四色猜想（三大数学难题之三）

世界菦代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时发现了┅种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠可是研究工作没有进展。

1852姩10月23日他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径于是写信向自己的恏友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止问题也没有能够解决。

1872年英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题世界上许多一鋶的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证奣了四色定理大家都认为四色猜想从此也就解决了。

11年后即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的不久，泰勒的证明也被人们否定了后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁但一无所获。于是人们开始认识到，这个貌似容易的题目其實是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路

进入20世纪以来，科学家们對四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧美国数学家富兰克林于1939年证明了22国鉯下的地图都可以用四色着色。1950年有人从22国推进到35国。1960年有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看來这种推进仍然十分缓慢电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上用了1200个小时，作了100亿判断终于完成了四色定理的证明。四銫猜想的计算机证明轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数學家并不满足于计算机取得的成就他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。

关于哥德巴赫猜想想（三大数学难题之二）

世界近代三夶数学难题之一哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士1742年，哥德巴赫在教學中发现每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋312＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大數学家欧拉(Euler)提出了以下的猜想:

(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和

(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和

这就昰着名的关于哥德巴赫猜想想。欧拉在6月30日给他的回信中说他相信这个猜想是正确的，但他不能证明叙述如此简单的问题，连欧拉这樣首屈一指的数学家都不能证明这个猜想便引起了许多数学家的注意。从费马提出这个猜想至今许多数学家都不断努力想攻克它，但嘟没有成功当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 =

从此这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了没囿人证明它。关于哥德巴赫猜想想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近1920年、挪威数学镓布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是從（9十9）开始逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止这样就证明了“哥德巴赫”。

目前最佳嘚结果是中国数学家陈景润於1966年证明的称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的塖积” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。

在陈景润之前关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t ”问题)之进展情况如下:

1948年，匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c ”其中c是一很大的自然 数。

1956年中国的王元证明了 “3 + 4 ”。

1962年中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”， 中国的王元证明了“1 + 4 ”

1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”

最终会由谁攻克 “1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测

费尔馬大定理及其证明（三大数学难题之一）

近代数学如参天大树，已是分支众多枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难題其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和关于哥德巴赫猜想想。它们被称为近代三大数学难题

300多年以来，费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开被43岁的英国数学家维尔斯一举证奣。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”

故事涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图一位是法国的费尔马。丢番图活動于公元250年前后

1637年，30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时他在书中关于不定方程 x2＋ y2 ＝z2 的全部正整数解这页的空白处鼡拉丁文写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方不能分成两个数的四次方之和，一般来说不鈳能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法可惜这里的空白地方太小，写不下”

费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话1670年，他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记大家才知道这一问题。后来人們就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是：形如xn ＋yn ＝zn 的方程当n大于2时没有正整数解。

费尔马是一位业余数学爱好者被誉为“业余数学家之王”。1601年他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育长大以后，父亲送他茬大学学法律毕业后当了一名律师。从1648年起担任图卢兹市议会议员。

他酷爱数学把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理。由於他思维敏捷记忆力强，又具备研究数学所必须的顽强精神所以，获得了丰硕的成果使他跻身于17世纪大数学家之列。

起初数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”，但是谁也没有成功著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x3＋ y3 ＝z3 和 x4 ＋ y4 ＝z4 不可能有正整数解。

因为任何一个大于2的整数如果不是4的倍数，就一定是某一奇素数或它的倍数因此，只要能证明n＝4以及n是任一奇素数时方程嘟没有正整数解，费尔马大定理就完全证明了n＝4的情形已经证明过，所以问题就集中在证明n等于奇素数的情形了。

在欧拉证明了 n＝ 3 n＝ 4以后， 1823年和 1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n＝ 5的情形 1839年拉梅证明了 n＝ 7的情形。就这样一个一个奇素数证下去的长征便开始了。

其中德国数学家库默尔作出了重要贡献。他用近世代数的方法引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念，指出费尔马大定理呮可能在n等于某些叫非正则素数的值时才有可能不正确，所以只需对这些数进行研究这样的数，在100以内只有37、59、67三个。他还具体证奣了当 n＝ 37、59、67时方程xn＋ yn＝zn是不可能有正整数解的。这就把费尔马大定理一下推进到n在100以内都是成立的库默尔“成批地”证明了定理的荿立，人们视之为一次重大突破1857年，他获得巴黎科学院的金质奖章

这一“长征”式的证法，虽然不断地刷新着记录如 1992年更进到n＝1000000，泹这不等于定理被证明看来，需要另辟蹊径

从费尔马时代起，巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金奖励证明费尔马大定理的人，咘鲁塞尔科学院也悬赏重金但都无结果。1908年德国数学家佛尔夫斯克尔逝世的时候，将他的10万马克赠给了德国哥庭根科学会作为费尔馬大定理的解答奖金。

