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看看神通广大的胡同大妈能不能找回吧(>▽&)
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& 西祠胡同 版权所有7630 条评论分享收藏感谢收起fmn.rrimg.com/fmn049/205/b_large_WETw_d5c42.jpg水谷的奇着黑方：岩崎健造 五段白方：水谷缝治 六段白中盘胜1883-03如果赞多再来补充赞同 132 条评论分享收藏感谢收起&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9e27e3ba11e452a2b6052bfde1efe70a_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9e27e3ba11e452a2b6052bfde1efe70a_r.jpg&&&/figure&&p&七路围棋在小棋盘围棋中相当受瞩目。虽然它超出了现有计算机的穷举能力，但人类专家尚能以围棋知识排除大部分无效的变化，从而以手工研究得到正解。&/p&&p&1977年，部分日本业余棋手开始组织研究七路棋盘的最优解。1989年，在日本职业棋手工藤纪夫、中山典之的协助下，他们最终得到了黑胜9目（日本规则）的结论。他们的研究发布在《棋道》杂志上。由于《棋道》杂志已于1999年停办，原文难以查证。好在美国围棋协会电子月刊在1995年转载并翻译了日本人的部分研究成果，笔者摘录部分如下：&/p&&p&在7x7的棋盘上，最优解的前三手是唯一的，如下图：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3dd3d0fdc8cb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3dd3d0fdc8cb_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&接下来的第四手，白A断和B位扳均可引向黑棋盘面9目的最优结果。我们先看白A断的变化：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8b975ed74e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-8b975ed74e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&其中，黑13双、白14立都是官子手筋，不可走错。至此黑盘面9目。&/p&&p&然后是相对复杂的B位扳。黑棋退是唯一正解，以下又交给白棋A位尖虎和B位连扳两个选项，见下图。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c6dd82c29bf62cab7d03e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c6dd82c29bf62cab7d03e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&若白棋走A位尖虎，则黑棋打吃、白棋粘。接下来黑棋又有两种选项，A粘或B拐。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4f42ed61b854a9a529ad_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-4f42ed61b854a9a529ad_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&若黑A粘，则棋局简化，直线走向结局。黑胜9目。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-4b3de28bea0d5c52ff94_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-4b3de28bea0d5c52ff94_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&B位拐则更复杂。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e1cbbd449acae9f1b432be_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e1cbbd449acae9f1b432be_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dbf4378f50dbd051d35a6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dbf4378f50dbd051d35a6_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&黑5的退让要紧。若黑棋一毛不拔，走在10位立，则白棋可以在左下连扳做劫，黑棋劫材不利。右图中，白12利用黑棋气紧的弱点扳入，迫使黑棋退让。最终结果也是盘面9目。&/p&&p&最后讲最复杂的连扳。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-9e27e3ba11e452a2b6052bfde1efe70a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-9e27e3ba11e452a2b6052bfde1efe70a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&白连扳以后，黑2打是唯一正解；走3位打吃则不可能赢9目。黑2打、白3接以后，黑共有四种可行的走法，均引向盘面9目的结果。本文仅摘录黑A的变化，余者请读者自行研究。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-116abe7ff3a581cd716a4f79c217bce0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-116abe7ff3a581cd716a4f79c217bce0_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&结果不出所料，黑胜9目。&/p&&p&请读者注意，以上的研究均基于日本规则。若是采用中国规则，能够达到盘面9目的最强变化还要增加一些分支，比如下图：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-796e785fb30da8842ecd0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-796e785fb30da8842ecd0_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&按照日本规则，黑棋盘面8目。按中国规则，黑棋29子，白棋20子，黑胜9子。黑棋多出了收后的一子，因此盘面8目的棋在中国规则下同样是黑胜9子。&/p&&p&2015年前后，中国职业棋手李喆在时越、尹航等棋手的协助下，独立完成了对7路棋盘正解的进一步研究，成果《七路棋盘最优解》发布在《围棋天地》2015年第20期上。李喆的文章中共研究了八十一个变化图，比日本棋手的研究更加细致。除了验证最优贴目9目的结论之外，李喆还提到了一个全新的关键分支，如下图：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f2dd49499becb70bebcfe9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f2dd49499becb70bebcfe9_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a51dce86dfbee_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&590& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a51dce86dfbee_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&白棋二路尖虎时，黑棋可以选择不打吃、单拐。白12一路扳挑起劫争，最终仍是黑胜9目。&/p&&p&七路盘看似不大，但求正解的技术难度远超已知最难的死活题。已有的结论相当可靠，但不能保证没有遗漏有意义的变化。严格的证明或须引入巧妙设计的程序辅助检验。&/p&&p&到达最优解的路径远远不止一条。结合日本棋手和中国棋手的研究，主要的分支共有八条。每一条分支中，黑白双方都没有给对方占便宜的机会，都走出了最强手段。而且，对于每条主要的分支，或改变无关紧要的手顺，或是走一个先手交换，会引出一些不改变最终结果的次要分支。因此，七路棋盘上的最优解不唯一，而是一个包含很多道路的解集。如果采用中国规则代替日本规则，则这个解集就更大了。&/p&&p&正如李喆所言，研究七路盘最优解给我们的启发之一是，围棋盘上的最优解远远不是唯一。也许有一天，围棋上帝会告诉我们十九路棋盘的最优贴先，比如说7目。考虑十九路棋盘的状态空间复杂度（10^170 对比10^22）和游戏树复杂度（10^600 对比 10^35），对比七路棋盘，我们不难推出，十九路棋盘上到达这个最优结果、盘面7目的路线会有亿亿…亿条。其中每一条路线，黑白双方都没有犯哪怕一个小错。&/p&&p&AlphaGo经过训练会变得越来越强。有些人担心，若给AlphaGo足够的时间，她会最终收敛到唯一的最优解，终结围棋。通过上面的分析，我们可以下结论，这样的担心完全是杞人忧天（此处 &a class=&member_mention& href=&http://www.zhihu.com/people/0c708d923f8fbcdd4951d9& data-hash=&0c708d923f8fbcdd4951d9& data-hovercard=&p$b$0c708d923f8fbcdd4951d9&&@王赟 Maigo&/a& &a class=&member_mention& href=&http://www.zhihu.com/people/1b9e5ae2a3b89ac74daa1c45faf0f4b9& data-hash=&1b9e5ae2a3b89ac74daa1c45faf0f4b9& data-hovercard=&p$b$1b9e5ae2a3b89ac74daa1c45faf0f4b9&&@柯灵&/a& （#滑稽） ）。事实上，AlphaGo在布局阶段的选择引入了很大比例的随机因素，会在两个差不多好的选项之间投硬币。AlphaGo的开发者知道，两个AlphaGo认为差不多好的选项，在围棋上帝的眼里可能就是一样好。&/p&&p&换句话说，即使在神眼里，围棋也是个有趣的游戏。&/p&&hr&&p&本系列第二、三部分（3-6路棋盘）暂不发布，请读者谅解。&/p&
