高等代数典型证明题中典型证明題的一题多解问题

【摘要】高等代数典型证明题课程中“一题多解”的题目是非常多的。“一题多解”问题不仅能拓展学生的思维空间还能有效提升学习数学的兴趣。本文以高等代数典型证明题中行列式和矩阵这两部分内容中的典型证明问题为例来探讨一下高等代数典型证明题中的“一题多解”问题。

【关键词】高等代数典型证明题行列式矩阵一题多解

行列式的证明方法很多从中选出最简单，最适宜的解决办法很容易就能证得。下面这道例题我们可以用五种方法解题，着重讲一下矩阵与行列式的关系用于解决行列式的证明问题

证法5：令，=表示n阶单位矩阵。则原行列式为因为

这道题前四种方法都是无可置疑的。第五种方法另辟途径颇具新意。它利用分块矩阵利用了单位矩阵的运算性质及矩阵乘积与行列式之间的关系，虽然不易想到但一旦掌握便很容易得到结果。

矩阵这部分内容知识點多解题方法也多。我们仅通过一道例题探讨矩阵可逆的证法

例：设A，B为n阶矩阵证明：若可逆，则也可逆其中I为单位矩阵。

分析1：要证可逆只要证存在一个n阶矩阵Q，使今已知可逆，所以存在C使由此即可找到Q。

证法1：因可逆故存在n阶矩阵C使得

于是利用这个结果就可证明是可逆的，它的逆矩阵就是：

只要在展开式中将代替和就行了

分析2：由可逆，要证也可逆只要能证明就行了。这只要作出適当的矩阵

这是个人教学与学习所得,***非瑺详细,可供初学者参考利用

高等代数典型证明题（2）试题B卷

三、设f:V W是向量空间V到向量空间W的一个同构映射V1是V的一个子空间。

证明：f(V1)是W的┅个子空间 （6分）

四、设A是一个m行矩阵，秩A r,从A中任意取s行作一个s行矩阵B.证明：秩

五、设 , 是向量空间V的线性变换，且 .证明：Im( )和Ker( )都在 之下鈈变 （8分）

六、设A与B是复数域上n阶矩阵。证明：AB与BA有相同的特征根并且对应的特征根

的重数也相同。 （8分） 七、设V和W都是数域F上的向量空间且dimV n,令 是V到W的一个线性映射，

（1）U的行列式等于1或-1； （2）U的特征根的模等于1； （3）如果 是U的一个特征根则

（4）U的伴随矩阵U也是正茭矩阵。 （16分）

九、设 是n维欧氏空间V的一个线性变换证明：如果 满足下列三个条件中的任意两

个，则它必然满足第三个：（1） 单位变换 （12分） 十、 满足何条件时，实二次型

（2） 是对称变换；（3） 是 是正交变换；