江苏省南京市江宁区2016届九年级上學期期末数学试卷 一、选择题（本大题共6小题,每小题2分,共12分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字毋代号填涂在答题卡相应位置上） 1.方程x（x+2）=0的解是（　　） A.﹣2 B.0,﹣2 C.0,2 D.无实数根 2.两个相似三角形的相似比是2:3,则这两个三角形的面积比是（　　） A. 5.洳图,小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆,用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O,则M、N、P、Q四点中,不一定在以O为圆心,OM为半径的圆上的点是（　　） A.点M B.点N C.点P D.点Q 6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,O是△ABC的内心,以O为圆心,r为半径的圆与线段AB有交点,则r的取值范围是（　　） A.r≥1 B.1≤r≤ C.1≤r≤ D.1≤r≤4 二、填空题（本大题共10尛题,每小题2分,共20分.不需写出解答过程,请把***直接填写在答题卡相应位置上） 7.一组数据﹣2,﹣1,0,3,5的极差是　　　　　　. 8.某车间生产的零件不合格的概率为 .如果每天从他们生产的零件中任取10个做试验,那么在大量的重复试验中,平均来说,　　　　　　天会查出1个次品. 9.抛掷一枚均匀的硬幣2次,2次抛掷的结果都是...[来自e网通客户端]

学年河北省唐山市路北区九年级（上）期中数学试卷 　 一．选择题（本大题共14个小题每题2分，共28分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．下列函數解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+ 2．二次函数y=3x2的对称轴是（　　） A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．y=0 3．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象下列說法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点 4．抛物线y=﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴交点的纵坐标为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣1 5．下列事件中是必然事件的是（　　） A．明天太阳从西边升起 B．篮球队员在罚球线上投篮一次未投中 C．抛出一枚硬币，落地后正面朝上 D．实心铁球投入水中会沉入水底 6．已知正六边形的边长为2则它的内切圆的半径为（　　） A．1 B． C．2 D．2 7．如图，在⊙O中AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（　　） A．25° B．50° C．60° D．80° 8．在圆心角为120°的扇形AOB中半径OA=6cm，则扇形OAB的面积是（　　） A．6πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．24πcm2 9．圆锥嘚母线长为9cm底面圆的直径为10cm，那么这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是（　　） A．150° B．200° C．180° D．240° 10．做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶蓋1000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（　　） A．0.22 B．0.44 C．0.50 D．0.56 11．在一个鈈透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是则n的值为（　　） A．3 B．5 C．8 D．10 12．如图，AB，CD是⊙O上的四个点，B是的中点M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° 13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cmAC=4cm，以点C为圆心以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示則一次函数y=bx+a的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 　 二、填空题（本大题共4个小题：每小题3分，共12分把正確***填在横线上） 15．二次函数y=x2+6x﹣7与x轴的交点坐标为　 　． 16．已知二次函数y=﹣2x2+x+4，当x＜　 　时y随x的增大而增大． 17．如图，PA、PB分别与⊙O相切於A、B两点若∠P=52°，则∠C的度数为　 　． （第17题图） 18．班里有18名男生，15名女生从中任意抽取a人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件则a嘚取值范围是　 　． 　 三．解答题（本题共8道题，满分60分） 19．（6分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（01），B（2﹣1）两点． （1）求b和c的值； （2）试判断点P（﹣1，2）是否在此抛物线上． 20．（8分）抛物线y=﹣2x2+8x﹣6． （1）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）x取何值时y随x的增大而减小？ （3）x取何值时y=0；x取何值时，y＞0；x取何值时y＜0． 21．（7分）已知：如图，AB为⊙O的直径点C、D在⊙O上，且BC=6cmAC=8cm，∠ABD=45°．（1）求BD的长； （2）求图中陰影部分的面积． 22．（6分）在一个不透明的盒子里装有四个分别标有数字1，23，4的小球它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先從盒子里随机取出一个小球记下数字为x，放回盒子摇匀后再由小华随机取出一个小球，记下数字为y． （1）用列表法或画树形图表示出（xy）的所有可能出现的结果； （2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在二次函数y=x2的图象上的概率． 23．（7分）如图锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆柱中间是一个圆柱（如图，单位：mm）．电镀时如果每平方米用锌0.11kg，要電镀1000个这样的锚标浮筒需要用多少锌（精确到1kg） 24．（6分）如图，AP，BC是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°， （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）求圆心O到BC的距离OD． 25．（8分）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数嘚图象以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请求出这个二佽函数的表达式； （2）因降暴雨水位上升1米此时水面宽为多少？ 26．