七路围棋在小棋盘围棋中相当受瞩目。虽然它超出了现有计算机的穷举能力，但人类专家尚能以围棋知识排除大部分无效的变化，从而以手工研究得到正解。1977年，部分日本业余棋手开始组织研究七路棋盘的最优解。1989年，在日本职业棋手工藤纪夫、中山典之的协助…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-405d988b01c9a9ba8abcd43_b.jpg& data-rawwidth=&396& data-rawheight=&395& class=&content_image& width=&396&&&/figure&&p&合法局面总数，即围棋的状态空间复杂度。&/p&&p&n number of legal n*n positions&/p&&p&1 1&/p&&p&2 57&/p&&p&3 12675&/p&&p&4 &/p&&p&5 &/p&&p&6 84877&/p&&p&7 &/p&&p&8 463385&/p&&p&9 469&/p&&p&10 &/p&&p&11 &/p&&p&12 &/p&&p&13 &/p&&p&14 &/p&&p&15 &/p&&p&16 7&/p&&p&17 87437&/p&&p&18 &/p&&p&19 935&/p&&p&来源：&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//tromp.github.io/go/legal.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Counting Legal Positions in Go&/a&&/p&&p&这是John Tromp十余年来的研究成果，确定了一至十九路围棋的合法局面总数，精确到个位数。&/p&&p&&b&五路棋盘&/b&的合法局面总数是4142亿。五路棋盘是目前为止人类用计算机暴力搜索过的最大一块正方形棋盘，由van der Werf 和 Winands 利用程序Migos在2003年完成。&/p&&p&&b&六路棋盘&/b&的合法局面总数是五路盘的十五万倍，达到亿，或者6*10^16. 尚无程序完成六路棋盘的穷举。Ted Drange 和 Bill Spight等人合作，手工研究得到最优解是&b&黑胜4子&/b&的结论（本文的结果均以中国规则、出入法论。比如黑20子、白16子，则记为黑胜4子）。&/p&&p&&b&七路棋盘&/b&的合法局面总数是8*10^22, 六路盘的一百多万倍，略大于国际跳棋（Draughts，已有穷举结论）的复杂度。使用目前最先进的超级计算机列举这些局面大概需要三个月。目前无程序完成七路棋盘的穷举。&/p&&p&30年前，由数位日本业余爱好者联合研究，并由日本职业棋手工藤纪夫等人验算，得到七路盘的最优解，并写成书出版。2015年，由中国职业棋手李喆牵头进行七路盘最优解的研究，非常细致，发布在《围棋天地》上。两个独立的研究得到了相同的结论，&b&最优解是黑胜9子&/b&。由人类权威研究出的结论相当可信，但尚不构成严谨的数学证明。借助计算机完成七路盘最优解的严格证明仍待进一步的研究。&/p&&p&七路棋盘是已知最优贴先的最大棋盘。&/p&&p&&b&九路棋盘&/b&合法局面总数为10^38，略少于国际象棋。穷举九路棋盘仍远远超出现有计算机的算力。目前我们完全不知道九路棋盘的公平贴先是多少。采用中国规则的各类比赛，贴5.5子、7子、7.5子（出入法）的都有。九路盘最优解也难以纯靠人类专家的知识解决。事实上，每一局九路盘上的棋局，都好像做一道超级死活题，比《发阳论》里最难的题更难。部分棋迷对九路盘不屑一顾，浅薄。&/p&&p&&b&十九路棋盘&/b&，合法局面总数10^170. 什么概念？笔者曾说人类在一千年以内无法暴力破解十九路围棋，遭到少数知友反驳曰“工业革命一二百年，人类科技进步何其迅猛”。可是，工业革命以来，人类的技术增长速度不过指数级，用计算机术语说是O(exp(n)). 而围棋的状态空间复杂度的增长速度是O(exp(n^2)), 指数上的平方级。即使摩尔定律不减速（维持每18个月翻倍），计算机硬件也要再发展一百余年才能求解九路棋盘，八百余年才能求解十九路棋盘，更遑论摩尔定律已经几乎摸到了天花板。至于尚在襁褓中的量子计算，理论上可能提供的多项式时间级别的加速，对于较大的围棋盘也是杯水车薪。千年，何其遥远。&/p&&p&（评论区有朋友提到布莱曼极限，这个概念解释得更清楚）&/p&&p&十九路合法局面总数935，可以用三进制表示为&/p&&p&0 0 0 0 2 2 2 0 1 1 0 0 2 0 1 1 1 0 1&br&2 1 1 2 1 2 0 0 2 1 2 1 0 0 0 2 2 0 2&br&2 1 0 0 2 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2&br&0 0 2 2 0 1 1 0 2 0 0 1 2 1 0 2 0 1 0&br&1 0 2 0 2 0 1 2 0 1 1 2 2 1 0 0 1 2 1&br&1 0 0 0 1 1 1 2 0 2 2 0 0 0 2 0 1 2 2&br&0 0 2 1 2 0 0 2 0 0 1 1 1 0 2 0 2 0 0&br&0 0 2 2 0 2 2 2 0 0 0 2 1 0 1 0 0 0 2&br&2 1 0 0 2 0 2 2 2 2 1 0 0 2 1 1 1 2 1&br&2 0 0 1 0 2 2 1 2 1 1 2 2 0 2 0 1 2 0&br&2 1 1 1 0 0 2 1 0 0 2 2 1 2 2 2 0 1 1&br&2 2 1 2 0 1 1 1 0 2 0 1 2 0 2 2 2 0 2&br&2 0 1 0 1 2 1 1 0 1 1 0 2 1 2 0 0 2 1&br&2 0 0 0 1 2 2 1 1 2 0 2 2 0 0 1 0 1 0&br&1 1 2 2 0 0 1 2 2 0 2 0 2 0 1 2 2 1 0&br&2 0 1 0 0 1 1 0 2 1 2 1 2 1 1 0 2 2 0&br&2 2 1 1 2 0 1 0 2 0 1 2 0 2 1 2 1 0 0&br&0 0 0 1 1 2 2 1 0 2 1 0 1 0 2 1 1 2 0&br&2 2 0 2 1 0 2 2 0 0 2 1 1 1 1 1 2 2 2&/p&&p&令0=空，1=黑，2=白，就是下图的局面：&/p&&figure&&img data-rawheight=&395& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-405d988b01c9a9ba8abcd43_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&396& class=&content_image& width=&396&&&/figure&&p&也就是题图。&/p&&p&最后说点最浅显的：AlphaGo和暴力搜索没有半毛钱关系。上面说了那么多，我想这一点已经再显然不过了。AlphaGo把人类爆得连渣都不剩，但离棋神还差得很远很远。&/p&
合法局面总数，即围棋的状态空间复杂度。n number of legal n*n positions1 12 573
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-579f097a775e691c880a5_b.jpg& data-rawwidth=&382& data-rawheight=&310& class=&content_image& width=&382&&&/figure&&p&前文见 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&不会功夫的潘达：探索围棋官子最优解（一）：卡片围棋&/a&&/p&&p&&br&&/p&&p&{本文虽然是最后写的，按照逻辑顺序应为本系列第二篇，望读者谅解。}&/p&&p&(本文暂时谢绝一切转载）&/p&&p&传统围棋教科书上的官子理论自成体系，但构成其根基的一对概念“先手”、“后手”并无精确定义。无论是理论还是实践，整个理论体系都因此产生了巨大的问题。本节我们将借助卡片围棋，给先后手以精确的定义【注1】。&/p&&h2&出入计目法&/h2&&p&“出入”一词源自日本大正时代，本意为会计中的收入与支出。传统围棋教科书上普遍采用出入计目法（Deire Counting）评估官子的价值。请看以下两例：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-342bd74f6dd6f6ad9c82db8191beac36_b.jpg& data-rawwidth=&371& data-rawheight=&264& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&371&&&/figure&&p&例１：后手官子&/p&&p&本例中，局部黑白无论谁先动手都可以吃掉对方的子，从而有所收获。若黑先，则黑吃白二子，黑方得４目，记为＋４；若白先，白吃黑一子，白方得２目，记为－２。两者相减即得到出入值，为４－（－２）＝６目，即本官子价值６目。由于局部无后续，此处为双方后手官子，因此官子价值记作后手６目。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-d0b33e1fadab9e8e65be_b.jpg& data-rawwidth=&422& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&422& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-d0b33e1fadab9e8e65be_r.jpg&&&/figure&&p&例２：单方先手官子&/p&&p&本例与上例有所不同。此局部，白先则可在ａ位吃，局部白棋得５目，记作　－５。而黑先在ａ位吃以后，白棋须在ｂ位补一手，否则下一步黑棋就可以在ｂ位全歼白角。按照黑ａ白ｂ计算，局部黑棋４目，白棋２目，净目数是＋２。由此我们得到本局部的出入值是＋２－（－５）＝７目。我们把黑先的ａ处官子称作先手７目，白先的ａ处官子称作逆收（逆先）７目。&/p&&h2&先后手是全局概念&/h2&&p&按照传统理论，先手即对方须立即回应的着手，而后手则是对方不须回应的着手。这立即造成了疑问：什么情况下需要立即回应？上面例２中，黑ａ之后，若白ｂ不走则角部会被黑棋杀死，因此白棋需要立即回应。但是，杀角价值区区后手１6目；如果棋盘上其它地方有价值更大的着手，白棋不必立即回应，先手就变成了后手。&/p&&p&由此可见，仅考虑一个局部，我们无法判断一步棋到底是先手还是后手。换句话说，先后手取决于全局的状况。从全局考虑问题总是很麻烦，我们希望能将全局问题转化为局部问题，而卡片围棋就给我们提供了这样一个途径。&/p&&h2&定义温度&/h2&&p&江芮夫妇玩的卡片围棋中的卡片从２０，１９.５直至０.５目共４０张。现在假设棋盘上只有例１中的一个官子局部，以及取了一部分的卡片摞，还剩下３目至０.５目的六张卡片，黑先，请问现在应该走官子还是拿卡片？答案是没有区别！若收官子，黑方得棋盘上的４目＋２.５＋１.５＋０.５＝８.５目；白方得３＋２＋１＝６目，黑胜２.５目；若拿卡片，黑方得３＋２.５＋１.５＋０.５＝７.５目，白方得棋盘上的２目＋２＋１＝５目，也是黑胜２.５目。换句话说，例１中的官子与一张３目的卡片等价。&/p&&p&有些官子相当复杂（如上节引言中的例子），０.５目的卡片不足以精确描述其价值。如果不考虑游戏性，仅从理论研究出发，我们可以加厚卡片摞，比如０.００１目，０.００２目，．．．以千分之一目为公差递增直至１００目的十万张卡片。假设棋盘上剩下一个局部，以及一摞十万张卡片余下的一部分，最高值卡片为Ｘ。为了避免人类失误的干扰，我们可以做一个思想实验，让决不犯错的围棋上帝做选择。如果围棋上帝认为拿Ｘ目的卡片和走这个官子没有区别，我们就定义这个局部的&b&温度【注2】（temperature）&/b&为X。所谓温度，就是热的地方更紧要，冷的地方可以先放一放。&/p&&h2&由温度定义先后手&/h2&&p&定义了温度之后，先后手的严格定义也呼之欲出。如果一步棋&b&令局部温度上升&/b&，我们就说这步棋是&b&先手&/b&（&b&sente【注3】&/b&）；若其令局部温度下降，则这步棋是后手（gote）。&/p&&p&比如例2中的局部，温度是7目。黑走a之后，余下局部温度是8.5目，有所上升，因此黑a是先手。白走a之后，余下局部温度是0目，因此白a是后手。&/p&&p&&br&&/p&&h2&一个全局的例子&/h2&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-2daeac91bda19c2e111f64_b.jpg& data-rawwidth=&382& data-rawheight=&310& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&382&&&/figure&&p&上图脱胎于江芮夫妇卡片围棋对抗的第二局，各个局部的温度已经标出（红色代表白棋行棋的位置，蓝色代表黑棋行棋的位置，紫色代表双方行棋位置重合）。现在轮到黑棋，全局最热的地方在左下角，温度是５/３目，因此黑棋走左下的扳。&b&全局的温度即所有局部温度的最大值，这是温度的基本性质。&/b&黑扳以后，左下温度下降至１/３目，全局温度最高的点变为中央Ｊ７位的粘。白粘之后，Ｇ５位的温度急剧上升至约３目，意味着白粘是先手，黑必须在Ｇ５应一手。接下来白棋走Ｎ７，温度为２５/２４的局部。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4c02b6b80aaf581e5c54_b.jpg& data-rawwidth=&353& data-rawheight=&290& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&353&&&/figure&&p&白４提令右边的温度下降至１１/１２目，是后手。接着Ｅ５提和Ｆ１３扳温度都是１目。黑走Ｅ５提，白走Ｇ１３位扳，令局部温度上升，是先手。黑Ｈ１３回应的打吃也是先手，而白Ｆ１３接令局部温度下降至０，最终是后手。余下棋盘上最热的点在左上和右下之间摇摆，双方依次收官直至终局。&/p&&h2&见合计目法&/h2&&p&我们不是围棋上帝，如何得知某个局部的温度呢？好在传统的出入计目法远非一无是处，将其稍加改造为见合计目法（Miai Counting）即可兼容。对于相对简单的局面，我们可以先采用出入计目法的结果，记作D; 然后对黑先结果与白先结果下双方所花步数做差，记作步数差T。不难发现，如果是双方后手官子，则T=2；如果是黑方单方先手官子，则黑先时黑棋不用多下，白先时白棋多下一步，步数差是1，因此T=1；逆收官子同理，也是１.　则见合目数Ｍ可以用以下公式：Ｍ＝Ｄ／Ｔ计算。&/p&&p&例１是双方后手官子，Ｄ＝６，Ｔ＝２，因而Ｍ＝６／２＝３，见合价值是３目，即局部温度。例２是黑方先手官子，Ｄ＝７，Ｔ＝１，从而Ｍ＝７/１＝７，见合价值是７目。如果有双先官子，则Ｔ＝０，局部温度是无穷大。此所谓“双先官子无穷大”，抢到双先官子就是白赚【注4】。&/p&&p&见合数目法与传统理论兼容于“单先、逆收官子价值相当于两倍大小的后手官子”，不过见合数目法的表述更简洁，也方便了不同官子之间直接做加减法。对于复杂的官子，我们可以循游戏树将其化归为简单局面，然后递归求解。&/p&&h2&既非先手也非后手&/h2&&p&　　似乎一切关于官子问题都可以得到解答，只差一个程序员了。如果读者这么想，就低估了围棋官子的难度。按照前文先后手的严格定义，我们尚遗漏了一种温度既不上升也不下降的情况。这样的棋既不是先手也不是后手，大大增加了问题的复杂度。为了分析这一类着手，我们将在下节引入新的数学工具。&/p&&p&后文见 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&探索围棋官子最优解（三）：组合博弈论&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&探索围棋官子最优解（四）：最后一目&/a&&/p&&ol&&li&本文部分内容引自埃尔文教授２００６年在加州大学伯克利分校教授俱乐部的演讲。 &/li&&li&在组合博弈论中，温度的严格定义如下：若G={G^L|G^R}是一个赛局，且
