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导数在经济学中“边际”和“弹性”方面的应用
　　摘 要： 导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。 中国论文网 /9/view-904523.htm　　关键词： 导数 边际 弹性 　　 　　随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部分。导数是微积分中一个重要概念，它是函数关于自变量的变化率。在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题和弹性问题。下面笔者将导数在这两方面的应用介绍如下： 　　一、边际问题 　　在经济学中，所谓“边际”指的是当x的改变量△x→0时，y的相应改变量△y与△x比值 的变化。即当x在某一给定值附近有微小变化时y的瞬时变化，也即=y′（x）则称导数y′（x）是y（x）的边际函数。随着x、y含义不同，边际函数的含义也不一样，一般分为两大类：边际成本和边际收益。 　　1.边际成本 　　设生产某产品的总成本函数为C=C（q），其中q为产量，则边际成本MC=C′（q）。其经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位产品所增加的总成本为C′（q）。 　　在经营决策分析中，边际成本可以用来判断产量的增减在经济上是否合算。 　　例1：某种产品的总成本C（万元）与产量q（万件）之间的函数关系式为： 　　C=C（q）=100+4q-0.2q +0.01q ， 　　求生产水平为q=10（万件）时的平均成本和边际成本，并从降低成本角度看，继续提高产量是否合算？ 　　解：当q=10时的总成本为 　　C（10）=100+4×10-0.2×10 +0.01×10 =130（万元）， 　　平均成本为 =130÷10=13元/件， 　　边际成本MC| =C′（q）| =（4-0.4q+0.03q）| =3元/件。 　　因此在生产水平为10万件时，每增加一个产品，总成本增加3元，比当前的平均成本13元低，从降低成本角度看，应该继续提高产量。 　　由此例可知，若设p为某产品销售单价，当C′（q ）＜p时，意味着扩大生产量是盈利的；而当C′（q ）＞p时，扩大生产量反而亏损。因此，企业的经营者应及时准确了解边际成本的变化情况，并作出正确的科学决策（而不是盲目地一味扩大生产量），从而使企业获得较佳效益。 　　2.边际收益 　　边际收益指稍微增加其种经济活动所带来的利益的增量。实际上就是收益函数瞬时变化率，从数学的角度来看，它是一个导数问题。 　　设收益函数R=R（q），其中q为产量，则边际收益MP=R′（q）。其经济含义是：在销售量为q个单位的基础上，厂商增加一个单位产品△q，销售所获得的总收入的增量。 　　当R′（q）＞0时，总收入将增加R′（q）; 　　当R′（q）＜0时，总收入将减少R′（q）; 　　当R′（q）=0时，总收入不改变。 　　二、弹性问题 　　在经济分析中，会经常用到弹性分析法，弹性是一个十分有用的概念。一般地说，弹性描述的是因变量对自变量的变化的反应程度，具体的说，也就是要计算自变量变化1个百分比，因变量要变化几个百分比，即用弹性系数来表示： 　　弹性系数= 。 　　我们以需求价格弹性为例介绍，其他的类似可得。 　　1.需求价格弹性 　　需求价格弹性表示需求量对价格的反应程度，其弹性系数为： 　　E = 　　= = ， 　　其中Q为某种商品的市场需求量，P为价格。 　　上式计算出的弹性系数代表两点间的一段弹性，故叫弧弹性系数。若△P→0时，由此推出需求曲线任一点弹性系数。即点弹性系数 　　E= = ? =Q′ 。 　　根据需求法则，需求量与价格成反向变动。其经济意义为：当P=P ，若P再增加或减少1%，Q将减少（增加）E%，它反映自变量变化时函数变化的灵敏度。它对市场分析预测和定价策略具有重要参考价值。 　　不同商品的需求弹性相差甚远，按照弹性值的大小，作以下划分： 　　①|E|＞1，称为需求富于弹性; 　　②|E|=1，称为单元弹性; 　　③0＜|E|＜1，称为需求缺乏弹性; 　　④|E|=0，称为需求完全缺乏弹性; 　　⑤|E|→∞，称需求量完全富于弹性。 　　