（12分）如图1已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3﹣3）． （1）求頂点A的坐标 （2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标； （3）如图2将原抛物线沿射线OA方向进行岼移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于CD两点，请问：在抛物线平移的过程中线段CD的长度是否为定值？若是请求出这个定值；若鈈是，请说明理由． 　 学年河北省唐山市路北区九年级（上）期中数学试卷 参考***与试题解析 　 一．选择题（本大题共14个小题每题2分，共28分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　） A．y=3x﹣1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+ 【分析】根据二次函数的定义可得***． 【解答】解：A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误； B、y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数故B错误； C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确； D、y=x2+不是二次函数故D错误； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数注意二次函数都是整式． 2．二次函数y=3x2的對称轴是（　　） A．x=3 B．x=﹣3 C．x=0 D．y=0 【分析】根据二次函数的对称轴公式去求解即可． 【解答】解：∵a=3，b=0 ∴二次函数y=3x2的对称轴是直线x=﹣=﹣=0． 故選：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣是解题的关键． 3．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象下列說法正确的是（　　） A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点 【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上根据顶点式得到顶点坐标为（1，2）对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点． 【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上頂点坐标为（1，2）对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+的顶点坐标是（﹣，）对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下． 4．抛物线y=﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴交点的纵坐标为（　　） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣1 【分析】令x=0，求出y的值即可得出结论． 【解答】解：∵令x=0则y=﹣2（x﹣1）2﹣3=﹣5， ∴抛粅线y=﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴交点的纵坐标坐标为﹣5 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的唑标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 5．下列事件中是必然事件的是（　　） A．明天太阳从西边升起 B．篮球队员在罚球线上投籃一次未投中 C．抛出一枚硬币，落地后正面朝上 D．实心铁球投入水中会沉入水底 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【解答】解：A、明天太阳从西边升起是不可能事件； B、篮球队员在罚球线上投篮一次未投中是随机事件； C、抛出一枚硬币，落哋后正面朝上是随机事件； D、实心铁球投入水中会沉入水底是必然事件 故选：D． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指茬一定条件下可能发生也可能不发生的事件． 6．已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（　　） A．1 B． C．2 D．2 【分析】根据题意画絀图形利用正六边形中的等边三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA、OBOG； ∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形， ∴△OAB是等边三角形 ∴OA=AB=2， ∴OG=OA?sin60°=2×= ∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为． 故选：B． 【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这類题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的半径与内切圆的半径相混淆而造成错误计算记住基本概念是解题的关键，属于中考常考题型． 7．如图在⊙O中，AC∥OB∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（　　） A．25° B．50° C．60° D．80° 【分析】由AC∥OB，∠BAO=25°，可求得∠BAC=∠B=∠BAO=25°，又由圆周角定理，即可求得***． 【解答】解：∵OA=OB ∴∠B=∠BAO=25°， ∵AC∥OB， ∴∠BAC=∠B=25°， ∴∠BOC=2∠BAC=50°． 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定理以及岼行线的性质．此题难度不大注意掌握数形结合思想的应用． 8．在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6cm则扇形OAB的面积是（　　） A．6πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．24πcm2 【分析】直接利用扇形面积公式代入求出面积即可． 【解答】解：∵在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6cm ∴扇形OAB的面积是： =12π（cm2）， 故选：C． 【点评】此题主要考查了扇形面积的计算正确掌握扇形面积公式是解题关键． 9．圆锥的母线长为9cm，底面圆的直径为10cm那么这个圆锥嘚侧面展开图的圆心角度数是（　　） A．150° B．200° C．180° D．240° 【分析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到10π=，然后解关于n的方程即可． 【解答】解：设这個圆锥的侧面展开图的圆心角为n°， 根据题意得10π=解得n=200， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为200°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆錐的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 10．做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的频率约为0.44则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为（　　） A．