{G^L-t |G^R-t} 与一个数字最多只相差一个无穷小量，则称t是赛局G的温度。正文中的定义与数学定义实质相同。 &/li&&li&大部分英文围棋术语来自日语的罗马字，如先手 (sente)、后手 (gote)。 &/li&&li&首届中日围棋擂台赛，聂卫平对小林光一，黑１１５大缓手，被小林抢到右边的双先官子，净损４目，棋局瞬间逆转。 &/li&&/ol&
{本文虽然是最后写的，按照逻辑顺序应为本系列第二篇，望读者谅解。}(本文暂时谢绝一切转载）传统围棋教科书上的官子理论自成体系，但构成其根基的一对概念“先手”、“后手”并无精确定义。无…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-440a6c05af9862ebe9dded029fb32118_b.jpg& data-rawwidth=&853& data-rawheight=&841& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&853& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-440a6c05af9862ebe9dded029fb32118_r.jpg&&&/figure&&p&(接上文&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&不会功夫的潘达：探索围棋官子最优解（三）：组合博弈论&/a&&/p&&p&，主参考文献：Elwyn R. Berlekamp, David Wolfe, &i&Mathematical Go：Chilling Gets the Last Point&/i&.）&/p&&p&（本文暂时谢绝一切转载）&/p&&p&（不想看推导的读者请直接跳到第九节看有应用价值的结论）&/p&&p&&b&七、正微量与负微量&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f00e5bae6e31f7c6db5751_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&826& data-rawheight=&279& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&826& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f00e5bae6e31f7c6db5751_r.jpg&&&/figure&&p&　　请看上图中的局面，和前文介绍的※有些相似吧。这个官子和※的区别是，黑棋嘴里有两个俘虏，而不是一个。我们仍然采用冷却法做分析：黑先封口，冷却后的结果是0；白先冲击，则留下一个价值2目（后手4目）的官子，结果可以用{０｜－２}表示。黑白先手的结果结合，则此局面可表示为｛０‖０｜－２｝。注意，双竖线‖的功能和单竖线｜没有区别，只是标明阅读顺序：从双竖线所在的位置开始逐级扩展游戏树。&/p&&p&　　 康威教授将此局面定义为“正微量-2”（Tiny 2），本文将其记作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctop_2& alt=&\top_2& eeimg=&1&& （为避免与加号+混淆，笔者选用了与原书不同的表记）。下标的2对应 ｛０‖０｜－２｝中的2。若黑白互换，则构成“负微量-2”(Miny 2)，记作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbot_2& alt=&\bot_2& eeimg=&1&& 。也就是说，负微量-2是正微量-2的相反数，即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctop_2%2B%5Cbot_2%3D0& alt=&\top_2+\bot_2=0& eeimg=&1&& , 它们的和是0. &/p&&p&　　如果俘虏变多，或者俘虏后还有空间，则微量的值也会相应变化。例如下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-04b3e507ea543d34f8189_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&861& data-rawheight=&73& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&861& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-04b3e507ea543d34f8189_r.jpg&&&/figure&&p&　　一个俘虏加一目空共3目，对应 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctop_1& alt=&\top_1& eeimg=&1&& ; 三个俘虏共计6目，对应 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctop_4+& alt=&\top_4 & eeimg=&1&& ; 只有一个俘虏即2目，即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctop_0& alt=&\top_0& eeimg=&1&& ，也就是熟悉的↑。我们通常把↑区别于其他微量对待，因为它与其它正微量的性质有显著差异。&/p&&p&　　一般地，如果白棋冲一下能直接威胁黑棋腹中的ｘ目，则此局面记作“正微量｛ｘ－２｝”，即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctop_%7Bx-2%7D& alt=&\top_{x-2}& eeimg=&1&& 。&/p&&p&　　微量和星号※、箭头↑一样，都是无穷小量，因此它们小于任何正数。正微量都是正数，因为无论黑先还是白先，都是黑棋收后；即 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctop_n%3E0& alt=&\top_n&0& eeimg=&1&& . 而且，微量是比箭头更小（高阶）的无穷小量，比如 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cuparrow%2B%5Cbot_2%3D%5Cuparrow-%5Ctop_2%3E0.& alt=&\uparrow+\bot_2=\uparrow-\top_2&0.& eeimg=&1&&
要证明此不等式，考虑↑和 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbot_2& alt=&\bot_2& eeimg=&1&& 的组合局面。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-aed96fb33f56bbc7a43a5a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&197& data-rawheight=&83& class=&content_image& width=&197&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-fd3f436aab789db005ee8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&247& data-rawheight=&70& class=&content_image& width=&247&&&/figure&&p&　　无论黑先还是白先，黑棋总能收到最后一官（除非白棋把黑棋两兄弟放走，那么黑棋赢得更多），请读者自行验证。&/p&&p&　　同理，如果ｘ＞ｙ，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctop_x%3C%5Ctop_y& alt=&\top_x&\top_y& eeimg=&1&& ，即下标大的正微量更小（高阶无穷小）。注意，此处的无穷小都是冷却以后的值；越“小”的无穷小，其实价值越接近1目，应该优先选择。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&八、多俘虏长走廊&/b&&/p&&p&我们回到上一篇开头的问题，两个长长的走廊尽头，各有两三个俘虏，走哪一个更好呢？&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-bdeb2ad0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&small& data-rawwidth=&947& data-rawheight=&389& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&947& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-bdeb2ad0_r.jpg&&&/figure&&p&　　隔离右边的局部，并采用冷却分析法画出游戏树，如下图。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e2fc5fc09c9da1b79a76263_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&946& data-rawheight=&466& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&946& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e2fc5fc09c9da1b79a76263_r.jpg&&&/figure&&p&　　此局部因而可总结为｛ &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbot_2& alt=&\bot_2& eeimg=&1&& |０‖０|||０｝，简写为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbot_2%7C0%5E3& alt=&\bot_2|0^3& eeimg=&1&& ，意为黑棋要走三步才能到达 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbot_2& alt=&\bot_2& eeimg=&1&&&/p&&p&　　此类棋形比微量要大（低阶无穷小），因为对手的冲击相对不那么急迫；但此类棋形比箭头↑要小（高阶无穷小），请读者自行验证。