最后两种是极端情况，需求完全缺乏弹性的商品无论价格高低，需求量都不会改变；而需求完全富于弹性的商品价格在现行水平上稍微提高一点点，需求会立即下降至零。在现实生活中，极端情况很少见。下面举一个例子来说明需求价格弹性的经济意义。 　　例2：假设某市场上A、B两公司是生产同种有差异产品的竟争者，且市场上对A、B两公司产品现有需求量已达到饱和，市场上A公司的需求函数为Q =400- P ，B公司的需求函数为Q =300- P ，两公司的销售价格分别为P =400元，P =500元，①求A、B两公司的需求价格弹性并说明其经济意义。②B公司的价格降价到400元时，这种行为选择合理吗？此时，A公司由销售量减少而损失多少？ 　　解：①由，P =400，P =500，得 　　Q =400- ×400=200， 　　Q =300- ×500=200， 　　从而市场上对该产品的饱和需求量为Q +Q =200+200=400。 　　A公司的需求价格弹性E = ? =- ? =-1。 　　由于|E |=1，所以当P =400时，该商品是单元弹性，此时价格上涨1%，将引起需求量下降1%。 　　B公司的需求价格弹性E = ? =- ? =- ， 　　由于|E |= ＜1，所以当P =500时，该商品是需求缺乏弹性，此时价格上涨1%，需求量下降 %。 　　②B公司在P =500时需求价格弹性|E |= ＜1，即需求缺乏弹性，降价会减少销售收入。 　　因为降价前，B公司的销售收入R =500×200=100000，降价后，当P =400时，Q =300- ×400=220，则B公司的销售收入R =400×220=88000。 　　显然R ＜R ，B公司降价减少了它的销售收入，所以对于B公司追求销售收入最大化的目标而言，它降低在经济上是不合理的。 　　另外，降低前A公司的销售收入R =400×200=80000，降价后，由于该产品的饱和需求为400，所以Q =180，则A公司的销售收入R =400×180=72000，损失=8000元。 　　三、结语 　　对于企业来说，进行边际分析和弹性分析是非常重要的，企业如果离开边际分析而盲目生产，就会造成资源的巨大浪费；企业如果离开需求价格弹性分析，就不可能达到利润最大化的目标。导数作为边际分析和弹性分析的工具，可以给决策者提供客观、精确的数据，从而作出合理的决策。 　　 　　参考文献： 　　［1］黄亚钧，郁义鸿.微观经济学［M］.高等教育出版社，2000. 　　［2］中国人民大学数学教研室.微观经济数学应用基础（一）［M］.中国人民大学出版社，1982. 　　 　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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需求价格弹性
需求价格弹性（Price elasticity of demand），简称为价格弹性或，是指对价格变动的反应程度，是的百分比除以价格变化的百分比。需求量变化率对商品自身价格变化率反应程度的一种度量，等于需求变化率除以价格变化率。
需求价格弹性公式
用数学术语就是：
需求价格弹性
= 的百分比÷价格变化的百分比
即需求量变化的百分比除以价格变化的百分比。实际上是负数；也就是说，由于的作用，价格和是呈相反方向变化的，价格下跌，需求量增加；价格上升，需求量减少。因此，需求量和价格的相对变化量符号相反，所以总是负数。由于他的符号始终不变，为了简单起见，习惯上将需求看做为一个正数，因为我们知道它是个负数。
需求价格弹性基本类型
当百分数大于价格变动百分数，需求弹性系数大于1时，叫做需求富有弹性或高弹性；
当需求量变动百分数等于价格变动百分数，需求弹性系数等于1时，叫做需求单一弹性；
当需求量变动百分数小于价格变动百分数，需求弹性系数小于1时，叫做需求缺乏弹性或低弹性。
需求价格弹性定义
需求价格弹性（Price elasticity of demand），简称为价格弹性或需求弹性，需求价格弹性：是指需求量对价格变动的反应程度，是需求量变化的百分比除以价格变化的百分比。需求量变化率对商品自身价格变化率反应程度的一种度量，等于需求变化率除以价格变化率。需求量变化的百分比除以价格变化的百分比。
