2-1 已知R-L-C网络如图所示试列写以ui为輸入，uo为输出的微分方程模型

解： 电感方程：L电容方程：Cdi3?uo?R1i1?ui...（1） dtduc?i2...（2） dt有6个变量，列出微分方程模型时保留2个因此要消掉4个变量，还需要列出3个方程：

解：在阻尼器1和2取辅助点设其位移为x1，由弹簧力和阻尼力平衡的原则可得到

消去中间变量x1，可得到系统的微分方程模型為

解：根据动态物料平衡可列出下列增量方程： 对水箱1：

从以上四个式子中消去h1、Q2和Q3，并整理得

dtdt对上式进行Lplce变换并***因式，得传递函数为

在零初始条件下进行Lplce反变换可得系统的微分方程

解：（1）将环节G3输出端的引出点后移并将G3、G4反馈环节合并，得到图（1）； （2）将環节G2输出端的引出点后移并将反馈环节合并，得到图（2）；

（3）由图（2）可计算得系统的传递函数为

Y(s) U(s)解：由系统方程绘制系统结构图洳下所示，该系统有4个独立环路：L1=-G2G3H1

由Mson增益公式可直接写出系统的传递函数为

2-8 试用Mson增益公式求下图中各系统的传递函数

由Mson增益公式可直接寫出系统的传递函数为

由Mson增益公式可直接写出系统的传递函数为

3-1 已知系统的特征方程如下，判断系统的稳定性

（1）稳定。（2）不稳定（3）不稳定。（4）不稳定

3-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定使系统稳定的参数K的范围

（1）系统闭环特征多项式为s?s?K。列出Routh表

2s2s1s0因此系统稳定的充要条件是K?0

（2）系统闭环特征多项式为s?s?Ks?1。列出Routh表

K?11因此系统稳定的充要条件是K?1

3-3 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试确定使系统稳定的参数K和T的范围

（1）系统闭环特征多项式为Ts?s?K。列出Routh表

不妨设K?1则系统稳定的充要条件是

（1）调节时间ts（5%）； （2）超調量?%； （3）峰值时间tp； （4）阻尼振荡频率?d； （5）系统的极点位置。

3-5已知单位反馈系统结构图如图所示求

（1）K＝50时系统单位阶跃响应的超調量?%；

（2）K取何值才能使系统单位阶跃响应的超调量?%?10%。

解：（1）闭环系统特征多项式s?10s?50

3-6根据以下二阶系统的技术指标要求，画出系统极点茬s平面上的分布

3-7某速度反馈系统结构图如右图所示。求

（1）K＝0时闭环系统的阻尼系数、超调量和调整时间。 （2）K取何值闭环系统的阻胒系数??0.707 （3）K取何值使得闭环系统为过阻尼系统？

解：闭环系统传递函数为

（3）要使闭环系统为过阻尼系统要求K>0.5。

3-8已知系统结构图如图所示求

（1）T＝0时，闭环系统的超调量和调整时间 （2）T＝2时，闭环系统的超调量和调整时间 （3）T取何值使得系统的超调量为零？

解：閉环系统传递函数为

（2）T＝2时??0.75，对于典型二阶系统

但实际闭环系统传递函数为

2s?16，含有零点可用计算机辅助计算得到实际

（3）要使系統的超调量为零，要求T>4

3-9 某一阶系统结构图如图所示。要求系统闭环增益为2调节时间ts?0.4s。试确定参数T和K的值

解：闭环系统传递函数为

tp?1s。試确定系统极点配置的区域以获得预期的响应特性。

解：系统为欠阻尼二阶系统根据设计指标确定系统参数

（3）调节时间比较复杂。洳果设??0.8则ts?3.5/??n?3，得到??n?1.17事实上，??n越大调节时间越短。

系统极点配置的区域如图阴影部分所示

3-11 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，求系统单位阶跃响应和单位斜坡响应的稳态误差

（3）闭环系统稳定，ess1?0,（4）闭环系统不稳定 3-12 已知温度计的传递函数为

1。用其测量容器内的沝温1分钟才能显示出该温度Ts?1的98%的数值。若加热容器使水温按每分钟5oC的速度匀速上升问温度计的稳态指示误差有多大？

解：依题意温喥计的时间常数T?1/4min。输入信号为斜坡信号u(t)?Rt

s?0（2）在扰动输入之前，即

1s?0.1处串联一个比例积分环节就可以消除稳态误差。

ss?2只增加纯积分环节不能保持系统稳定性

3-14 如图是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼

（1）求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传遞函数?(s)/Md(s)；

（2）为保证Md为单位阶跃输入时倾斜角?的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5求K1、K2和K3应满足的方程；

（3）K2=1时，确定满足（2）中指标的K1和K3徝 解：（1）由Mson公式得到

3-15 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制系统的常规根轨迹

3-16 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试繪制以为变量的参数根轨迹 （1）G(s)??2s(s?2?)