&/p&&p&&br&&/p&&p&九、各类一目官子总结&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c10ff1cf2ae2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1066& data-rawheight=&1536& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1066& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c10ff1cf2ae2_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-abeca7000efb6bcbf74fb0adfc98f18c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1047& data-rawheight=&1205& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1047& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-abeca7000efb6bcbf74fb0adfc98f18c_r.jpg&&&/figure&&p&　　上表是各类小官子优先级的总结。假设y&x&0，则优先级依次为：&/p&&p&1、攻击负微量 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbot_y& alt=&\bot_y& eeimg=&1&& ；&/p&&p&2、走后手y+2目的官子；&/p&&p&3、攻击负微量 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbot_x& alt=&\bot_x& eeimg=&1&& ；&/p&&p&4、走后手x+2目的官子；&/p&&p&5、依次攻击带有多个俘虏的长走廊；优先攻击俘虏数量少的；若俘虏数量一样则优先攻击较短的走廊；&/p&&p&6、攻击仅有一个俘虏的走廊（即↓，↓↓※等）；无论走廊长短，做这些攻击是等价的；&/p&&p&7、如果有奇数个※，走※；&/p&&p&8、防守带有俘虏的长走廊；无论走廊长短或俘虏多少，这些防守是等价的；&/p&&p&9、走价值为分数的走廊；分母大（即更长的走廊）的先走；&/p&&p&10、最后填单官。&/p&&p&&br&&/p&&p&十、见合&/p&&p&　　見合い，日语，意为“相亲”。作为围棋术语，见合指某局面下有两个价值相当的选择，双方总是各得其一。&/p&&p&　　在组合博弈论中的见合（miai）就是指两个（或更多）数的和为零。比如两个星号※的和是零，对应到棋盘上就是两个一路扳粘见合。又比如↑+↓=0，即↑和↓见合。&/p&&p&　　在分析某个官子局面时，&b&我们需要先识别出所有见合的局部，然后当它们不存在。&/b&做完这一步以后，才可以按照（九）中介绍的流程继续。&/p&&p&&br&&/p&&p&十一、采用数学符号的必要性&/p&&p&　　可能有些读者早已在心中抱怨，为何要引入这些花花绿绿的数学符号呢？只用棋盘上的局部来表示不够吗？&/p&&p&　　数学符号的特点是抽象。将具体的事物抽象成符号，就能识别出貌不同而本质相同的两个事物。比如下面这个等式：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-351d9ed8b42d5fe159f64d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&small& data-rawwidth=&645& data-rawheight=&258& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&645& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-351d9ed8b42d5fe159f64d_r.jpg&&&/figure&&p&　　仅仅盯着棋盘看，恐怕很难发现这两处官子是等价的。&/p&&p&　　又比如下面这个等式&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ce5acbf7bb51b7076febd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1012& data-rawheight=&163& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1012& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ce5acbf7bb51b7076febd_r.jpg&&&/figure&&p&　　乍一看很难接受。若写成↑＋↑＋※＝↑↑※，是不是就很简单了呢？&/p&&p&&br&&/p&&p&十二、难倒九段的一道题&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-5e31e14baff8fc4d2001_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1046& data-rawheight=&1102& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1046& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-5e31e14baff8fc4d2001_r.jpg&&&/figure&&p&　　本题即本文题图。&b&白先&/b&。埃尔文教授曾用此题难倒了多位中、日职业九段。本题包含几处前文不曾提到的棋型，比如DEF、KL、NPOQR等处的断头（紧气后要补一手）。篇幅所限，本文不再展开分析此类棋形，仅给出正解:&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-bd3e4b12aa891c9a1f0ed2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1023& data-rawheight=&1102& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1023& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-bd3e4b12aa891c9a1f0ed2_r.jpg&&&/figure&&p&上图是对各个局部做冷却分析的结果。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-579b3daa032ad36afe55b15_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&914& data-rawheight=&1251& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&914& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-579b3daa032ad36afe55b15_r.jpg&&&/figure&&p&　　上图求出各个局部的总和，结果是0+无穷小量。按照此表，对照（九）中介绍的流程，白棋应该走C，为本题唯一正解。&/p&&p&&br&&/p&&p&十三、总结&/p&&p&　　上世纪九十年代，埃尔文教授曾造访中国棋院，推销这一套官子理论。埃尔文教授拿出若干道如（十二）中的考题，让很多棋手目瞪口呆。然而，少年&b&常昊&/b&不畏艰险，挑灯夜战，最终给出了其中一道题的正解。可是，当常昊向埃尔文教授解释自己的推理时，双方都懵逼了。在最浅显的层面上，常昊采用了“见合”的分析方法，归并部分官子，算是与组合博弈论不谋而合。但越是深入，常昊的诠释就不可避免的涉及“先手”、“后手”之类围棋手习惯的概念。这些常见的概念中蕴藏着风险：何谓“先手”？如何确定先手？你会发现，这些概念都没有严谨的定义。雪上加霜的是，埃尔文教授尝试将常昊的方法应用于类似的问题，却无一例外的失败了。不可重复的算法在数学上是错误的算法。&/p&&p&　　（注：尽管如此，埃尔文教授对常昊的印象非常好。无论如何，能给出如此难题的正解，天赋和恒心均不可或缺。常昊之后成为中国围棋的一代领军人物，曾获得三个世界冠军。）&/p&&p&　　成为一名职业棋手需要十余年的训练，成为一名职业数学家也是，这两者不曾有交集。&/p&&p&　　数学家的目标是：寻找最优解，并且给出一个&b&可证明的&/b&算法。&/p&&p&　　围棋手的目标是：寻找近似的解，从而尽可能的少犯错误，比对手犯更少的错误。&/p&&p&　　这两个目标看上去很接近，而埃尔文教授花了十几年时间才意识到二者间隐藏着的观念上的巨大差异。对于围棋手来说，“证明”的含义是在棋盘上把变化摆出来。数学家和围棋手，终究活在两个世界。&/p&&p&　　AlphaGo问世，人类败得溃不成军。但我们有组合博弈论。在终点线前一米，我们可以和围棋上帝打成平手。在最后一目的问题面前，AlphaGo有可能被纯数学击败。这离围棋在数学上的真正最优解还很远很远，但至少我们已经迈出了坚实的第一步。&/p&
(接上文，主参考文献：Elwyn R. Berlekamp, David Wolfe, Mathematical Go：Chilling Gets the Last Point.）（本文暂时谢绝一切转载）（不想看推导的读者请直接跳到第九节看有应用价值的结论）七、正…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-440a6c05af9862ebe9dded029fb32118_b.jpg& data-rawwidth=&853& data-rawheight=&841& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&853& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-440a6c05af9862ebe9dded029fb32118_r.jpg&&&/figure&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&探索围棋官子最优解（一）：卡片围棋&/a&&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&探索围棋官子最优解：（二）棋盘的温度&/a&&/p&&p&前文传送门。&/p&&p&本文主要参考资料：Elwyn R. Berlekamp, David Wolfe, &i&Mathematical Go：Chilling Gets the Last Point&/i&.&/p&&p&本文暂时谢绝一切转载。&/p&&hr&&p&一、引言　　&/p&&p&　　在正式介绍数学理论之前，请大家先看一道“简单”的官子题。&/p&&p&　　本大题共两小问，每小问10分。（1）棋局进行到接近终局，尚余若干小官子。请问，在a、b两处官子中，黑棋应该选哪一个？&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-bdeb2ad0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&947& data-rawheight=&389& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&947& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-bdeb2ad0_r.jpg&&&/figure&&p&（2）类似的情形，下图中的a、b两处官子，黑棋又应该选哪一处？&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-98d1bb1e07e6efd810d15147fbe6c6a2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&933& data-rawheight=&299& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&933& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-98d1bb1e07e6efd810d15147fbe6c6a2_r.jpg&&&/figure&&hr&&p&　　参考答案：（1）b （2）a &/p&&p&　　在图1的情形下，取决于盘面剩余官子的情况，有时候选a和选b一样好；但有时选b会比选a最终便宜一目。图2同理。和直觉相反，黑棋应该进攻&b&己方俘虏较少&/b&的一边，而不是较多的一边，也不是“走廊”更长的一边。&/p&&p&　　为什么呢？对于图１，我们可以制造一个对称的局面，只剩４个官子，ａ／ｂ各二，如下图。