需求价格弹性因素
的数量和相近程度；一种商品若有许多相近的替代品（比如可乐），那么这种商品的需求价格弹性就大。因为一旦这种商品价格上涨，甚至是微小的上涨，消费者往往会舍弃这种商品，而去选购它的替代品，从而引起需求量的变化。
商品的重要性；一种商品如果是人们生活基本必需品，即使价格上涨，人们还得照样买（比如食盐），其需求弹性就小或缺乏弹性；而一些比非必需的高档商品，像贵重首饰、高档服装等，只有当消费者购买力提高之后才买得起，其需求弹性就大。
商品的多少；一般来说，一种商品的用途越多，它的需求弹性就越大，反之就缺乏弹性。任何商品的不同用途都有一定的排列顺序。如果一种商品价格上升，消费者会缩减其需求，把购买力用于重要的用途上，使购买数量减少，随着价格的降低，会增加其购买数量。
时间与需求价格弹性的大小至关重要。时间越短，商品的需求弹性就越小；时间越长，商品的需求弹性就越大。这是因为在较长的时间内，消费者就越有可能找到替代品，替代物品多了，它的需求弹性就必然增加。
需求价格弹性与总销售收入的关系。需求价格弹性系数的大小与销售者的收入有着密切联系，正是两者之间具有这种联系，才使得需求价格弹性理论更富有实践意义。
需求价格弹性关系
需求价格弹性和总销售收入的关系：的大小与销售者的收入有着密切联系：如果需求价格弹性系数小于1，价格上升会使销售收入增加；如果需求价格弹性系数大于1时，那么价格上升会使销售收入减少，价格下降会使销售收入增加；如果需求价格弹性系数等于1，那么价格变动不会引起销售收入变动。这就是企业实行策略的一个主要理论基础，实行薄利多销策略的一般是富有弹性的商品，因为该种商品的价格下降时，（从而）增加的幅度大于价格下降的幅度，所以增加。
需求价格弹性
需求价格弹性理论的应用：需求价格弹性与收益关系的分析。
总收益也可以称为总收入，指出售一定量商品所得到的全部收入，也就是与价格的乘积，如果以TR代表总收益，Q为销售量，P为价格，总收益的计算公式为：
我们假设也就是销售量，不同商品的不同，价格变动引起的销售量（需求量）的变动不同，从而的变动也就不同。下面我们主要分析需求富有弹性的商品与需求缺乏弹性的商品需求价格弹性与总收益之间的关系。
（一）需求富有弹性的商品需求价格弹性与总收益之间的关系
1、商品价格下降对销售者的总收益变动的影响。如果某种商品的需求是富有弹性的，那么该商品的价格下降时，需求量（销售量）增加的大于价格下降的比率，销售者的总收益会增加。
2、商品价格上升对销售者变动的影响。如果某种商品的需求是富有弹性的，那么当该商品的价格上升时，（）减少的比率大于价格上升的比率，销售者的总收益会减少。
（二）需求缺乏弹性的商品需求价格弹性与总收益的关系
1、商品价格下降对销售者总收益变动的影响。对需求缺乏弹性的商品，当该商品价格下降时，需求量增加的小于价格下降的比率，销售者的总收益会减少。
2、商品价格上升对销售者总收益的影响。如果某商品的需求是缺乏弹性的，那么当该商品的价格上升时，需求量减少的比率小于价格上升的比率，销售者的总收益增加。
需求价格弹性含义
弹性理论的目的在于说明价格变化与（或供给量）的变动比率之间的关系。
的概念：影响需求量的某因素（自变量）的值每变动百分之一，所引起的。即：
一、需求价格弹性
价格的值每变动百分之一而引起需求量变化的百分率。通常，用价格变动的百分率引起需求量变化的百分率来表示。这两个百分率的比值，称为，记为Ed，即：
需求价格弹性Ed的性质
(1) Ed的，不随选用的计量单位而变化。
(2) Ed的数值，可能为正数、负数、等于0或等于1。依赖于有关两个变量是同方向变化，还是反方向变化。
Ed为正还是为负，所表示的仅仅是有关变量变化的方向性关系，而Ep的绝对值的大小则表示了变化程度的大小。有时，为了便于比较弹性值的大小，在等式右端添加一个负号，使其成为正值。通常用绝对值的大小来表示价格变动对的影响程度。当我们说，某产品的需求价格弹性大，即指其绝对值大。
(3) Ed的数值，随商品的不同而不同。即使在同一种商品的一条既定的需求曲线上，也随价格不同而不同。
需求价格弹性Ed的变动范围
(1) Ed=1（单位需求价格弹性）。说明幅度与价格变动幅度相同。即价格每提高1%，相应地降低1%。反之则反是。
