小方差的投资组合，则可以定义这样的函数：

现在我们可以研究有效边界。有效边界实际上就是，有效边界上的每一个点即为给定收益率情况下拥有最小波动率的投资组合的点。所以计算有效边界上的点，可以描述成，已知该点的收益率，求权重组合，使得该点波动率最小。

输入权重，输出波动率的函数为：

给定收益率为，从0.35到0.65之间30等份的值。制造一个线性空间给我们的收益率数组，预设好我们的目标收益率:

目标波动率是我们需要求解的

针对每个target_returns中的收益率，使得目标波动率最小。
此处的约束多了一个，即目标收益率已经给定，也就是target_returns空间中的值。

#红星为夏普率最大值的资产组合 #黄星为最小方差的资产组合

30个叉叉点为有效边界。红星为夏普率最大值的资产组合。黄星为最小波动率的资产组合。

资本市场线穿过无风险资产收益率的点和有效边界相切。对于有效边界而言，上半部分才是有意义的。或者说，上半部分才是有效边界，下半部分是无效边界。这需要找到最小波动率的值，这个点是一个拐点。

通过下标，可以提取边界上半部分的点的集合

此时，我们对有效边界上半部分的点的集合进行插值

#tck参数用于构造有效边界函数f(x) #有效边界函数 (样条函数逼近). 
#同时也构造有效边界函数f(x)的一阶导数函数df(x)
 #有效边界函数f(x)的一阶导数函数

输入a,b,x初始值，返回a,b,x的求解值

X波动率为0.37，基本上约等于夏普率最大值的资产组合处的波动率值（红星处）

#设定资本市场线CML的x范围从0到0.6 #标出资本市场线与有效边界的切点，红星处

绿色线条插值函数为有效边界。红星处为最优风险组合。直线为资本市场线。红星处的点和之前的结论一样，所以红星处的风险投资权重分配也一样。

最后研究一下置信空间。这部分我不确定做得对不对，还需请教。。。

以最优风险资产权重分配作为投资组合的股票权重分配，从开始到3年期末。投资组合每天的收益率为actual_opt_portfolio_returns：

针对投资组合过往3年中的每一天，都观察当天之前的7日年化收益率。则可以计算出每天考量的7日年化收益率（单利情况）


  

    结论是置信度为0.99时，7日年化收益率均值置信区间为 （0.34，0.85）
  



                            

                                                    

                                

  

    参考解析：组合收益率是加权平均收益率。当投资A的比重为100%时，可以取得最高组合收益率15%；当投资B的比重为100%时，可以取得最低组合收益率10%。由于组合标准差还会受相关系数影响，相关系数为1时，组合标准差是加权平均标准离差，当资金100%投资A，此时风险最大。当相关系数小于1时，组合标准差小于加权平均标准差，当相关系数为-1时，可以充分抵消风险，甚至可以为0，所以选项D不正确。
  



                            

                                                

                    

                

            

            


            

                
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