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-dbc2db62c5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&940& data-rawheight=&1007& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&940& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-dbc2db62c5_r.jpg&&&/figure&&p&　　现在白棋走１位，轮到黑棋。如果黑棋走ｂ是模仿白棋，可以守住平局。而若黑棋走ａ，则白棋可以在右上继续突进。接下来只要白棋不失误，即可以１目获胜。读者可自行验证。&/p&&p&　　以上并不构成一个完整的证明，毕竟棋盘剩余的部分可以千变万化。为了研究一般情形下选择小官子的优先级，我们需要引入新的数学工具。&/p&&p&&br&&/p&&p&二、长廊的价值&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b7fb82b907be0b024da551e16bb547d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&small& data-rawwidth=&657& data-rawheight=&634& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&657& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b7fb82b907be0b024da551e16bb547d_r.jpg&&&/figure&&p&　　这是一个官子局面。请问，红圈范围内的白棋，应该判断为多少目？&/p&&p&　　按照传统的官子理论，黑棋下在Ａ，则是０目；白棋下在Ａ，则是１目。因为双方下在Ａ都是后手，取平均值即是1/2目。我们把这个结果记作 { 0 | 1 } ≈ 1/2，即把黑先的结果写在左边，白先的结果写在右边。&/p&&p&　　那么，蓝圈范围内的白棋，又应该判断为多少目呢？如果白棋下在Ｂ，则是两目；而若黑棋下在Ｂ，则局部变为与红圈内一致的形状，即1/2目。取两者平均值，则是1又1/4目。仿照上边的写法，我们把这个结果记作 { 0 | 1 || 2 } ≈ 5/4。双竖线代表热度图的起点，其右边的2即白先的结果；其左边的 0 | 1 即黑先的结果。 　&/p&&p&　　以此类推，棋盘下方黑棋空出４格的走廊，可以记作｛ 0 | 1 || 2 ||| 3｝。这种写法被埃尔文教授命名为&b&热度图（Thermograph）&/b&。局部的目数，则对应热度图的&b&均值(mast value)&/b&。我们可以递归地计算热度图的均值 &b&，&/b&例如 ｛ 0 | 1 || 2 ||| 3｝≈ { 1/2 | 2 || 3 } ≈ { 5/4 | 3 } ≈ 17/8， 即4格长廊价值2又1/8目。 &/p&&p&（注：计算均值使用≈约等于符号的原因，将在下文逐渐揭晓） &/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-362e4a84f401ba5a65084bf40dde17fc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1415& data-rawheight=&1028& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1415& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-362e4a84f401ba5a65084bf40dde17fc_r.jpg&&&/figure&&p&　　我们可以依次推出2、3、4以至n格走廊的目数，见上图中间一栏。由此可以进一步推出在n格走廊处收官的价值，见最右一栏。此处的“价值”在前文介绍过；比如第一栏的1/2，指此处官子的价值相当于“逆收1/2目”。同理，冲“五格走廊”的价值相当于逆收31/32目。传说李昌镐研究官子精确到三十二分之一目，看来做到这个精确度并不是很难。&/p&&p&　　更难的在下面呢。&/p&&p&三、冷却&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-30c3caec96f24c50d1992b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&624& data-rawheight=&616& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&624& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-30c3caec96f24c50d1992b_r.jpg&&&/figure&&p&　　比如说我们有这样一个官子局面，余下的官子价值差不多都是逆收１目或者后手２目。于是，此局面的重点变成了收到最后一个官子。既然每个官子的价值差不多，为了突出“争夺最后一手”的重点，我们不妨规定每走一步棋就要扣除１目。我们将此种处理称为冷却（&b&chilling&/b& or &b&cooling&/b&）。比如说B位的官子，按照（二）的分析，价值3/4目。此时若黑棋走A位，扣除1目以后，余下-1/4目。其含义是，黑棋走A位相对于正解亏损了1/4目。&/p&&p&　　用热度图的记法，B处记作{ 0 | 1 || 2 } ，均值为5/4目。如何对热度图作冷却分析呢？第一步，我们可以忽略□处的一目，也就是热度图两边各减一目；这只是改变了计数的基准点，不影响分析的结果。第二步，黑棋走一步须扣除黑一目（即给白棋加一目），而白棋走一步则扣除白棋一目）。因此冷却的过程可以记作{ 0 -1+1+1 | 1 - 1+1-1 || 2 -1-1 }={ 1 | 0 || 0 }≈{1/2 | 1}≈1/4， 其均值是1/4。其含义正是黑棋走在这里就会亏1/4目。&/p&&p&　　冷却以后的热度图被称为&b&赛局（Game）。&/b&赛局的原型是一类“谁没棋下谁就输”的游戏，例如抓三堆（Nim）或中国象棋。通过冷却分析，围棋这个抢目数的游戏，也被转化成了抢最后一手的游戏。传统的围棋官子理论相当于估算了均值，却很少考虑抢最后一手的问题。事实上，仅考虑均值是不够的。&/p&&p&四、无穷小量，星与箭头&/p&&p&　　庄子云，“一尺之锤，日取其半，万世不竭。”其中蕴含了无穷小量的思想。所谓无穷小量，就是一个比零大，而比任何其他正数都小的量。学过高等数学的读者可能知道，无穷小量在标准的数学分析当中被摈弃不用。但无穷小量这个概念又确有其实用价值。于是，现代数学家发展出若干非标准的数学分析体系，引入无穷小量解决问题。其中英国数学家约翰·何顿·康威在1976年发明超现实数（Surreal Number）体系。康威教授发明超现实数的最初灵感正是围棋。&/p&&p&　　在超现实数的基础上，康威教授和埃尔文教授引入了一系列与围棋有关的无穷小量，将超现实数集合扩展为赛局。本节将介绍两个最基本的无穷小量。&/p&&p&（ａ）星（star, ※）&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-69cbd796d63a5db925f987ee735d12e7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&282& data-rawheight=&212& class=&content_image& width=&282&&&/figure&&p&　　考虑上图，黑棋将一颗白子含在嘴里的官子。此局面应该判断为多少目？&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-43e83f3b714f2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1183& data-rawheight=&266& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1183& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-43e83f3b714f2_r.jpg&&&/figure&&p&　　黑先，则黑提一子得两目；白先，则白救回一子，局部零目。结果是｛２｜０｝≈ 1。这个热度图的均值是1，但它精确地等于１吗？答案是不等。此处就要用到冷却分析法。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-bdef503af4571_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1026& data-rawheight=&181& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1026& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-bdef503af4571_r.jpg&&&/figure&&p&　　首先，因为局部可以判断为黑棋约有１目，所以先把黑棋这一目扣掉，以白子上的一个点标记。接下来，如果黑先，吃掉白子，得两目；但走这一步棋要扣除一目，在白子上再加一点标记；这样总共要扣除两目，最终结果是２－２＝０目。如果白先，则白棋救回一子，代价是扣除白棋一目，以删去白子上的一点标记。最终结果是－１＋１＝０目。因此冷却以后的局部可以用｛０｜０｝标记。｛０｜０｝不属于超现实数，而是一个新的无穷小量，我们将其命名为星，标记为※。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-fa19ec6bfab1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&319& data-rawheight=&205& class=&content_image& width=&319&&&/figure&&p&　　一处（未冷却的）单官也可以用｛０｜０｝表示，因此单官也是※。单官的优先级永远在有“实际价值”的官子之后，但最后总是要填的，且在中国规则下也算分，所以它不是零。若对单官做冷却处理，则没有人会去填单官（还得扣一目呢）。局部没有选择，就是空集，用｛｜｝表示，也就是０.　零意味着游戏结束，轮到谁下谁就输，因为最后一步棋被对手抢走了。&/p&&p&　　星号有以下性质：※+※=0.
即两个星号的和是零。这不难理解：两个单官总是一人一个，见合了。另外，星号比任何正数小，且比任何负数大。但是星号与零&b&无法比较&/b&，因为对于※，谁先走谁就能抢到最后一手，即胜负未定。&/p&&p&（ｂ）箭头（tiny，↑ 或 ↓）&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9c3fbd34b5ee4e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1143& data-rawheight=&193& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1143& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-9c3fbd34b5ee4e_r.jpg&&&/figure&&p&　　来看一个稍有不同的官子。黑棋嘴里仍然含着一个子，只是这个白子藏得更深一路。以冷却分析法，我们将这颗白子视为囊中之物，扣除黑棋“应得”的两目。若是黑先，则黑棋封口，得三目；下了一步棋扣一目，再扣原有的两目，无得无失，是０。若是白先，白棋进一步，则还原成（ａ）中分析过的局面，是※。因此本局部写作｛０｜※｝，我们将其定义为↑，箭头。若是黑白交换，则记作↓，向下的箭头。&/p&&p&　　向上的箭头↑对黑棋稍有利，因为无论谁先手，黑棋总能抢到最后一手。向下的箭头↓则对白棋稍有利。换句话说，↑＞０＞↓。但是，↑＋※与０无法比较，因为白棋先手可以抢到最后一个官子。&/p&&p&　　采用递归的方式，我们可以计算带有俘虏的ｎ格走廊的冷却后价值，见下图。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-0fff458c0ef620ac567200a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1416& data-rawheight=&950& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1416& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-0fff458c0ef620ac567200a_r.jpg&&&/figure&&p&　　其中，双箭头（三箭头）表示两个（三个）↑的和。↑※表示↑＋※。注意，对于ｎ＞１的情况，黑白双方在此处行棋的价值并不对等。走廊越长，黑棋防守走廊入口的价值越大；而白棋进攻走廊的价值不变，都是↑※。