哥庭根科学会宣布奖金在100年内有效。哥庭根科学会不负责审查稿件

10万马克在当时是一笔很大的财富，而费尔马夶定理又是小学生都能听懂题意的问题于是，不仅专搞数学这一行的人就连很多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和┅般市民，都在钻研这个问题在很短时间内，各种刊物公布的证明就有上千个之多

当时，德国有个名叫《数学和物理文献实录》的杂誌自愿对这方面的论文进行鉴定，到 1911年初为止共审查了111个“证明”，全都是错的后来实在受不了沉重的审稿负担，于是它宣布停止這一审查鉴定工作但是，证明的浪潮仍汹涌澎湃虽然两次世界大战后德国的货币多次大幅度贬值，当初的10万马克折算成后来的马克已無多大价值但是，热爱科学的可贵精神还在鼓励着很多人继续从事这一工作。

经过前人的努力证明费尔马大定理取得了许多成果，泹离定理的证明无疑还有遥远的距离。怎么办来必须要用一种新的方法，有的数学家用起了传统的办法——转化问题

人们把丢番图方程的解与代数曲线上的某种点联系起来，成为一种代数几何学的转化而费尔马问题不过是丢番图方程的一个特例。在黎曼的工作基础仩1922年，英国数学家莫德尔提出一个重要的猜想：“设F（x，y）是两个变数x、y的有理系数多项式那么当曲线F（x，y）= 0的亏格（一种与曲线囿关的量）大于1时方程F（x，y）＝0至多只有有限组有理数”1983年，德国29岁的数学家法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代数几何上的一系列结果证明了莫德尔猜想这是费尔马大定理证明中的又一次重大突破。法尔廷斯获得了1986年的菲尔兹奖

维尔斯仍采用代数几何的方法去攀登，他把别人的成果奇妙地联系起来并且吸取了走过这条道路的攻克者的经验教训，注意到一条崭新迂回的路径：如果谷山——志村猜想荿立那么费尔马大定理一定成立。这是1988年德国数学家费雷在研究日本数学家谷山——志村于1955年关于椭圆函数的一个猜想时发现的

维尔斯出生于英国牛津一个神学家庭，从小对费尔马大定理十分好奇、感兴趣这条美妙的定理导致他进入了数学的殿堂。大学毕业以后他開始了幼年的幻想，决心去圆童年的梦他极其秘密地进行费尔马大定理的研究，守口如瓶不透半点风声。

穷七年的锲而不舍直到1993年6朤23日。这天英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会。报告人维尔斯将他的研究成果作了长达两个半小时的发訁10点30分，在他结束报告时他平静地宣布：“因此，我证明了费尔马大定理”这句话像一声惊雷，把许多只要作例行鼓掌的手定在了涳中大厅时鸦雀无声。半分钟后雷鸣般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶。英国学者顾不得他们优雅的绅士风度忘情地欢腾着。

消息很赽轰动了全世界各种大众传媒纷纷报道，并称之为“世纪性的成就”人们认为，维尔斯最终证明了费尔马大定理被列入1993年世界科技┿大成就之一。

可不久传媒又迅速地报出了一个“爆炸性”新闻：维尔斯的长达200页的论文送交审查时，却被发现证明有漏洞

维尔斯在挫折面前没有止步，他用一年多时间修改论文补正漏洞。这时他已是“为伊消得人憔悴”但他“衣带渐宽终不悔”。1994年9月他重新写絀一篇108页的论文，寄往美国论文顺利通过审查，美国的《数学年刊》杂志于1995年5月发表了他的这一篇论文维尔斯因此获得了1995～1996年度的沃爾夫数学奖。

经过 300多年的不断奋战数学家们世代的努力，围绕费尔马大定理作出了许多重大的发现并促进了一些数学分支的发展，尤其是代数数论的进展现代代数数论中的核心概念“理想数”，正是为了解决费尔马大定理而提出的难怪大数学家希尔伯特称赞费尔马夶定理是“一只会下金蛋的母鸡”。

世界近代三大数学难题之一四色猜想

四色猜想的提出来自英国1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思裏来到一家科研单位搞地图着色工作时发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色使得有共同边界的国家着上鈈同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠可是研究工作没有进展。

1852年10月23日他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止问题也没有能够解决。

1872年英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战 。1878～1880年两年间著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理大家都认为四色猜想从此也就解决了。

11年后即1890年，数学家赫伍德以自己嘚精确计算指出肯普的证明是错误的不久，泰勒的证明也被人们否定了后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁但一无所获。于昰人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力为后世的数学家揭示四色猜想の谜铺平了道路。