特点：等轴双曲线或正双曲线。需求方程：PQ=K（）。
(2) 1&Ed&∝（需求富有弹性）。说明需求量变动幅度大于价格变动幅度（ΔP/P&ΔQ/Q=。即价格每变动1%，需求量变动大于1%。
需求曲线特点：比较平坦（较小）。
(3) 0&Ed&1（需求缺乏弹性）。 说明需求量变动幅度小于价格变动幅度（ΔP/P&ΔQ/Q）。即价格每变动1%，的将小于1%。
特点：较陡（斜率较大）。
(4) Ed→0（需求完全无弹性）。此时，意味着ΔQ/Q=0。在这种情况下，需求状况具有如下特点：不随价格的变动而变动。需求函数的形式为：Q=K（任意既定）。在二维空间图上，需求曲线是一条垂直于横坐标的直线，在横坐标上截距等于K(=Q0)。这表示不管价格怎样变动，需求量总是固定不变。即不管ΔP的如何，ΔQ之值总是为零。这种情况是罕见的。
(5) Ed→∝（需求完全有弹性），此时，ΔP/P→0。在这种情况下，需求状况具有如下特点：在既定价格之下，可以任意变动。需求函数的形式为：P=K（）。将是一条与横坐标平行的直线，与横坐标的距离，既定为常数K（=P0）。这种情况也是罕见的。在现实生活中，自由市场上某些同质的产品，由于竞争的结果，都按同一价格出售，基本属于这类需求曲线的例子。
需求价格弹性需求价格弹性的数学计算
(1) 一般计算法。计算公式为：
根据上述公式计算的弹性值，虽然ΔQ与ΔP的相同，但据以计算价格变动（ΔP/P）的P和据以计算百分率（ΔQ/Q）的Q，在两种场合（价格上升、价格下降）各不相同。就是说，虽然价格变动的绝对值与由此引起的的绝对值相同，只是由于计算的基础不同，所以得出的弹性值也就不同。
为解决上述问题，可采用另一种计算方法。即把计算价格变动的百分率所用价格用变动前后两个价格的算术平均数来代替，而计算需求变动百分率的则用变动前后两个需求量的算术平均数来代替。这样，不管从价格向下降落还是从价格向上提高出发，据以计算变动的P和Q的相同，于是得出的另一种计算方法，即求。
(2) 求弧弹性。 求弧弹性，即要计算上某两点之间一段弧的平均弹性。因而称之为弧弹性系数。如果不知道需求曲线方程，只知道需求曲线上两点的坐标（更多的属于这种情况）。只要在两次数据观察之间，所有别的影响需求的变量保持不变，则可由上式求得弧弹性系数。
需要指出：要使价格向下与价格向上时的Ep一致，取价格的小者，数量的小者为基数，也可得到Ep值相同的结果。
(3) 求 若需求函数为已知，即可根据上式求出任一价格下的点弹性系数。
例：设某商品的需求函数为：Q= 30－5P
∵dQ/dP=－5
∴EP=|-5×P/Q|=5P/(30-5P)
这表明点弹性EP是价格P的函数。
若P=2，则Q=20→EP=0.5
若P=3，则Q=15→EP=1.0
若P=4，则Q=10→EP=2.0
结论：对一个既定的需求函数，在不同的价格之下会有不同的弹性值。
图2-5中，B为中点，当BC=AB时，EP=1；
当BCB→C时，因BC→0，所以EP→0；
当BC&AB时，EP&1，位于B点左上方任一点的弹性系数的绝对值大于1，而且距A点越近的弹性系数，其绝对值越大；
当B→A时，因BA→0，所以EP→∝。
价格弹性与需求曲线的斜率是两个不同的概念，但二者有所联系。价格弹性与需求曲线的斜率ΔP/ΔQ成反比，与P/Q的值成正比。因此，如果需求曲线是一条&a&直线，尽管这条直线上各点的不变，但由于P/Q的值是变动的，所以这条直线上的价格弹性也是变动的。但如果其它条件相同，那么，平坦的需求曲线弹性大，陡的需求曲线弹性小。
（4）需求价格弹性的几何求法
当为直线时，可以证明B点的为BC/AB。
已知价格弹性的公式为：
ΔQ=LM=GH；Q=OL；
ΔP=EF=BG；P=OE。
代入①式得：
Ep= —— · —— ②
∵ΔBGH～ΔBLC，BL=OE
∴——=——=——
代入②式得:
LC OE LC BC
Ep=—— · ——=——=——
OE OL OL AB
∵ΔAEB～ΔBLC （BE=OL）
LC BC LC BC
∴——=—— ——=——
BE AB OL AB
5、Ep与TR之间的关系
TR不变 TR增加
TR不变 TR减少
Ep&1时，P、TR反方向变动；
Ep&1时，P、TR同方向变动。
需求价格弹性政策含义