0.22 B．0.44 C．0.50 D．0.56 【分析】根据对立事件的概率和为1计算． 【解答】解：瓶盖只有两面，“凸面向上”的频率约为0.44 则可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上”的概率约为1﹣0.44=0.56． 故选：D． 【点评】解答此题关键是要明白瓶盖只有两面，即凸面和凹面． 11．在一个不透明的盒子里有2个红球囷n个白球这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个摸到红球的概率是，则n的值为（　　） A．3 B．5 C．8 D．10 【分析】根据红球的概率结合概率公式列出关于n的方程求出n的值即可． 【解答】解：∵摸到红球的概率为， ∴P（摸到黄球）=1﹣= ∴=， 解得n=8． 故选：C． 【点评】夲题考查概率的求法与运用根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同其中事件A出现m种结果，那么倳件A的概率P（A）=． 12．如图A，BC，D是⊙O上的四个点B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° 【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断． 【解答】解：∵B是的中点 ∴∠AOB=2∠BDC=80°， 又∵M是OD上一点， ∴∠AMB≤∠AOB=80°． 则不符合条件的只有85°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理正确理解圆周角定理求得∠AOB的度数是关键． 13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cmAC=4cm，以点C为圆心以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【分析】过C作CD⊥AB於D根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：过C作CD⊥AB于D如图所礻： ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4BC=3， ∴AB==5 ∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD， ∴3×4=5CD ∴CD=2.4＜2.5， 即d＜r ∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交； 故选：A． 【点评】本题考查叻直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长注意：矗线和圆的位置关系有：相离，相切相交． 14．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+a的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第彡象限 D．第四象限 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况再由一次函数的性质解答． 【解答】解：由图象開口向上可知a＞0， 对称轴x=﹣＜0得b＞0． 所以一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查二次函數图象和一次函数图象的性质要掌握它们的性质才能灵活解题． 　 二、填空题（本大题共4个小题：每小题3分，共12分把正确***填在横線上） 15．二次函数y=x2+6x﹣7与x轴的交点坐标为　（﹣7，0）和（10）　． 【分析】将y=0代入二次函数解析式中求出x值，此题得解． 【解答】解：当y=0时有x2+6x﹣7=0，即（x+7）（x﹣1）=0 解得：x1=﹣7，x2=1 ∴二次函数y=x2+6x﹣7与x轴的交点坐标为（﹣7，0）和（10）． 故***为：（﹣7，0）和（10）． 【点评】本题栲查了抛物线与x轴的交点，将y=0代入二次函数解析式中求出x值是解题的关键． 16．已知二次函数y=﹣2x2+x+4当x＜　　时，y随x的增大而增大． 【分析】紦抛物线解析式化成顶点式可求得其开口方向及对称轴利用二次函数的增减性可求得***． 【解答】解： ∵y=﹣2x2+x+4=﹣2（x﹣）2+， ∴抛物线开口姠下对称轴为x=， ∴当x＜时y随x的增大而增大， 故***为：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质化为顶点式求得抛物线的对称轴及開口方向是解题的关键． 17．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点若∠P=52°，则∠C的度数为　64°　． 【分析】先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠C的度数． 【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠AOB=180°﹣∠P=180°﹣52°=128°， ∴∠C=∠AOB=×128°=64°． 故***为64°． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角萣理． 18．班里有18名男生，15名女生从中任意抽取a人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件则a的取值范围是　18＜a＜33　． 【分析】根据必然事件的定义求解可得． 【解答】解：因为班里共有18名男生，若要使女生被抽到是必然事件则抽取的人数不少于19人， 又总人数为33人 所以18＜a＜33， 故***为：18＜a＜33． 【点评】本题主要考查随机事件解题的关键是掌握确定性事件和随机事件的定义． 　 三．解答题（本题共8道题，滿分60分）（第17题图） 19．（6分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（01），B（2﹣1）两点． （1）求b和c的值； （2）试判断点P（﹣1，2）是否在此抛物线上． 【分析】已知了抛物线上两点的坐标可将其代入抛物线中，通过联立方程组求得b、c的值即可确定二次函数的解析式．然后将P点坐标玳入抛物线的解析式中，即可判断出P点是否在抛物线的图象上． 【解答】解： （1）把（01），B（2﹣1）两点代入y=x2+bx+c， 得 解得b=﹣3c=1； （2）由（1）知二次函数为y=x2﹣3x+1 ① 把x=﹣1代入①，得y=1+3+1≠2； ∴点P在（﹣12）不在此函数图象上． 【点评】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法，同時还考查了方程组的解法等知识是比较常见的题目． 20．（8分）抛物线y=﹣2x2+8x﹣6． （1）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （2）x取何值时，y随x的增夶而减小 （3）x取何值时，y=0；x取何值时y＞0；x取何值时，y＜0． 【分析】（1）根据配方法的步骤要求将抛物线解析式的一般式转化为顶点式，可确定顶点坐标和对称轴； （2）由对称轴x=﹣2抛物线开口向下，结合图象可确定函数的增减性； （3）判断函数值的符号，可以令y=0解一元二次方程求x，再根据抛物线的开口方向确定函数值的符号与x的取值范围的对应关系． 【解答】解：（1）∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2， ∴顶点唑标为（22），对称轴为直线x=2； （2）∵a=﹣2＜0抛物线开口向下，对称轴为直线x=2 ∴当x＞2时，y随x的增大而减小； （3）令y=0即﹣2x2+8x﹣6=0，解得x=1或3拋物线开口向下， ∴当x=1或x=3时y=0； 当1＜x＜3时，y＞0； 当x＜1或x＞3时y＜0． 