&/p&&p&&br&&/p&&p&五、案例分析&/p&&p&　　至此，我们已经可以分析一些简单的局面。比如，我们把上文提到过的一个局面分解，得到下图（白先，读者可以先思考此局面下白棋所有可能的选择）：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-510d278dbf7387bbe2ac632_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&699& data-rawheight=&659& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&699& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-510d278dbf7387bbe2ac632_r.jpg&&&/figure&&p&有ａ－ｈ八个局部，互相独立。分别冷却分析每个局部，得到结果如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-43a96f6bf427c66e7e256fdd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&682& data-rawheight=&669& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&682& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-43a96f6bf427c66e7e256fdd_r.jpg&&&/figure&&p&其中ａ＝↓；ｂ＝１/２；ｃ＝※；ｄ＝－１/４；ｅ＝↓；ｆ＝－１/４；ｇ＝↑↑※；ｈ＝※。&/p&&p&　　求和，得１/２＋（－１/４）＋（－１/４）＋↓＋↓＋↑↑※＋※＋※＝※。也就是说，这个局面等价于一个星号※。&/p&&p&　　如果轮到白棋先下，白棋只需消去一个※，就可以把局面化为０，也就是白棋有必胜策略的局面。因此，白棋可以选择ｃ或ｈ二者之一。走ｇ的价值是↑※，将局面化为↓，也可以获胜，而且比得到０“更好”一点。其他的选择ａ/b/d/e/f 都会给黑棋翻盘的机会。&/p&&p&　　在此做一个小结：我们可以把有多个官子的局面分解，用冷却法分析，将其化简为一个无穷小量，判断谁能在此局面下走到最后一手。比如某局面分析的结果是盘面３目加上↑※。因为↑※与零无法比较，因此最优解下的最终结果可能是盘面４目（黑先）或２目（白先）。若分析结果是盘面３目加↑↑※，或者盘面３目加↑，则最终结果会是盘面４目（黑先）或３目（白先）。因为↑↑※和↑都比０大。若是分析的结果带有分数，比如３又１/４加↑※，则结果也是盘面４目（黑先）或盘面３目（白先），因为无穷小量总是比分数要小。&/p&&p&&br&&/p&&p&　　围棋中的无穷小量不止这两种。下一篇我们会引入一个新的无穷小量，并完整的比较各种小官子的优劣。&/p&&p&　　续篇地址：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&探索围棋官子最优解（三）：组合博弈论&/a&&/p&
前文传送门。本文主要参考资料：Elwyn R. Berlekamp, David Wolfe, Mathematical Go：Chilling Gets the Last Point.本文暂时谢绝一切转载。一、引言 在正式介绍数学理论之前，请大…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3d800edddffcc62d076f65_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3d800edddffcc62d076f65_r.jpg&&&/figure&&p&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f2abafca804a9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-f2abafca804a9_r.jpg&&&/figure&&p&请观察上图M18一带的棋型，回答以下三个问题。本题满分20分。&/p&&p&1、白先，应该走在哪里？（5分）&/p&&p&2、请给出局部双方的最善应对。（7分）&/p&&p&3、本处官子的价值是多少？请写出论证过程。（8分）&/p&&p&&br&&/p&&p&如果1分钟之内能答对第一题，你超过了芮迺伟九段。如果你能答对第二题，请让我膜拜一下顶级高手。第三题.. 裁判和人工智能请不要答题，谢谢。正解请见正文。&/p&&hr&&p&　　AlphaGo击败了人类，但AlphaGo并未彻底破解围棋。在之前的文章中笔者多次提到，以现有的技术，穷举十九路围棋无从实现。国际象棋不如围棋复杂，且国象的AI早在二十年前就能击败人类，但穷举国际象棋同样尚未实现，也暂时无法实现。不过，已经有国象软件可以穷举一切“七子残局”（也就是棋盘上不超过七枚棋子的残局问题）。以同样的思路，有学者开始思考破解围棋“残局”，也就是官子局面的走法。&/p&&p&　　然而，即使是相对简单的官子局面，对于计算机来说也足够复杂（参见&i&Go Endgames are Pspace-Hard&/i& &a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//library.msri.org/books/Book42/files/wolfe.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&library.msri.org/books/&/span&&span class=&invisible&&Book42/files/wolfe.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&）。人类棋手使用的传统官子理论，本质是一种近似估算局部官子价值的算法，并不严谨。为了改进传统官子理论，建立对于计算机可行的官子算法，&b&卡片围棋（Coupon Go）&/b&应运而生。卡片围棋由美国工程院、科学院院士埃尔文教授（Elwyn R. Berlekamp）发明。埃尔文教授酷爱各类棋盘游戏。为了研究棋盘游戏，埃尔文与John Conway、Richard Guy等人共同创立了&b&组合博弈论(Combinatorial Game Theory)。&/b&埃尔文的围棋水平不算高，业余3级。不过，这并不妨碍他对围棋，以及围棋研究的热爱。&/p&&p&　　卡片围棋除了研究功能之外，本身就是足够有趣的游戏。除了常规的棋盘、棋子之外，一摞卡片也是这个游戏的重要组成部分。一般情况下有四十张卡片，依次标有20,19.5,19,18.5,...,1,0.5的点数。每个回合，棋手要么在棋盘上落一子，要么选择价值最高的一张卡片。终局时，一方棋盘上的分数加上所有卡片的点数才是他的总点数，总点数高的一方获胜。由于最值钱的一张卡片价值20点，理论上公平的贴先是10点（为什么？读者可以自行思考）。按照围棋避免和棋的传统，实际操作中贴先被设为9.5点，也就是先手方的总点数要被扣去9.5点。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-fceadd86a16_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-fceadd86a16_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&　　日，知名的“十八段夫妻”江铸久九段和芮迺伟九段受埃尔文教授邀请，在美国进行了首局公开的卡片围棋。按照事先的约定，棋盘上的点数采用应氏规则计点法。然而，两位棋手似乎是忽略了卡片围棋规则下数目法和数子法的巨大差异，因而棋局实际上是按照数目法的理解来进行。笔者将在后文介绍此种巨大差异，关于棋局的解说则暂且用数目法诠释。&/p&&p&　　本局由江铸久执黑先行。作为身经百战的九段棋手，棋局的第一手本不需要思考。可是，现在有额外的二十张卡片，这第一手还应该落在棋盘上吗？让我们和江铸久一起思考这个问题。取卡片而不走棋，相当于以将先手权利交给对方为代价获得卡片的价值。问题就转化成空枰的先手权利价值几许。机智的读者可能已经想到，这其实等价于求公平贴先的问题。假设7目是公平的贴目，相当于空枰局面下黑棋“领先”7目。黑棋第一手弃权，将棋局转化成白棋先手的空枰局面，现在是白棋“领先”7目。一进一出相差14目，因此黑棋需要拿到超过14目的卡片才有利可图。开局第一张卡片是20点，因此黑棋应该拿卡片。请注意，笔者在此处用了带引号的“领先”，因为人类下棋总是会犯错，这里的“领先”只是一种估算。如果是围棋上帝的左右手互搏，那么就可以把“领先”上的引号删去了。&/p&&p&　　棋局的前13个回合，对局双方轮流拿卡片，棋盘上空无一子。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8c92a6f4ded_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-8c92a6f4ded_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&　　最值钱的卡片只剩下13.5点，执白的芮迺伟终于出手，走在了棋盘的星位。双方再各取一张卡片，随后又各落下一子。下一回合，江铸久再抢一张12.5的卡片，芮迺伟则抢占最后一个空角。然后双方又拿了一回合的卡片。至此，黑棋多拿了30.5点的卡片，相当于白棋反而要贴21目；代价是白棋占了三个空角，黑棋只有一个。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-488d6f7d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-488d6f7d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&　　之后，双方在左上角走了一个定式。第35手，当年标准的下法是在E13位加补一手。此时江铸久连续“脱先”，拿走11、10.5两张卡片。白棋毫不客气，凶狠地攻击黑棋整块。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-312b6f68ed5e65c416ab34_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&537& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-312b6f68ed5e65c416ab34_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&　　黑棋狼狈地出逃，而白棋则在上边和左边收获利益。至44手，白棋相当于要贴42.5目，而盘面白棋的实地优势也约有40目，局面仍难分优劣。&/p&&p&　　此后，黑白两方在棋盘右下缠斗，黑棋设法包围了白棋的大龙，并做成劫杀。劫争持续了一百余手，由于本身劫材太多，白大龙实无性命之忧。因为激烈的战斗，脱先一手的代价极高，双方无暇顾及卡片。至252手，价值10点的卡片才落到执白的芮乃伟手中。此时白棋大龙已经安定，棋局进入官子阶段。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-69bf518e0dd7c3ebe1a4dcec32485b5b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-69bf518e0dd7c3ebe1a4dcec32485b5b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&　　最烧脑的比拼才刚刚开始。在正常的收官之外，棋手还要考虑是否该拿卡片。读秒声的催促下，棋手也可能举棋不定，最后匆匆拿一张卡片了事。时间压力之下，双方小错误不断。局后，埃尔文教授及他的合作者William Spight，与江芮夫妇一起花了几个月的时间研究本局的官子变化，发现了一系列的错招，并确信找到了正解。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-824b4f0df01ecb897ddfad2968ccfb8c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1082& data-rawheight=&1074& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1082& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-824b4f0df01ecb897ddfad2968ccfb8c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&　　上图是第307手后的局面，黑白点代表双方基本确定的目数。