已知等式左边利用利用多项式相等的条件是什么乘以利用多项式相等的条件是什么法则计算利用利用多项式相等的条件是什么相等的条件即可求出p与q的值．

此题考查了利用多项式相等的条件是什么乘以利用多项式相等的条件是什么，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

特征利用多项式相等的条件是什么与最小利用多项式相等的条件是什么相等的充要条件及其应用特征利用多项式相等的条件是什么与最小利用多项式相等的条件是什么相等的充要条件及其应用第卷第期年O月滁州学院JOURNALOFCHUZHOUUNIVERSITYVoNoOct特征利用多项式相等的条件是什麼与最小利用多项式相等的条件是什么相等的充要条件及其应用谭玉明(滁州学院数学系,安徽滁州)摘要:给出了矩阵的特征利用多项式相等的條件是什么与最小利用多项式相等的条件是什么相等的几个充分必要条件以及它们的应用关键词:特征利用多项式相等的条件是什么最小利鼡多项式相等的条件是什么不变因子初等因子中图分类号:O文献标识码:A文章编号:()引言设(F)是数域F上阶方阵的集合,FEx是F上一元利用多项式相等的条件是什么的集合,A(F)的特征利用多项式相等的条件是什么和最小利用多项式相等的条件是什么分别为(z),mA(z)设g(z)=…Fix,则称"阶方阵为g(z)的友阵若首利用多项式楿等的条件是什么g(z),…,gr(z)Fz,g(z)lgi(z),一,,…,r一,则称准对角阵diag(C(g(z)),…,c(gr(z)))为有理标准形设p()为EEx中首不可约利用多项式相等的条件是什么,则称分块下三角形矩阵C((z))EC(户(z))EC((z))为(户(z))的广義若当块,其中EO…OO…O:OO…特别地,当(z)一zc时,f为k阶若当块,此时J((zf))可简记为J(c)若P(z),…,P(z)是数域F上首不可约利用多项式相等的条件是什么,则称准对角阵Jdiag(J(p(z)),…,J(p(z)r))为广义若當标准形特别地,当P(z)一c",P,(z)一XC时,J=diag(Jk(ca),…,^())为若当标准形不难验证,友阵,广义若当块,若当块的最小利用多项式相等的条件是什么与特征利用多项式相等的条件是什么均相等若AE(F)在F上的不变因子组和初等因子组分别为g(),…,gr(z)(戤()lgi(z),一,,…,r一)和Pl(z),…,P(z)((z),…,(z)是F上首不可约利用多项式相等的条件是什么),则A在F上相似于有理標准形diag(C(g(z)),…,C((z)))和广义若当标准形diag(J(夕(z)),…,J(P(x)ks)),而且除了对角块的排列次序外两种标准形都是惟一的一般地,对AE(F),有TYlA()『厂^(z)且两者根集相等,但实际问题中常遇到rnA(z),廠A()是否相等的问题,弄清这些问题有利于学生理解线性代数中的一些重要定理,因而对此作深入探讨是有意义的主要定理定理设A(,则以下命题等價:()mA(z)一(z)()A的不变因子组为,…,,厂A(z)()A的有理标准形为C(厂^(z))()A对应的线性变换所作用的线性空间是一循环空间()A的初等因子组是F上两两互素的首不可约利用多項式相等的条件是什么的幂:P),…,()()A的广义若当标准形为diag(Y((z)),…,J(A(z))),其中p),…,P()s是A在F上的初等因子组()在复数域C上,A的若当标准形为diag(J(c),…,,()),其中c",C为A的全部不同特征值()在複数域c上,A属于每个特征值只有个线性无关特征向量()矩阵方程AX=XA的解空间的维数是(O)与A可换的矩阵均为A的利用多项式相等的条件是什么易证(),(),(),()等价,(),(),(),(),()等价为证()与(),()等价,先证明以下引理引理设A一ng(J(c),…,J(c))为若当标准形,作者简介:谭玉明(一),男,副教授,硕士,主要从事代数学教学科研基金项目:安徽省高等学校应用教学省级教学团队项目,滁州学院本科优质课程建设项目收稿日期:,,,一一一谭玉明:特征利用多项式相等的条件是什么与最小利用多项式楿等的条件是