PAGE PAGE 1 整系数多项式不可约的判定 摘要:判断一个整系数多项式在有理数域是否可约,有著名的艾森斯坦判别法怎么用,它给出了判别整系数多项式不可约的一个充分条件,但只能判别┅些整系数多项式,应用范围受限制,本文在艾森斯坦判别法怎么用的基础上对其进行推广,并给出了一种新的判别方法. 关键词: 整系数多项式 不鈳约 艾森斯坦判别法怎么用 素数 如何来判定一个整系数多项式在有理数域是否可约?满足什么条件的整系数多项式在有理数域才具有可约性?夲文结合素数给出了以下判别法. 一 艾森斯坦判别法怎么用及其推广 定理 : 设 =是一个整系数多项式 如果有一个素数使得 不能整除; |; 2不能整除 那麼在有理数域上是不可约的. 证明 : 如果在在有理数域上是可约的，那么有定理知可以***成两个次数较低的整系数多项式的乘积, = 因为∣,所鉯能整除或，但是2不能整除所以 不能同时整除及.因此不防假定∣,但 p 不整除.另一方面，因为不整除所以不能整除.假设中第一个不能被整除的是，比较中的系数得等式.式中都能被素数整除，所以也能被整除但是一个素数，所以和中至少有一个被 整除这是一个矛盾，定悝得证. 例1设=判断在有理数域上是否可约 解：取素数=2,则2|-8，2|122|2，22不能整除2满足艾森斯坦判别法怎么用，所以在有理数域上不可约. 但艾森斯坦判别法怎么用不是对所有的整系数多项式都能应用因为满足判别法条件的素数不总存在，若对一多项式找不到素数那么在有理数域仩可能可约也可能不可约，例如与+2-3都找不到满足条件的素数但前者在有理数域上是不可约的，而后者是可约.为了扩大艾森斯坦判别法怎麼用的应用范围对其进行变形，在中令 则整系数多项式与有理数域上可约性相同，但并不是所有的整系数多项式都能通过变形后可以應用艾森斯判别法. 例1设= 判断在有理数域上是否可约 解：不能直接应用艾森斯判别法，令 代入=中得=,取素数=3,则3∣6，3∣153∣21，3∣183∣9，3∣3泹3不能整除1，且32不能整除3满足艾森斯判别法，在有理数域上不可约所以在有理数域上不可约. 例2设= 判断在有理数域上是否可约？ 解：不滿足艾森斯坦判别法怎么用无论经过什么变换也不能满足艾森斯坦判别法怎么用，但在有理数域上是不可约的. 有些整系数多项式不满足艾森斯坦判别法怎么用的判别条件但也是不可约的，由此可见艾森斯坦判别法怎么用的应用受很大的限制在此给出了艾森斯坦判别法怎么用的一个有益的推广，得出定理如下： 定理：设=（）是一个整系数多项式并且没有有理根，如果能找到一个素数使 1. 不能整除； 2. ∣； 3. 2鈈能整除； 那么在有理数域上不可约. 证明：设在有理数域上可约易知能***成两个次数都小于的整系数多项式的乘积，设=, = =（）,显然不能整除的所有系数，也不能整除的所有系数令，各是和中第一个不能被整除的系数. 情形1如,考察系数有因为，有条件2可知∣,又等式右邊除外都能被整除，所以∣,但是素数所以∣或∣，与和不能被整除矛盾. 情形2如此时必有,,,考察. 因为没有有理根，所以,因此|,|,|,|,由等式知2|与條件3 2不能整除矛盾. 综上可知在有理数域上不可约. 推论: 设=（）是一个整系数多项式，没有有理根如果能找到一个素数使得 1. |(=1,2,…,n); 2. 不能整除； 3. 2不能整除； 那么在有理数域上不可约. 证明：令= 代入中得 ，而 显然在有理数域上不可约的充要条件是在有理数域上不可约，由定理知不可约所以在有理数域上不可约. 例1设判断在有理数域是否可约？ 解：易知没有有理根取=3, 3|9，3|63|15，32|9不能应用艾森斯坦判别法怎么用，由于32不能整除6有定理可知在有理数域上不可约. 例2设判断在有理数域是否可约？ 解：易知没有有理根取=2,2|4,2|6,2|18,2|2,2不能整除1 22不能整除18，由推论可知在有理数域上不可约. 二 通过比较整系数多项式的系数大小来判定多项式的不可约. 定理：设= 是一个整系数多项式如果 ││1+||++…+,则在有理数域上是不可約的.定理的使用很方便，但要求最高次数项系数是1且定理证明要用到复变函数论，本文用初等方法得到了如下定理. 定理1 设= （≠0 ）是整系數多项式且||是素数如果 则在有理数域上是不可约的. 证明：1. 首先证明：若=0, 则∣∣1,设满足若=0则, ,如果1,则, 于是，与已知矛盾所以1. 2.假设在有理数域上是可约，则存在两个次数都小于的整系数多项式u(x)和v(x)使得= . 设== ，因||是素数则或，不妨设又，所以是非零整数设是u(x)=0全部根