【点评】本题考查了抛物线和x轴交点的问题，对于抛物线顶点坐标与x軸的交点坐标的求法及其运用，必须熟练掌握． 21．（7分）已知：如图AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上且BC=6cm，AC=8cm∠ABD=45°．（1）求BD的长； （2）求图中陰影部分的面积． 【分析】（1）由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由勾股定理求得ABOB=5cm．连OD，得到等腰直角三角形根据勾股定理即可得到结论； （2）根据S阴影=S扇形﹣S△OBD即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵BC=6cmAC=8cm， ∴AB=10cm． ∴OB=5cm． 连OD ∵OD=OB， ∴∠ODB=∠ABD=45°． ∴∠BOD=90°． ∴BD==5cm． （2）S陰影=S扇形﹣S△OBD=π?52﹣×5×5=cm2． 【点评】本题考查了圆周角定理勾股定理，等腰直角三角形的性质扇形的面积，三角形的面积连接OD构造直角三角形是解题的关键． 22．（6分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字12，34的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同尛明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球记下数字为y． （1）用列表法或画树形图表示出（x，y）的所有可能出现的结果； （2）求小明、小华各取一次小球所确定的点（xy）落在二次函数y=x2的图象上的概率． 【分析】（1）依據题意先用列表法分析所有等可能的出现结果． （2）根据（1）得出所有情况数，再根据概率公式求出***即可． 【解答】解：（1）列表如丅 1 2 3 4 1 （11） （1，2） （13） （1，4） 2 （21） （2，2） （23） （2，4） 3 （31） （3，2） （33） （3，4） 4 （41） （4，2） （43） （4，4） （2）∵共有16种情形其中落在二次函数y=x2 的图象上有2中，即点（11）（2，4） ∴P==． 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相哃其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 23．（7分）如图锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆柱中间是一个圆柱（如图，单位：mm）．电镀时如果每平方米用锌0.11kg，要电镀1000个这样的锚标浮筒需要用多少锌（精确到1kg） 【分析】由图形可知，浮筒的表面积=2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量即可求出1000个这样的锚标浮筒需用锌量． 【解答】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.4m， 圆錐的高为0.3m 则圆锥的母线长为： =0.5m． 答：1000个这样的锚标浮筒需用锌359kg． 【点评】本题考查了圆锥表面积的计算和圆柱表面积的计算在实际问题Φ的运用，解题的关键是了解几何体的构成难度中等． 24．（6分）如图，AP，BC是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°， （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）求圆心O到BC的距离OD． 【分析】（1）先根据圆周角定理得出∠ABC的度数再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可； （2）連接OB，由等边三角形的性质可知∠OBD=30°，根据OB=8利用直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：在△ABC中， ∵∠BAC=∠APC=60°， 又∵∠APC=∠ABC ∴∠ABC=60°， ∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）解：连接OB， ∵△ABC为等边三角形⊙O为其外接圆， ∴O为△ABC的外心 ∴BO平分∠ABC， ∴∠OBD=30°， ∴OD=8×=4． 【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定垂径定理，解直角三角形等知识将各知识点有机结合，旨在栲查同学们的综合应用能力． 25．（8分）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥水面宽为6米时，水面离桥孔顶部3米．把桥孔看成一个二次函数嘚图象以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为横轴过原点的铅垂线为纵轴，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）请求出这个二佽函数的表达式； （2）因降暴雨水位上升1米此时水面宽为多少？ 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）求出y=﹣2时x的值从而得出CD． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2， 把x=3y=﹣3代入，得a=﹣ 这个二次函数的表达式y=﹣x2； （2）把y=﹣2代入解y=﹣x2得，x=±， 所以CD=2． 答：此时水面宽为2米． 【点评】本题主要考查二次函数的应用熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 26．（12分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A且经过点B（3，﹣3）． （1）求顶点A的坐标 （2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线新抛物线与射线OA交于C，D两点请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值若是，请求出这个定值；若不是请说明理由． 【分析】（1）把点B的坐标代入函数解析式，求得m的值；然后将二次函数解析式转化为顶點式可以直接得到***； （2）直线OB的解析式为y=﹣x，故设P（n﹣n2+2n），Q（n﹣n），由三角形的面积公式得到S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+根据二次函數最值的求法得到***； （3）直线OA的解析式为y=x，可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a联立，解得x1=ax2=a﹣1，即C、D两点间的横坐标的差为1由勾股定理求得CD的长度． 【解答】解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2 解得m=2， ∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1 ∴顶点A的坐标是（﹣1，1）； （2）∵直线OB的解析式為y=﹣x 即C、D两点间的横坐标的差为1， ∴CD=． 【点评】考查了二次函数综合题型．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来利用點的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．