黑白扇形点代表局部估算的目数。比如N10处的单劫，可以算成黑棋的1/3目。各处的数字代表此处官子的价值。围棋教科书上一般说甲官子价值“后手14目”，乙官子价值“逆收7目”。图中标定的价值大致相当于逆收官子的价值，比如O4处的逆收一目，但另有严格定义。&/p&&p&　　M18一带是最复杂的一个局部，需要仔细地列举出全部分支才能确定。黑白的第一手收束就各有几种选择，接下来的应对也颇为复杂，比如右上黑棋应该虎还是接（涉及右上扳入的劫争）。借助Bill Fraser开发的程序，穷举了超过两万个棋形，最终确定此处价值3又5/12目。&/p&&p&　　第308手，白棋选择拿走4点的卡片，败招。此局面下，即使算上4点的卡片，E4仍然是“双方先手官子”，应该不顾一切去抢。实战反被黑棋抢到，白棋平白损失约3目。考虑到剩下最大的“官子”仅仅是4点的卡片，白棋的失误可谓巨大。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-28433df9dcb54a7fdffaf2b9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1194& data-rawheight=&1031& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1194& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-28433df9dcb54a7fdffaf2b9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&　　双方此时通向最优结果的路不止一条，图中的顺序只是一例。白棋抢到双先官子之后，黑棋需要补棋，然后白棋可以打赢左下的劫争，并拿到4, 3.5两张卡片。黑棋则可以抢到右边的大官子。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-313608bee890d35c9a984ea_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&632& data-rawheight=&326& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&632& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-313608bee890d35c9a984ea_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&　　上图是棋盘上方官子的正确后续。白1接全局最大。黑2虎正确，逼迫白3补一手。若不补，黑棋可在3位扳入打劫，劫材有利。&/p&&p&　　下图是实战，双方小错不断。黑6（3目）不如上方14位（3又5/12目）大。黑10虽然在左下角造出了数个劫材，但本身仅价值2又1/4目，且劫材并没有起到效果，因此黑棋仍应当走在14位。白11应在14位跳，然后转到棋盘右边价值3又1/2目的最大官子。双方均忽视了右边的手筋，因此低估了右边官子的价值。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4dbca2fdddb243fe3f72_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1203& data-rawheight=&1041& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1203& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-4dbca2fdddb243fe3f72_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&　　右边正确的走法如下图。白1、3妙手。芮迺伟九段在复盘时才发现此处的手段。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-deaee504dd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&404& data-rawheight=&828& class=&content_image& width=&404&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&　　实战白棋简单挤了一手，局部净亏两目，错过了最后胜机。1点和1/2点的两张卡片在收单官前被瓜分，说明两位棋手误解了规则。在数子法（或计点法）规则下，单官和1点的卡片等值，因此1/2点的卡片应当在单官收完以后才被拿走。最终棋局以数目法判定，黑胜1/2目。若以预先约定的应氏规则，则是白胜2又1/2点。&/p&&p&　　本局的小官子阶段，刨去小错误不提，黑白双方共犯下五处致命（足以逆转胜负的）错误。彼时，江铸久、芮迺伟夫妇尚在巅峰期。次年二人旅居韩国，芮迺伟连斩不可一世的曹李师徒，夺得韩国国手头衔，立下不世之功。然而，这五处错误可谓触目惊心，证明即使是顶尖棋手，小官子仍然是个难题。&/p&&p&　　新世纪的头十年，埃尔文教授在中国、韩国举办了两次卡片围棋锦标赛。两次比赛都有包括江、芮在内的六位职业高手参加。主办方挑选了五个吴清源曾下过的棋谱，并选定了小官子阶段的某个局面，作为卡片棋局的起点。开赛之前曾有棋手认为选择的局面过于简单，职业棋手应该都能完美地解答，即使加入了卡片也不会犯错。六位棋手捉对厮杀，每位棋手对五个残局执黑白各一次。因此五个残局各被下了六次。结果令人大跌眼镜。对于大部分的残局，六次对弈竟下出了六个不同的最终分数。最好的一个残局也有五个不同的结果。&/p&&p&　　《棋魂》中曾有塔矢行洋和藤原佐为对弈的情节。还剩几个小官子的时候，塔矢行洋算清自己要输半目，提前认输。现实中，此局棋的原型，执黑的林海峰坚持到最后一手，因最后的单劫差一枚劫材而半目负。凡夫俗子倾向于把职业棋手想象或塑造成无所不能的高人，而棋士实际不过是高明一点的凡人罢了。通向胜利的秘诀不是算无遗策，而是勤勉和坚持不懈。&/p&&p&&br&&/p&&p&参考文献：Go Thermography: The 4/21/98 Jiang-Rui Endgame &a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//library.msri.org/books/Book42/files/spight.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&library.msri.org/books/&/span&&span class=&invisible&&Book42/files/spight.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&（未完待续，下篇将介绍卡片围棋与埃尔文教授的官子理论。本文谢绝一切转载，欢迎转发。）&/p&
请观察上图M18一带的棋型，回答以下三个问题。本题满分20分。1、白先，应该走在哪里？（5分）2、请给出局部双方的最善应对。（7分）3、本处官子的价值是多少？请写出论证过程。（8分） 如果1分钟之内能答对第一题，你超过了芮迺伟九段。如果你能答对第二题…
&p&本题下的答案里，关于围棋的目前只看到一个十八目半的骗招，这个骗招虽然经典，但并不巧妙——一方面圈套设得不够深（飞压时拆个二，既刻意又反常），另一方面破解的难度过于低（只要不去贪吃那个角就不会上当）。&/p&&p&我贡献一个给我留下很深印象的骗招吧，行骗方圈套设得很深，破解方招法也属于脑洞见鬼的那种。&/p&&ul&&li&（基本图——村正妖刀）&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-959baedbce3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&294& data-rawheight=&294& class=&content_image& width=&294&&&/figure&&p&这个骗招来自围棋著名的三大难解定式之一——村正妖刀。&/p&&p&下到这里算是一个基本图。众所周知，下一手白棋A位三路叫吃，是双方正变。&/p&&ul&&li&（骗招——二路打）&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4bf66ed4d0d1f3ee0f40b6b93dace98e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&294& data-rawheight=&294& class=&content_image& width=&294&&&/figure&&p&做个小调查：有没有人真的在实战中遇到过这个二路打吃？遇到过的请在评论区留个言谢谢……&/p&&p&反正我是空前绝后地遇到过那么一次，不知碰上这个的概率有多大……&/p&&ul&&li&（一路立是骗招的关键）&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ecd23f381d0a8e27e4bb58_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&294& data-rawheight=&294& class=&content_image& width=&294&&&/figure&&p&黑2接必然，4位打吃也是只此一手，白5立是这个骗招的核心构件，弃子收紧黑气。&/p&&ul&&li&（怎么办？）&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-8a590e83f8e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&294& data-rawheight=&330& class=&content_image& width=&294&&&/figure&&p&妖刀定式的前提是征子有利，黑在7位断打是不可能征掉白两子棋筋的，只能6位打吃，那么走成这样是必然的。眼见的，黑下边一块棋吃掉两子也仅有四气，非常危险。&/p&&ul&&li&（黑上当）&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-6b8cdaaac_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&294& data-rawheight=&330& class=&content_image& width=&294&&&/figure&&p&白棋这个骗招的意图是诱使黑棋借有眼之利先发制人，1位跳入强行吃角。表面上看，对杀中黑棋有眼白棋无眼，黑占有利地位。然而算得深一些就会发现，黑虽然有眼，但以下是一本道。双方非但没有一口公气，白棋扑入黑眼后10位打吃居然还是先手，黑棋有眼的优势完全派不上用场，最终形成一个天下大劫。此劫是白棋的先手劫，由于“初棋无劫”，白万劫不应，黑万劫不复。&/p&&p&&br&&/p&&p&如此黑棋被一劫轰爆，当然是上当了，但貌似中间没什么变化啊？&/p&&p&如果你以前没见过这个，相信最终破解的手法会让你大跌眼球——棋还能这么下？！&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&（破解——愚型妙手）&/li&&/ul&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-e0c86b00_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&294& data-rawheight=&330& class=&content_image& width=&294&&&/figure&&p&黑1单弯三不沾，主动做个愚型三角出来是闹哪样？&/p&&p&可这才是破解的大妙手！&/p&&p&要不是之前在TV看过棋渣调戏瓷娃娃的讲棋视频，我实战中肯定是挂了……&/p&&p&【P.S.：如果走到这里你还没看出来为啥这大智若愚的一猴已经破解了此骗招，那你大概需要强化练习那种相对复杂一些的吃子与对杀（紧气与延气）手筋……】&/p&
本题下的答案里，关于围棋的目前只看到一个十八目半的骗招，这个骗招虽然经典，但并不巧妙——一方面圈套设得不够深（飞压时拆个二，既刻意又反常），另一方面破解的难度过于低（只要不去贪吃那个角就不会上当）。我贡献一个给我留下很深印象的骗招吧，行骗…