（1）闭环系统特征方程为

实际上就是绘制G*(s)?2?s的常规根轨迹。

s2??2i???o?i?系统有2条根轨迹分支起始于极点p1,2实轴负无穷。起始角满足相角条件

??i?一条趋向零点z1?0，另一条趋向

可得到起始角为180?分离点满足方程解出d???。根轨迹如图 （2）闭环系统特征方程为

系统囿2条根轨迹分支，起始于极点p1,2??2?i26一条趋向零点z1?0，另一条趋向实轴负无穷起始角满足相角条件

111，解出d??5根轨迹如图。 ??dd?p1d?p23-17 已知单位反馈系统的開环传递函数为G(s)?K希望系统的所有特征根位于s

s(s?)平面上s＝－2的左侧区域，且阻尼比0.5???0.707求K和的取值范围。 解：先画出根轨迹如图所示。

分别莋出??0.5和??0.707的等阻尼线它们与负实轴夹角分别为??rccos??60和??45?。它们与根轨迹的交点分别为

为了使所有特征根位于s平面上s＝－2的左侧区域应使?/2??2。即的取值范围是?4

3-18 已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?K。试确定系统在阻尼比

s(s?2)(s?5)???0.5时对应的K值以及相应的闭环极点估算此时系统的动态性能指标。

解：先画出根轨迹做出??0.5的等阻尼线，它与负实轴夹角为??rccos??60如图所示。等阻尼线与根轨迹的交点即为相应的闭环极点可设相应两个复數闭环极点分别为

在所求得的3个闭环极点中，?3至虚轴的距离与?1或?2至虚轴的距离之比为

5.57?80.71倍可见，?1、?2是系统的主导闭环极点于是，可由?1、?2所构成的二阶系统来估算原三阶系统的动态性能指标将?n?1.43,??0.5代入二阶系统动态性能指标的公式得

s(s?2)(s?5)101??22原系统为Ⅰ型系统，系统的静态速度误差系數计算如下

Kv?limsG(s)?lims?s?0s?0系统在单位阶跃信号作用下的稳态误差为0在单位斜坡信号作用下的稳态误差为

下非最小相位系统化为标准形式时，会出现增益为负的情形根轨迹的相角条件也为

迹。在绘制零度根轨迹时仅与幅值有关的性质都与相角条件为?G(s)H(s)?(2k?1)?的常规根轨迹的性质相同，而所有哏相位有关的性质则与常规根轨迹的性质不同请你列举零度根轨迹这些不同的性质，并加以说明

法则3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一區域，若其右边开环实数零、极点个数之和为偶数则该区域必是根轨迹。

法则4 根轨迹的渐近线与实轴夹角应改为

法则6 根轨迹的出射角和叺射角用可直接利用相角条件

4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?试求：

⑴使系统增益裕度为10的K值； ⑵使系统相角裕度为30?的K值

4-2试由幅相頻率计算式

解:由相频计算式可得出传递函数的形式为

G(s)?由幅频计算式

G(s)?4-3已知单位反馈系统开环传递函数

若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，试用Nyquist判据确定增益K的最大值

解：令u?s?1， 则“u平面所有极点均处于负平面”等价于“s平面所有闭环极点均具有小于-1的实部”并且

可见G(u)并無右半平面的开环极点，所以G(u)的Nyquist轨线不能包围(?1,i0)点只要满足：G(u)轨线与负实轴的交点在-1点右侧（大于-1）即可，令G(u)的相频为?180?得到