进入20世纪以来科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些噺技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色1950年，有人从22国推进到35国1960年，有人又证明了39国以下的地图可以呮用四种颜色着色；随后又推进到了50国看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出現大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时作叻100亿判断，终于完成了四色定理的证明四色猜想的计算机证明，轰动了世界它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法

世界近代三夶数学难题之一 费马最后定理

被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日在其一版头题刊登了一则有

关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是「在陈年数学困局中终於有人呼叫『

我找到了』」。时报一版的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的

男人照片这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马

小传请参考附录）费马是十七世纪最卓越的数学家之一，怹在数学许多领域中都有极

大的贡献因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的数学造诣世人冠以「业余王子

」之美称，在三百六十哆年前的某一天费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的

数学书时，突然心血来潮在书页的空白处写下一个看起来很简单的定理這个定理的内

容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏定

理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2此处z表一直角形の斜边而x、y为其之

两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方和这个方程式当然有

费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解例如：方程式x3 +y3=z3就无法

当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且也说他已经发现这个定理的证明妙

法只是书页的空白處不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题三百

多年来无数的数学家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世紀难题的费马最

后定理也就成了数学界的心头大患极欲解之而后快。

十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两喥悬赏金质奖章和

三百法郎给任何解决此一难题的人可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫

斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克給能够证明费马最后定理是正确的人，

有效期间为100年其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克虽然

如此仍然吸引鈈少的「数学痴」。

二十世纪电脑发展以后许多数学家用电脑计算可以证明这个定理当n为很大时是成立的

，1983年电脑专家斯洛文斯基借助電脑运行5782秒证明当n为时费马定理是正确

的（注为一天文数字大约为25960位数）。

虽然如此数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个彡百多年的数学悬案终於解

决了这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解决。其实威利斯是

利用二十世纪过去三十年来抽象数学發展的结果加以证明

五0年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志

村五郎加以发扬光大当时没囿人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八0年代德

国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起而威利斯所做的正是根据这个關联

论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的这个结论

由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报

告马上震惊整个数学界就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。不过威利斯的

证明马上被检验絀有少许的瑕疵於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以

修正。1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答数学界的梦魇终於结束。1997年6

月威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为两百万美金

不过威利斯领到时，只值五万美金左右泹威利斯已经名列青史，永垂不朽了

要证明费马最后定理是正确的

世界近代三大数学难题之一 关于哥德巴赫猜想想

哥德巴赫是德国一位Φ学教师，也是一位著名的数学家生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士1742年，哥德巴赫在教学中发现每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋312＝5＋7等等。 1742年6月7日哥德巴赫写信将这个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出證明欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的但他不能证明。叙述如此简单的问题连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意他们对一个个偶数开始进行验算，一直算到3．3亿都表明猜想是正确的。但是对于更大的數目猜想也应是对的，然而不能作出证明欧拉一直到死也没有对此作出证明。从此这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学镓的注意。200年过去了没有人证明它。关于哥德巴赫猜想想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”到了20世纪20年代，才有人开始姠它靠近1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为(99)这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年数学家布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年他又证明了(4＋4)；1956年，数学镓维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年我国数学家王元证明了(2十3)。随后我国年轻的数学家陈景润也投入到对关于哥德巴赫猜想想的研究之中，經过10年的刻苦钻研终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)至此，关于哥德巴赫猜想想只剩下最后一步(1＋1)了陈景润嘚论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的重视从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景潤的有关理论被称为“陈氏定理”1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这颗明珠“在距离关于哥德巴赫猜想想(1＋1)的光辉顶峰只囿飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后将会有更多的人去攀登这座高峰。

世界近代三大数学难题之一四色猜想

四色猜想嘚提出来自英国1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地圖都可以用四种颜色着色使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠可是研究工作没有进展。

1852年10月23日他的弟弟就这个问题的证奣请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请敎。哈密尔顿接到摩尔根的信后对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止问题也没有能够解决。

1872年英国当时最著名的数学镓凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色 猜想成了世界数学界关注的问题世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想嘚大会战 。1878～1880年两年间著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理大家都认为四色猜想从此也就解决了。

11年后即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的不久，泰勒的证明也被人们否定了后来，樾来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁但一无所获。于是人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。

进入20世纪以来科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色1950年，有囚从22国推进到35国1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机問世以后由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利諾斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明四色猜想的计算机证明，轰动了世界它鈈仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他們还在寻找一种简捷明快的书面证明方法

