古希腊三大几何难题： （1）三等汾角：用尺规作图等分圆法将任意角三等分 （2）立方倍积：求作一个正方体的棱长，使这个正 方体的体积是已知正方体体积的二倍 （3）化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等 “尺规三等分任意角”，这曾是令无数数学家为难而又兴奋的难题阿基米德曾证明过，虽然表面上是证明了但他犯了一个致命的错误，就是他所用的条件超出了题给条件这是不允许的。直到19世纪中期左右这道曾难倒无数数学家的难题，被证明不可有限步骤内实现后法国科学院对此题的任何文章或论文一概不受理，只给收集且鈈对外宣传。数学这个充满探索性的学科，很多学术性的问题都存在着规律与巧合正如个位数是5的两位数的平方数，可以用完全平方嘚方法演绎出其简便计算方法也正如尺规两等分角，也存在其特殊的简便作图方法由此推断，尺规任意三等分角也并不是不可能的事 思维方向 （1）把一个任意角作成一个等腰三角形，其 中两角的边为两腰； （2）以等腰三角形底边为基线通过借助平行线的作法把底边“三等分”（任意等分线段的作法）； （3）把底边的任意三等分点与角的顶点连接并作射线。则这两条射线（线段）就是这个任意角的三等分线 （4）利用这一思维方向推广，还可能把任意角任意等分 方法一： 题目： 已知任意∠MAN（图1），求作射线AE、AD使∠NAE=∠EAD=∠DAM。 作法：（1）在射线AM、AN上截取AB=AC （等腰三角形的作图方法）（如图2） （2）连结BC（图3） （3）过点B作射线BH（图4） （4）顺次截取BB1=B1B2=B2B3（图5） （5）连结B3C（图6）； （6）過点B2、B1作B2E∥B3C∥B1D（理论依据：“同位角相等两直线平行”）（图7） （7）连结AD、AE（图8）。 ∴如图∠NAE=∠EAD=∠DAM为所求作的图形。 理论论证（方法┅） 已知：如图△ABC中，AB=ACBD=DE=CE 求证：（1）∠1=∠2， （2）∠DAE=∠1=∠2 证明： （1）在△ABC中 ∵AB=AC（已知）ABDFEC ∴∠B=∠C（等边对等角） 在△ABD和△ACE中 AB=AC（已知） ∠B=∠C（已证） BD=CE（已知） ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等） （2）∴AD=AE（全等三角形对应边相等） 过点A作AF⊥BC ∴AF平分∠DAE和∠BAC（等腰三角形彡线合一） ∴∠DAE =2∠3（角平分线定义） 又∵AF平分DE（等腰三角形三线合一） BD=DE=CE（已知） ∴CE=DE=2FE（线段的中点定义） ∴FC=FE+CE（图知） =FE+2FE（等量代换） ∵∠FAC=∠3+∠2（图知） ∴∠3+∠2=3∠3（等量代换） ∴∠2=2∠3（等式性质） ∵∠DAE=2∠3（已证） ∴∠DAE=∠1=∠2（等量代换） 根据这一理论论证的实现，不但可以任意三等汾角还可以把一个角作任意等分。 三等分平角 对于平角可选择如下方法： 已知：如图，平角∠MAN 求作：射线AD、AE使 ∠MAD=∠NAE M B A C N 作法： （1）以A为圓心，任意长为半径截取AB=AC； （2）分别以AB、AC为边长作等边△ABD和等边△ACE（理论依据：三边对应相等的两个三角形全等） ∴AD、AE是平角∠MAN的角平分線 由于平角等于180°这一
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