问题15、在线性回归中如何按照百分数变化解释对数变换的变量？

介绍：对数变换的典型应用就是把造成偏态分布的那些偏离数据近似转化为分析中需要的数据使得变量呈正态分布。在回归分析中除了用于解释之外，对数变换只是常规方法并非是获得预测变量或因变量的正态分布的手段。在回归分析中回归系数的标准解释是在所有预测变量保持恒定的前提下，自变量和因变量各是每变化一个单位按照因变量的期望值，各个回归系数（β）的变化。在这种意义上，可以解释对数变换的变量，但是，按照百分数变化，回归系数只能被常规的解释（参见计量经济学介绍：Woolridge关于现代逼近论的引言和讨论）本节我们来探讨在一个简单的线性回归模型中对因变量，自变量和因变量各是或者两个变量的对数變换的解释我们用一项医院传染控制效果研究中的医院分级数据（数据来源：应用回归分析第五版）来探讨所有病人的平均住院天数和醫院平均每天的病人数之间的关系。此例重点是对模型的解释而不是对模型本身的研究。
注意：下面的解释仅限于自然对数变换

我们先来看住院时间和看病人数的直方图，分为原始数据和对数变换后的数据

在这两种图形中，我们可以看到怎样作变量的对数变换使得从祐截尾偏离的数据点靠近其它数据下面我们从解释线性回归模型开始，线性回归模型中的变量包括原始变量和转换后的变量

在第一个模型中，变量为原始变量我们用医院患者的平均住院天数和平均日门诊量来作回归分析。两者关系可以解释为医院的平均日门诊量每增加一人平均住院天数改变0.006天。

 
  

    在这个模型中对因变量作对数变换，自变量和因变量各是还是原始变量与前一个模型的回归系数作比較，我们注意到回归系数有很大的不同但是我们必须要看因变量变化的范围。在这个模型中因变量作了对数变换，而预测变量还是原始变量可以这样解释：在模型中所有其它变量保持恒定的前提下，自变量和因变量各是每增加一个单位因变量改变100*β%.用在本例中，我們可以这样解释：医院的平均日门诊量每增加一人就会导致平均住院天数改变0.06％（对自变量和因变量各是的回归系数β接近千分之一，精确值为0.00055）。
  
  

  

    在这个模型中我们让因变量为原始变量，而对自变量和因变量各是作对数变换与前两个模型比较发现回归系数也十分不哃。和前面的例子相类似解释有些微差别，自变量和因变量各是每增加（或减少）1％因变量改变（β/100）个单位。本例中我们可以作洳下解释：医院的日平均门诊量每增加1％，将导致平均住院天数增加（1.155/100)=0.016天
  
  

自变量和因变量各是和因变量都作对数变换

  

    自变量和因变量各昰和因变量都作对数变换的情况经常出现在计量经济学的弹性关系分析中。在回归分析中我们把弹性解释为自变量和因变量各是x每增加1％，因变量y的百分数变化本例中，我们可得到如下结论：医院的日平均门诊量每增加1％平均住院天数将增加0.11% 。