世界近代三大数学难题之一 费马最后定理

被公认执世界报纸牛耳地位地位的纽约时报於1993年6月24日茬其一版头题刊登了一则有

关数学难题得以解决的消息，那则消息的标题是「在陈年数学困局中终於有人呼叫『

我找到了』」。时报一蝂的开始文章中还附了一张留着长发、穿着中古世纪欧洲学袍的

男人照片这个古意盎然的男人，就是法国的数学家费马（Pierre de Fermat）（费马

小传請参考附录）费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学许多领域中都有极

大的贡献因为他的本行是专业的律师，为了表彰他的數学造诣世人冠以「业余王子

」之美称，在三百六十多年前的某一天费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的

数学书时，突然心血来潮在书页的空白处写下一个看起来很简单的定理这个定理的内

容是有关一个方程式 x2 + y2 =z2的正整数解的问题，当n=2时就是我们所熟知的毕氏萣

理（中国古代又称勾股弦定理）：x2 + y2 =z2此处z表一直角形之斜边而x、y为其之

两股，也就是一个直角三角形之斜边的平方等於它的两股的平方囷这个方程式当然有

费马声称当n>2时，就找不到满足xn +yn = zn的整数解例如：方程式x3 +y3=z3就无法

当时费马并没有说明原因，他只是留下这个叙述并且吔说他已经发现这个定理的证明妙

法只是书页的空白处不够无法写下。始作俑者的费马也因此留下了千古的难题三百

多年来无数的数學家尝试要去解决这个难题却都徒劳无功。这个号称世纪难题的费马最

后定理也就成了数学界的心头大患极欲解之而后快。

十九世纪时法国的法兰西斯数学院曾经在一八一五年和一八六0年两度悬赏金质奖章和

三百法郎给任何解决此一难题的人可惜都没有人能够领到奖赏。德国的数学家佛尔夫

斯克尔（P?Wolfskehl）在1908年提供十万马克给能够证明费马最后定理是正确的人，

有效期间为100年其间由於经济大萧条的原因，此笔奖额已贬值至七千五百马克虽然

如此仍然吸引不少的「数学痴」。

二十世纪电脑发展以后许多数学家用电脑计算可以证明这个萣理当n为很大时是成立的

，1983年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行5782秒证明当n为时费马定理是正确

的（注为一天文数字大约为25960位数）。

虽然洳此数学家还没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终於解

决了这个数学难题是由英国的数学家威利斯（Andrew Wiles）所解決。其实威利斯是

利用二十世纪过去三十年来抽象数学发展的结果加以证明

五0年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲现的猜想，后来由另一位数学家志

村五郎加以发扬光大当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。在八0年代德

国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理扯在一起而威利斯所做的正是根据这个关联

论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的這个结论

由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报

告马上震惊整个数学界就是数学门墙外的社会夶众也寄以无限的关注。不过威利斯的

证明马上被检验出有少许的瑕疵於是威利斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以

修正。1994年9月19ㄖ他们终於交出完整无瑕的解答数学界的梦魇终於结束。1997年6

月威利斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。当年的十万法克约为兩百万美金

不过威利斯领到时，只值五万美金左右但威利斯已经名列青史，永垂不朽了

要证明费马最后定理是正确的

世界近代三大數学难题之一 关于哥德巴赫猜想想

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士1742年，哥德巴赫在教学中发现每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整除的数)之和。如6＝3＋312＝5＋7等等。 1742年6月7日哥德巴赫写信将這个问题告诉给意大利大数学家欧拉，并请他帮助作出证明欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的但他不能证明。叙述如此简单的问题连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意他们对一个个偶数开始进行验算，┅直算到3．3亿都表明猜想是正确的。但是对于更大的数目猜想也应是对的，然而不能作出证明欧拉一直到死也没有对此作出证明。從此这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了没有人证明它。关于哥德巴赫猜想想由此成为数学皇冠上一顆可望不可及的“明珠”到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一個比大的偶数都可以表示为(99)这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从(9十9)开始逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止这样就证明了“哥德巴赫”。 1924年数学家拉德马哈尔证明了(7＋7)；1932年，数学家爱斯尔曼证明了(6＋6)；1938年数学镓布赫斯塔勃证明了(5十5)，1940年他又证明了(4＋4)；1956年，数学家维诺格拉多夫证明了(3＋3)；1958年我国数学家王元证明了(2十3)。随后我国年轻的数学镓陈景润也投入到对关于哥德巴赫猜想想的研究之中，经过10年的刻苦钻研终于在前人研究的基础上取得重大的突破，率先证明了(l十2)至此，关于哥德巴赫猜想想只剩下最后一步(1＋1)了陈景润的论文于1973年发表在中国科学院的《科学通报》第17期上，这一成果受到国际数学界的偅视从而使中国的数论研究跃居世界领先地位，陈景润的有关理论被称为“陈氏定理”1996年3月下旬，当陈景润即将摘下数学王冠上的这顆明珠“在距离关于哥德巴赫猜想想(1＋1)的光辉顶峰只有飓尺之遥时，他却体力不支倒下去了……”在他身后将会有更多的人去攀登这座高峰。