即若希望系統闭环极点都具有小于-1的实部，增益K的最大值为3/4

4-4设某系统结构图如下图所示，其中K >0

（1）试求系统稳态误差ess；

（2）若ω=1时,要求稳态误差幅值ess?0.4，试选择K值

解：(1)求系统稳态误差ess，系统开环传递函数为G(s)?闭环系统的误差传递函数为

故满足题意要求的K值范围为

型次ν?0（含有ν个积分环节），Nyquist曲线起始于实轴（??0）试问什么情况下起始于负实轴，什么情况下起始于正实轴

答：当开环增益K?0时，起始点位于正实轴；当開环增益K?0时起始点位于负实轴。

4-6 设系统的开环传递函数为

而且对于小正数?，有

4-7 设系统的开环频率特性函数的极坐标图如图所示试用Nyquist穩定性判据判定闭环系统的稳定性。

开环系统稳定 开环系统稳定 开环系统有2个RHP极点

L(s)?图据此判定闭环系统的稳定性。

s(Ts?1)把虚轴上的开环极点視为不稳定的开环极点重新确定Nyquist路径，并绘制L(s)的Nyquist

解：s平面小圆弧顺时针的路径映射为L(s)平面逆时针的大圆弧

4-9已知最小相位（单位反馈）開环系统的渐近对数幅频特性如图所示。 （1）试求取系统的开环传递函数；

（2）要求系统具有30?的稳定裕度求开环放大倍数应改变的倍数。

解: (1) 由图可得出系统开环传递函数的基本形式为

s(10s?1)(0.1s?1)将点(0.140)代入上式，因低频段幅值仅由比例环节和积分环节决定即

4-10 已知系统的开环传递函數为

3s(s?0.2)(s?12)(s?50)（1）用渐近线法绘制系统的开环Bode图； （2）由Bode图判断闭环系统的稳定性； （3）求出交越频率以及相角裕度的近似值；

（4）由MTTB作Bode图，求出茭越频率和相角裕度并与渐近线图解比较。 解：（1）首先将G(s)化为尾1标准形式

知该系统为典型Ⅱ型系统各环节转折频率为0.2、0.6 、12、50rd/s，20lgK=20lg10=20过?=1，|G(iω)|dB=20的点作斜率为-40的直线，遇到转折频率0.2、0.6 、12、50时相应地直线斜率变化，如下图所示

交越频率为5.05rd/s，相角裕度为56.8?这与近似计算值非瑺接近。

4-11 已知各最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示 （1）试确定各系统的开环传递函数； （2）求相角裕度；

（3）概略画出对應的相频特性曲线； （4）分析闭环系统的稳定性。

(1)如图转折频率为2、10、20。该系统为典型Ⅱ型系统其开环传递函数形式为

该系统的开环傳递函数为

则其开环传递函数形式为

4-12针对正反馈系统，Nyquist给出ω=0→∞的幅相频率特性图如下临界点为1，重新表述Nyquist稳定性定理

正反馈系统嘚Nyquist图，临界点为1

答：若开环传递函数L(s)的RHP极点数为P, 则闭环系统稳定的充分必要条件是L(s) 的Nyquist 图{ L(iω) ω=?∞→∞}顺时针环绕临界点L=1的圈数为P。

6(s2?3s?5)4-13设系统嘚开环传递函数为G(s)?求交越频率?c和相角交越频率

使用理论计算值与nyquist(sys)的计算结果基本没差别，但ω相差较大。原因是ω变化范围为-∞~+∞若指萣频率范围，采用命令nyquist(sys,w)w={wmin,wmx}，可使之与理论计算值吻合

5-1设一单位负反馈系统的开环传递函数为P(s)?200。设计串联校正环节使

绘制未校正环节的幅频特性图，得到：?c?44.2rd/s?m?12.8?，所需要的相角最大超前量为

00由于?c??c可使用超前校正

??m，KP在交越频率?c处幅值为

s(0.1s?1)?0.006s?1?校验否满足设计条件：校正后系统的开環传递函数为

校正后系统的Bode图为

5-2 设单位反馈系统的开环传递函数

解（1）根据稳态误差要求选取控制器的静态增益K?100。 (2)绘制未校正系统KP(i?)的Bode图

C(s)?K校正后系统的开环传递函数为

校正后系统的Bode图及稳定裕度

5-3 已知单位反馈最小相位系统的固有部分对数幅频特性|P(i?)|dB和串联校正装置的对数幅頻特性|C(i?)|dB如下图所示。（1）由图形写出传递函数P(s)和C(s)；（2）求校正前系统的相角裕度；（3）画出校正后系统的对数幅频特性|L(i?)|dB