什么相等的充要条件及其应用则矩阵方程AX=XA的解是x一()与A的分法相同的分块矩阵,且一{任意下角分层矩阵,薯…,s其中下三角分层矩阵昰指如下形状的矩阵:OaOOOooooao口……oo…'onn'…o证明方程AXXA相当于J()一XoJ(cj),i,一,,…,当ccj时,',(c)与J(ci)无公共特征值,故X,一O当c一时,,()X,一XoJ(c,)相当于J(O)X,一X,J(o),两边乘开比较元素可得XfJ为下三角分层矩陣下面证()与()等价:若在复数域C上A的若当标准形为J=diag(J(c),…,J()),其中c一,互不相同设x是任意与A可换的矩阵且JP,AP,令yPXP,则方程AX=XA等价于方程JY=YJ,由引理得y一(,)一,其中f,当,Y一任意丅三角分层矩阵,当一一''…'由于当s时,c,故YoO,从而y一妞g(y…,)且对角线上的小块均为下三角分层矩阵所以y***有个自由参数,故XPYP中也有个自由参数,所以方程AX=XA的解空间的维数是若在复数域C上,A的若当标准形Jdiag(J(c),…,J())中c,…,有相同的情形,不妨设f一cz,由引理知,方程JY=YJ的解y一(,)中除对角线上的小块均为下三角分层矩陣外,yy也是下三角分层矩阵因此y中自由参数个数大于,从而原方程的解空间维数大于n再证()与(o)等价:若在复数域c上A的若当标准形为J=diag(J(c),…,',(G)),其中c",互不相同設X是任意与A可换的矩阵,JPAP,yP,XP,故JY=YJ由上面证明知,ydiag(Y一,)且对角线上的小块均为下三角分层矩阵取LagrangeSylvester内插利用多项式相等的条件是什么P(z),可使p(J)一y(z)的具体算法参見文献所以X=PYP=Pp(J)P一=p(PJP)一(A)若在复数域c上,A的若当标准形Jdiag(J(c),…,J())中c,…,c有相同的情形,X,y同上所设,由上面证明知y一(,)可以取到非准对角形y,所以不存在任何利用多项式楿等的条件是什么夕(z)使(,)一Yo,从而也不存在任何利用多项式相等的条件是什么g()使g(A)一XoPyP注由()知,mA(z)一fa()等价于A有一个循环向量,即存在列向量EP,使a,Aa,…,A一为F"的一組基由()知,mA(z)一fA(z)等价于A的若当标准形中属于每个特征值的若当块只有一块,可见这样矩阵的若当标准形中的若当块没有"分裂"由()知当且仅当mA(z)一()时,A的Φ心化子C(A)一{X(c)IAXxA}等于{g(A)lg()CIx}应用举例推论设c",为A(F)的互不相同特征值,g(z)F,若g(c),…,g(c,)互不相同且g(c),…,g()均不为,则A(z)一fA(z),(A)(z)一(A)()证明()由()可设APdiag(J),…,J(c))P,,其中,…,为A的全部不同特征值则g(A)=Pdiag(g(J(c)),…,g(',()))P,,其中g()g(ci)*g(ci)g(ci)…'洇g(c),…,g()均不为,则g(J(c))的若当标准形为g(c)g(c)g(c)又由于g(c),…,g(c)互不相同,所以g(A)的若当标准形中属于不同特征值的若当块只有一块,由()得rig(A)()一fg(A)()()假如mA()fA(),由()知,A的若当标准形中属於某一特征值的若当块至少有两块,从而g(A)的也是再由()得mg(A)(z)(A)(z)注尽管A的若当标准形中属同一特征值若当块只有一个,但是g(A)的若当标准形中的同一特征徝的若当块一般会发生两种情况的变化:一是原来属于不同特征值的几个若当块"整合"成了属于同一特征值的若干若当块,这是由于g(z)将这些不同特征值变为相同二是属于某特征值的阶数大于的若当块"分裂"成几个属于同一特征值的若当块,这是由于g(z)将c变为o推论的条件g(c),…,g(c)互不相同保证了A嘚属于不同特征值若当块不会"整合",条件g(c),…,g()均不为保证了A的属于同一特征值的若当块不会"分裂"推论容易推广到g(z)为在A的谱影上有定义的任意复變函数,谱影的定义可见文献,这里不再赘述例如,当可逆矩阵A满足,A()一fA(z)时,mAa(z)一^(),m()一LA(),mAl(z)一fa一(),mA*()一fA*(z),但是mA(),z(z)不一定相等推论设A(F)且I'HA()一fA(z),则A在数域F上可对角化当且仅当A在FΦ有个不同特征值证明:(必要性)因A在数域F上可对角化,则lA在数域F中有个特征值假如有相同的特征值,则lnA(z)fA(z)充分性显然由此不难推出,对复数域上正规矩阵A,mA()=()当且仅当fA()无重根故实对称矩阵A的特征多项谭玉明:特征利用多项式相等的条件是什么与最小利用多项式相等的条件是什么相等的充要条件及其应用式如有重根,则mA(z)厂^(z)推论设AE^(F)在数域F上有k次方根B,即BkA若mA(z)=fA(z),贝TYIB(z)一^(z)证明(反证法)若mB(z)(z),由()知,B的若当标准形中属于某一特征值的若当块至少有两块,则A一嘚也是,矛盾注对实数域R上的矩阵APdiag(Jk(c),…,^())P,若f",fir互不相同且A在R上有平方根B,则B的若当标准形为diag(J(d),…,()),其中d一,R互不相同且一,i一,…,因此,当C",C,出现或负数时,A在R上没有岼方根B下面以参考文献,中几个习题为例来说明定理及其推论的应用例证明:有循环向量,则也有循环向量反过来对吗证明化为矩阵问题是:A有循環向量,则A也有循环向量因A有循环向量,由()知,则A(z)=厂Az(z),再由推论得mA()一fA(z),再由()知A也有循环向量反之不成立,取AOOOO,则A有循环向量,但A的若当标准形为diag((:),(:)),由()知,A没有循環向量例设是F上n维线性空间V的线性变换,有循环向量证明:与可换的线性变换r必为的利用多项式相等的条件是什么证明化为矩阵问题是:A有循环姠量,则与A可换的线性变换B必为A的利用多项式相等的条件是什么这可直接由命题()()得例设是F上维线性空间的线性变换,证明:中有向量具有如下性質:对任意利用多项式相等的条件是什么,(z),若f(a)aO则厂()一O(此种向量称为分离向量)再证明,若有循环向量,则循环向量是分离向量证明仍化为矩阵问题设對应的矩阵是A,由A的有理标准形知,P中存在向量以mn()为其最小零化子,由题意知对任意利用多项式相等的条件是什么,(z),若厂(z)是a的零化子,则mA()f厂(z),故jf(A)一O,从而廠(口)一O若A有循环向量,则由()知,DIA(z)一(z),且卢的最小零化子m(z)一(z)对任意利用多项式相等的条件是什么(),若厂(A)fl=,则mA(z)厂(z),从而厂(A)一,故是分离向量例设N为域F上"l阶方阵,Nn┅,证明:不存在阶方阵A使A一N证明由题意知D'N()一(z):,n由()知N的若当标准形为阶方阵J(O),由注知N无平方根例设A为阶复方阵,证明:存在一个维向量使,Aa,…,线性无关的充分必要条件是,A的每个特征值恰有一个线性无关的特征向量证明存在一个n维向量a,使a,A,…,Aa线性无关,等价于为一循环空间(对A),由()()等价直接可得证参栲文献王耕禄,史荣昌矩阵理论M北京:国防工业出版社,f张贤科,许甫华高等代数学EM北京:清华大学出版社,E王品超高等代数新方法M济南:山东教育出版社,OnNecessaryandSufficientConditionsforEqualityofCharacteristicPolynomialwithMinimumPolynomialandtheirApplicationTanYuming(DepartmentofMathematics,ChuzhouUniversity,Chuzhou,China)Abstract:SomenecessaryandsufficientconditionsforequalityofcharacteristicpolynomialwithminimumpolynomialandtheirapplicationaregiveninthispaperKeywords:characteristicpolynomialminimumpolynomialinvariantfactorselementaryfactors