需求价格弹性的政策含义： 如果需求是富于弹性的，涨价后收入反而下降，因为下降的速度要大于价格上涨的速度；如果需求是缺乏弹性的，那么涨价可提高厂商收入，因为需求量下降的速度要小于价格上涨的速度；如果弹性正好为1，则厂商收入不变，因为需求量下降的损失正好抵消了价格上涨的收益。所以，在厂商制定价格时，必须考虑有关商品的情况。
若Ep&1，采取提价政策；
若Ep&1，采取政策。
价格弹性与销售收入之间的这种简单而又重要的关系，被广泛地运用于产品和对外贸易之中。例如，对于一个谋求最大利润的企业来说，决不会选择在其缺乏弹性的区间降价。因为这样做一方面虽可使增加而增加了销售收入，但另一方面却因价格降低而减少了销售收入，最终净结果将因产品缺乏弹性而使销售收入减少。而且，销售数量的增加又会导致生产成本的上升，其结果必然是利润的急剧下降。
需求价格弹性因素
影响需求价格弹性的因素：
(1) 商品是生活必需品还是奢侈品。必需品弹性小，奢侈品弹性大。
(2) 可替代的物品越多，性质越接近，弹性越大，反之则越小。如毛织品可被棉织品、丝织品、化纤品等替代。
(3) 购买商品的支出在人们收入中所占的比重大，弹性就大；比重小，弹性就小。
(4) 商品的广泛性。一种商品的用途越广泛，它的越大，反之越小。
(5) 时间因素。同样的商品，长期看弹性大，短期看弹性小。因为时间越长，消费者越容易找到或调整自己的消费习惯。
需求价格弹性实例
需求价格弹性应用举例
需求价格弹性用于价格和销售量的分析和估计
例1、某国为了鼓励本国石油工业的发展，于1973年采取措施限制石油进口，估计这些措施将使可得到的石油数量减少20%，如果石油的需求价格弹性在0.8—1.4之间，问从1973年起该国石油价格预期会上涨多少？
解：∵=/价格变动百分率
∴价格变动%=需求量变动%/需求的价格弹性
当价格弹性为0.8时，价格变动%=20%/0.8=25%
当价格弹性为1.4时，价格变动%=20%/1.4=14.3%
所以，预其1973年该国石油价格上涨幅度在14.3—25%之间。
需求价格弹性用于决策分析
价格弹性对有些是很有用的。例如，怎样给出口物资定价？如果出口的目的在于增加外汇收入，那么对价格弹性大的物资应规定较低的价格，而对弹性小的物资应规定较高的价格。又例如，为了提高生产者的收入，人们往往对农产品采取提价的办法，对电视机、洗衣机、手表等高级消费品采取的办法，就是因为前者弹性小，后者弹性大。
需求价格弹性用于分析“谷贱伤农”这一经济现象
案例：有人说，气候不好对农民不利，因为谷物歉收，会减少农民的收入。但也有人说，气候不好反而对农民有利，因为农业歉收后谷物价格会上涨，农民因此而增加收入。试运用所学对这两种说法给予评价。
分析：评价气候不好对农民是否有利，主要看农民的农业收入在气候不好的情况下如何变动。气候不好对农民的直接影响是农业歉收，即农产品的供给减少，这表现为农产品的向左上方移动。如果此时市场对农产品的需求状况不发生变化，即保持不变，那么农产品供给的减少将导致的上升。
一般来说，人们对农产品的需求是缺乏弹性的，由与销售总收入的上升之间的关系可知，此时农民的农业收入将随着均衡价格的上升而增加。因而在需求状况不因气候不好发生变化并且对农产品需求缺乏弹性的情况下，气候不好引致的农业歉收对农民增加收入是有利的。 当然，若需求状况也同时发生变化，或者需求不是缺乏弹性，那么农民将不因气候不好而得到更多的收入。由上述分析可知，对这一问题的回答应该首先对农产品的及需求状况做出，而不能笼统地下判断。君，已阅读到文档的结尾了呢~~
数学之美 2006年7月第1期 弹性理论在经济学中的应用 经济学院 国际经济与贸易系 董秋林 0311971 摘 要：本文首先阐述了数学中弹性理论的基本概念，并以需求价格弹性为例描述了弹性在经济学中的应用，在此基础上进一步分析了将弹性理论引入经济分析的重要意义。 关键词: 弹性，经济，需求弹性，应用 一、弹性理论的数学涵义 弹性作为一个数学概念是指相对变化率，用比例来说，是自变量变化1%所引起因变量变化的百分数，因而弹性是..
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弹性理论在经济学中的应用
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