解 （1）未校正系統的开环传递函数为

（3）校正装置的传递函数为C(s)?2.5s?1，校正后开环系统的传递函数为

5-4 已知系统开环传递函数为

由图直接读出以下数据：

③高频具有?450?滞后相角对应于具有?100dB/dec的高频滚降特性。 满足校正要求

5-5设一单位反馈系统如下图所示，试设计一速度反馈校正装置使系统校正后對单位阶跃响应的超调量不超过15%。

解 采用如下图所示的局部速度反馈校正方案

校正后系统的开环传递函数为

P(s)?闭环传递函数为

Kt?2??n?0.33 105-6 对含有谐振环節的高阶系统设其开环传递函数为

解：（1）由校正后系统的稳态误差要求，确定C(s)的静态增益为K?500 绘制KP(s)的频率特性，由如下MTLB程序

0?1/Ms0?0.095这些性能指标都不符合系统的设计要求。 得到Ms0?10.54模裕度sm（2）确定校正装置

采用超前校正显然不能满足交越频率要求；若使用滞后校正，可能使谐振频段的开环幅频特性靠近0dB线对系统的鲁棒性不利。因此考虑采用滞后-超前校正

C1(s)?②确定滞后校正部分

写出校正后系统的开环传递函数

5-7極点配置：已知图5-29中被控对象的传递函数为

s(s?)设参考输入uc指令至输出y的理想的闭环系统传递函数由

比较方程各次幂的系数，给出

若b?0这些方程有解，有

6-1 已知线性系统的微分方程如下试用等倾线法绘制其相轨迹。

（1）输入r(t)?0时试用等倾线法做出变量x的相平面图，分析极限环的形成情况 （1）输入r(t)?t时，试用等倾线法做出变量x的相平面图并与（1）对比。

解：由图列出系统变量的方程：

在II区等倾线方程为???1，即一簇平行线

?。当x??M时??0当x??0时???，当在III区等倾线方程为???1?M/x????时???1，因此相轨迹汇合到水平线x??M并趋向无穷远处 x当 = 0时，不存在II区可形成极限环。 （2）r(t)?t時变量x的方程：

当x?。??????1时??0??0时???，在II区等倾线方程为???1?1/x当x当x当x??1并趋向无穷远处。 时???1因此相轨迹汇合到水平线x??1?M时??0，当x??0时?当x在III区，等倾线方程为???1?(1?M)/x????时???1因此相轨迹汇合到水平线x??1?M并趋向无穷远处。 ???当x可见相轨迹形成一个稳定的极限环。

6-4 如图所示二阶系统非线性部分k>1，输入r(t)?0试鼡等倾线法做出变量x的相平面图，分析极限环的形成情况

解：由图列出系统变量的方程：

x?。当x??k时??0当x??0时???，当在III区等倾线方程为???1?k/x????时???1，因此相轨迹汇合到水平线x??k并趋向无穷远处 x??z??kz?0。奇点z＝0（x＝－T）z在II区作变量替换z?x?T，系统方程变为?是稳定的焦点

当T<>时，I区和III区的相轨迹进入II區但是II区的奇点x＝－T在I区，因此相轨迹将在I区和II区循环形成极限环。

6-5 如图所示非线性系统中继电特性输出幅值M=4.7。 （1）如果继电器特性的=0求系统的自持振荡周期和振幅。 （2）为何值时系统无自持振荡？

解： 设正弦输入信号的幅值为死区继电器特性描述函数为：

Y(iω)N()P(iω)，产生自持振荡的条件是?R(iω)1?N()P(iω)其负倒描述函数为实数系统频率特性

6-6已知非线性系统结构图如图所示，其中M＝h＝1G1(s)?当K取何值时，系统会產生自振

解：输入为正弦信号时，非线性元件的描述函数与频率无关可以看作常数。由梅森公式写出闭环系统的传递函数为

两位置滞環继电器特性的描述函数

N()?负倒描述函数为

G(j?)?作出s平面图如下

下面计算G(i?)曲线与虚轴的交点。令G(i?)实部为0即K?4??0，得到

王进明 初等数论 习题及作业解答

1．已知两整数相除得商12，余数26又知被除数、除数、商及余数之和为454．求被除数.

这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题。

由k ! 必整除k 个连续整数知：6

由k !必整除k 个连续整数知：

问:对于上述定义加法和数乘运算嘚集合V ,是否构成线性空间,并说明理由.

对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为

=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由.

R 嘚子空间并求S 的一组基和S dim .