&p&　　贴先通称贴目或贴子，即结算胜负时先行方须扣除一定分数，以平衡先手优势。贴先制是围棋特色的规则，与象棋、连珠等游戏的平衡规则大不相同。自贴先制问世以来，各国规则规定的贴先数均经过若干次调整，至今尚未统一。同时，关于贴先公平性的争议在棋界和民间也未曾平息。什么是公平的贴先值？如何确定最优贴先值？本文将详述关于贴先的若干问题。&/p&&p&（本文部分内容是对之前文章的整理，熟悉的读者可以略读。本文暂时谢绝一切转载。）&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&贴先简史&/b&&/p&&p&　　十七世纪，时任名人棋所本因坊道策确立手合（段位）制，是为近现代职业围棋的基石。手合制规定棋手最高为九段，其下依次为八段、七段、六段以至初段（一段）。当时尚未有贴目制，因此同段位棋手间棋份为互先，即两盘棋中一盘执黑、一盘执白。相差一段的棋份为先相先，即三盘棋中段位低的一方有两盘执黑、一盘执白。相差两段的棋份为定先，即段位低的一方全部执黑。相差三段即以上的情况则还需引入让子。到十九世纪为止，日本职业棋手之间棋力差距较大，此种手合制度适应环境，因而促进了日本围棋在近代的发展壮大。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&266& src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ffdd4fed03ea24_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&569& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&569& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ffdd4fed03ea24_r.jpg&&&/figure&&p&图注：漫画《棋魂》。佐为（图中左一）来到现代才得知有贴目规则。进藤光问佐为：“你就没想过黑棋有优势吗？”佐为回答：“我下黑棋的时候就没输过。”（在《棋魂》的剧情中，佐为曾在江户时期附体于本因坊秀策）&/p&&p&&br&&/p&&p&　　十九世纪中期，天才棋手本因坊秀策横空出世。他以稳重坚实的“秀策流”在十余年间取得了号称“黑先不败”的战绩。秀策流的着法貌似平平无奇，甚至略微亏损，但秀策总能以三目左右的优势取胜。秀策的战绩证实了黑方先手优势的显著。十九世纪后期至二十世纪初，日本围棋界整体实力提升显著，同时棋手之间实力差距缩小。在手合制不变的情况下，高段位者在执白的棋局中获胜的难度愈来愈大。另一方面，末代名人本因坊秀哉掌握棋界最高权力而打压异己，一些实力强大的棋手无法以正常的棋份与秀哉对局。手合制的弊端凸显之时，正是改革的契机。1922年，雁金准一、高部道平、铃木为次郎、濑越宪作等四名大将创立裨圣会，采用总互先制和贴目制。总互先制即各棋手间不再有棋份差别，无论段位高低统一为互先。贴目制统一为黑出4目半。此为围棋贴目制的滥觞。&/p&&p&　　裨圣会仅维持两年即并入日本棋院。不过，由于各棋战中黑棋胜率日益上升，再加上末代名人本因坊秀哉引退，全面采用贴目制的时机已成熟。1939年，首届本因坊战采用黑贴4目半的规则。之后，采用贴目制的棋战比例逐年上升。同一时期，吴清源与其它高手的十番棋擂争仍维持旧手合规则不贴目。吴清源善战不败，时人称“十番棋之王”，乃是不贴目时代最后的王者。各大新闻棋战次第建立之后，不贴目的围棋在职业棋战中基本消失。&/p&&p&　　1974年，日本围棋规则修订，将贴目升为5目半。贴目数的变迁不独日本一家。中国规则在1957年的初版是黑贴2又1/2子。黑贴2子半相当于盘面4目和5目都是和棋，类似于日本规则的4目半，但允许和棋。贴先二子半导致和棋比例较大，不适用于淘汰赛。中国棋手也和日本棋手一样认识到贴目偏少，于是中国规则的贴先也升为2又3/4子。1988年，首届应氏杯采用应昌期制定的应氏规则。应氏规则大胆采用“黑贴8点，平点黑胜”的条例，相当于中国规则黑贴3又3/4子。当年的棋手多认为此贴目过多，几乎都更愿意拿白棋。数届应氏杯之后，棋手们发现即使是大贴目先手方也不吃亏。同时，在其它贴先5目半（2又3/4子）的比赛中，黑棋胜率显著偏高。在棋界的共识之下，各国棋战逐个上调贴目值。首先是韩国举办的三星、LG两大杯赛采用黑贴6目半，随后中国、日本在2002年跟进。中国规则贴3又3/4子，日本规则贴6目半，维持至今日。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&归本法、出入法&/b&&/p&&p&　　上一段文字中反复提到3/4子这个尾数，看上去复杂得没有必要。日本规则贴目规定为X目半是为了避免和棋，那中国规则贴子定为X又3/4子又是什么道理呢？&/p&&p&　　这是个历史遗留问题。现代中国规则的数子法仿效明清围棋规则，只查一方棋子，然后与归本数180.5（即361个交叉点的一半）比较，超过即获胜。此种比较的方法称为归本法。相应地，日本规则分别查黑白两方目数，以双方目数相减得到差距，即出入法。中国规则使用归本法只是传统，没有特殊意义。同样是“子空皆地”的应氏规则、美国规则等均采用出入法。&/p&&p&　　举例说明，柯洁对AlphaGo第一局。终局，以中国规则的归本法计，黑棋盘面184子，扣除贴3.75子，余180.25子。再减去归本数180.5子，黑负1/4子。令观众费解的“1/4子”就是这么来的。若以出入法（美国规则）计，黑棋盘面184子，白棋盘面177子。相减后余7子，再扣除贴先7.5子，黑负1/2子。若以数目法计算，黑棋空加上俘虏共71目，白空加俘虏65目，相减得盘面6目。若扣除中国规则对应的7.5目贴目，黑负1.5目。注意到，1/4子和1.5目并不符合“一子=两目”的流行说法。事实上，“一子等于两目”是错的。正确的说法是“归本法的结果恰好是出入法的一半”，与数目还是数子无关。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&1820& src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ef095934feec_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1829& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1829& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ef095934feec_r.jpg&&&/figure&&p&图注：柯洁与AlphaGo对战第一局终局谱面。&/p&&figure&&img data-rawheight=&339& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5abc68b6bd166b2b0322_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1567& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1567& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-5abc68b6bd166b2b0322_r.jpg&&&/figure&&p&表注：不同计算方法得到的结果。&/p&&p&&br&&/p&&p&　　归本法曾因数棋较快速而在中国得到应用。如今科技发展，拍照数子技术已接近成熟，计算胜负的速度应不再是评价的标准。出入法须复查双方得分，比归本法更可靠，也更本质。同时，统一采用归本法不会出现“1/4子”这样让观众迷惑的表述，“一子等于两目”这样甚至让内行迷惑的表述也不会存在。若中国规则再有修订，或可考虑采用出入法计算胜负。&/p&&p&　　下文提到中国规则时，仍会用归本法（如黑贴3又3/4子）表述，请读者注意分辨。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&平衡贴先问题&/b&&/p&&p&　　21世纪初至今，各国棋战维持日韩规则贴6目半、中国系规则（中国、应氏、美国）贴3又3/4子（或7.5点）并行的格局。一目（点）之差，说多不多，说少不少。芈昱廷九段曾在弈城解说，棋到中盘时判断形势说，“这棋如果贴6目半挺细的，7目半黑棋不太好”。这虽然有些夸张，足以体现顶尖棋手对一目棋差距的重视。在大贴目推出的前几年，棋手尚可利用新研发的布局套路发挥黑棋的先手优势，维持胜率均衡。但套路来得快、被拆得也快。在中国流等快速布局被一一破解之后，棋手们愈加觉得黑棋难下。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&346& src=&https://pic4.zhimg.com/v2-cb88d022aac108ebf9c4575d4eae8591_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&589& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&589& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-cb88d022aac108ebf9c4575d4eae8591_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&　　布局虽难下，大部分棋局终究在后半盘分胜负，于是黑棋的胜率不至于差太多。据统计（来源：知乎＠湿猫 ），中国规则2003年来的对局，各年黑棋胜率在47%上下窄幅波动，其中仅有2009年超过50%。相比之下，日、韩贴6.5目的规则胜率较平衡。以go4go网站数据统计2003年至2016年的职业棋战对局，贴6目半的棋黑胜率50.6%，而贴3又3/4子的棋黑胜率47.6%。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img data-rawheight=&112& src=&https://pic2.zhimg.com/v2-817f7b255ea379aafac15e2afb059aa7_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&634& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&634& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-817f7b255ea379aafac15e2afb059aa7_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&　　贴先不公平的问题在AlphaGo出现以后被进一步炒热。AlphaGo Master自战对局，白棋50战38胜，胜率76%。AlphaGo教学工具认为黑棋开局的胜率是47.0%。在棋手和棋迷心中，AlphaGo俨然全知全能的棋神，因此AlphaGo认为不公平的贴目也必须得到改变。更有部分经过深入思考的棋迷认为，棋神左右手互搏得到的结果对应着最公平的贴目。李喆六段也持此观点，并认为中国规则下的最优贴先是3又1/2子。&/p&&p&　　笔者对此有不同意见。&/p&&p&　　正义的规则未必公平。换句话说，对棋神公平的规则不一定对人类棋手公平。倘若围棋之神下凡说，围棋的最优贴目是1子半。但在人类比赛中，贴1子半，黑棋的胜率可达70%。这样的贴目并不公平。最优贴目追求的是“正义”，即围棋的“道”。但对于竞技围棋，“公平”比“正义”更重要。统计上胜率最接近50%，才是最好的贴目值。&/p&&p&　　在实践中还有更重要的一点，即不宜允许和棋。现代围棋比赛的赛制多为淘汰赛。中国规则有贴先2又1/2子的时期为前车之鉴。如果规定贴先三子半，大约会有5%-10%的棋局变为和棋。两位棋手辛辛苦苦比赛一天，和棋。淘汰哪一位？象棋比赛，和棋加赛快棋，再和再加赛超快棋，加赛到分出胜负为止。这一套制度可能不适合围棋。毕竟一盘围棋用时更长，消耗体力更多，万一连续两盘平局，棋手体力吃不消。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&细化贴先&/b&&/p&&p&　　3又3/4子不行，3又1/2子也不行。大概有读者已经急不可耐了，“为什么不效仿胜率平衡的日韩规则，贴3又1/4子呢？” 答案也很简单：现行中国规则，贴3又1/4子约等于贴2又3/4子，相当于日本规则贴5目半，而不是6目半。&/p&&p&　　在正常情况（95%以上的棋局）下，黑棋盘面6目的棋，总是黑棋收后，最后数子结果是黑184子。如果规定贴3又1/4子，相减后余下180又3/4子，多余归本数180.5,获胜的一方仍然是黑棋。而盘面7目的棋，总是白棋收后，最后数子结果仍然是黑184子，白177子。也就是说，中国规则无法区分盘面6目和盘面7目的局面。换句话说，中国规则的贴先调整只能以两目为一个单位，不能进一步细化。&/p&&p&　　日本规则相对于中国规则的最大优势就在于此。当人们认为3又3/4子的贴先比较公平的时候，不能细化贴先不是问题。但现在，我们发现6.5目比3又3/4子公平，细化贴先就成了大问题。我们在前文介绍过，中国规则相比于日本规则逻辑更严谨，有诸多优势。